1、1,第 3 章 扭 转,2,3-1 概 述,变形特点: . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动；. 杆表面的纵向线变成螺旋线；. 实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。,受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。,3,圆轴扭转变形动画,4,本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。,5,3-2 薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒通常指 的圆筒,当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩扭矩(torque),6,薄壁圆筒的扭转动画,7,.
2、薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律,表面变形情况： (1) 圆周线只是绕圆筒轴线转动,形状及尺寸不变； (2) 纵向直线在小变形情况下保持为直线,但发生倾斜; (3)圆周线之间的距离保持不变。,8,推论： (1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样； (2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。,9,横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所有点处的切应力相同； (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横截面上无正应力。,10,引进 ，上式亦可写作,. 薄壁圆筒横截面
3、上切应力的计算公式：,由 根据应力分布可知,，于是有,11,. 剪切胡克定律(Hookes law in shear),(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearing strain)。 (2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。 (3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不沿壁厚变化的，故有g =j r0/l，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。,12,薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知
4、t 与g 亦成线性关系：,这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shear modulus)。钢材的切变模量的约值为：G =80GPa,13,3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,. 传动轴的外力偶矩,当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t 秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t 秒钟内的转角a 。,14,因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为,因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：,15,主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则
5、转向与传动轴的转动方向相反。,16,. 扭矩及扭矩图,传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。,17,扭矩的正负规定可按右手螺旋法则表示：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。,18,一传动轴如图，转速n=300 r/min，转向如图所示。主动轮A输入的功率P1= 500 kW，三个从动B、C、D轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。,例题 3-1,19,1. 计算作用在各轮上的外力偶矩,主动轮上M1的转向和轴的转向相同，从动轮上的M2、M3、M4的转向和轴的转向相反。,例题 3-1,20,2. 计算各段的扭矩,BC段内：,AD
6、段内：,CA段内：,(负),注意这个扭矩是假定为负的,例题 3-1,21,3. 作扭矩图,由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kNm。,例题 3-1,22,思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动 轴的扭矩图。这样的布置是否合理？,23,3-4 等直圆杆扭转时的应力强度条件,. 横截面上的应力,表面变形情况,(问题的几何方面),24,1. 表面变形情况： (a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变； (b) 纵向线倾斜了一个角度g 。 平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横
7、截面的间距不变。 推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。,(1) 几何方面,25,2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律,即,26,式中 相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用j 来表示，对于给定的横截面为常量。,可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应变gr 均相同； gr与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。,27,(2) 物理方面,由剪切胡克定律 t = Gg 知,可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力tr 均相同，其值 与r 成正比，其方向垂直于半径。,28,其中 称为横截面的极惯性矩Ip(单位:m4)，它是横截面的几何性质。,(3) 静力学方面
8、,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式,以 代入上式得：,29,式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。,横截面周边上各点处(r = r)的最大切应力为,30,(1) 实心圆截面,.圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp,31,思考：对于空心圆截面， ，其原因是什么？,(2)空心圆截面,32,以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体单元体。,可得,. 单元体 切应力互等定理,由单元体的平衡条件Fx=0 和Mz=0 知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力tdxdz并
9、组成其矩为(tdxdz)dy 力偶。,33,即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t 和t 数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线切应力互等定理。,34,思考：对于图示单元体，切应力t、 t 、t、 t 是否互等？,35,现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。,. 斜截面上的应力,36,分离体上作用力的平衡方程为,利用t =t ，经整理得,37,由此可知：,(1) 单元体的四个侧面(a = 0和 a = 90)上切应力的绝对值最大；,(2) a =-45和a =+45截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；,38,至于上图所示单元体内不垂
10、直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。,39,低碳钢扭转试验演示,40,低碳钢扭转破坏断口,41,铸铁扭转破坏试验演示,42,铸铁扭转破坏断口,43,思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？,44,直径为d1的实心圆轴(图a)和内、外直径分别为d2和D2，a d2/ D2=0.8的空心圆轴(图b),两轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。,例题 3-2,45,1. 分别求
11、两轴的最大切应力,例题 3-2,46,2. 求D2/d1和二轴重量之比。 由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得,因为两轴的长度l 和材料密度r 分别相同，所以两轴的重量比即为其横截面面积之比,例题 3-2,47,切应力的分布规律如图c、d所示，当tmaxt时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，还要注意加上成本和构造上的要求等因素。,例题 3-2,48,. 强度条件,此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即,铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生
12、脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。,49,图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。,例题 3-4,50,1. 绘扭矩图,例题 3-4,解：,51,AB段内,2. 分别求每段轴横截面上的最大切应力,例题 3-4,52,BC段内,2. 求每段轴的横截面上的最大切应力,例题 3-4,53,3. 校核强度,t2,max t1,max且有t2,maxt = 80MPa，故该
13、轴满足强度条件。,例题 3-4,阶梯状圆轴，其 ，必须综合考虑扭矩和Wp两个因素，AB段的扭矩大，直径d1也大，BC段的扭矩小，直径也小，必须分别计算两段轴的tmax，经比较后才能确定tmax。,54,例题 3-4,注意：阶梯状圆轴在两段连接处有应力集中现象，在以上计算中对此并未考虑。,55,3-5 等直圆杆扭转时的变形刚度条件,. 扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。,56,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对
14、扭转角j为,57,图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C 相对于B的扭转角jBC 。,(a),例题 3-5,58,1. 用截面法求出I、II两段轴内的扭矩分别为,(a),例题 3-5,解：,59,(a),2. 分别计算B、C截面相对于A截面的扭转jAB、jAC，设A截面固定不动：,jAB、jAC的转向如图a所示。,例题 3-5,60,(a),3. C截面相对于B截面的扭转角为,设B固定不动，jBC的转向与M3相同。
15、,例题 3-5,61,. 刚度条件,式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,对于精密机器的轴j0.150.30 ()/m；,对于一般的传动轴j2 ()/m。,(),(),62,由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力t = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的最大扭矩Tmax = 9.56 kNm，许可单位长度扭转角j=0.3 ()/m。试选择轴的直径。,例题 3-6,63,1. 按强度条件求所需外直径D,例题 3-6,解：,64,2. 按刚度条件求所需外直径D,例题 3-6,65,3. 空
16、心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知,例题 3-6,66,思考：从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。根据横截面上切应力沿直径CD的分布规律，由切应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的切应力。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？,67,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,纯剪切应力状态下的应变能密度,对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力t dydz在相应的位移g dx上作功。,6
17、8,于是，当材料在线弹性范围内工作时(t tp，见图b)，有,69,由剪切胡克定律t =Gg，该应变能密度的表达式可写为,单元体内蓄积的应变能dVe数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVe=dW 。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为,70,在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为,等直圆杆在扭转时积蓄的应变能,由 可知，亦有,71,当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为,在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：,72,图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块，
18、D截面处作用有外力偶矩 Me 。试求：(1)杆系内的应变能；(2)利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭转角 jD。,例题 3-7,73,1. 用截面法分别求AB和CD杆的扭矩T1和T2,例题 3-7,解:,74,2. 杆系应变能为,例题 3-7,75,其转向与Me 相同。,3. 求D 截面的扭转角 jD,例题 3-7,76,试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a 5)受轴向压力(拉力)F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。设d(2R)。,例题 3-8,77,1. 用截面法求
19、簧杆横截面上的内力,对于密圈螺旋弹簧可近似认为a0o，簧杆的横截面就在外力F作用的弹簧轴线所在纵向平面内，由图b所示的分离体的平衡方程得,剪力 FS =F 扭矩 T =FR,(b),例题 3-8,解：,78,2. 求簧杆横截面上的应力,簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T 相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。因为d(2R)，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算。于是有,例题 3-8,79,3. 求弹簧的缩短(伸长)变形D,当弹簧所受外力F不超过一定限度时变形D与外力F成线性关系(如图c)。于是外力所作的功为,(c),例题 3-8,80,不计FS
20、的影响，并忽略簧杆的曲率，簧杆内的应变能Ve为,式中l =2pRn，表示簧杆轴线的全长，Ip为簧杆横截面的极惯性矩。根据能量守恒原理 W= Ve ，即,如令 ，则有 ，式中k 为弹簧的刚度系数(N/m)。,例题 3-8,81,以上分析中，不计产生的切应力和应变能，并用直杆公式计算扭转切应力和应变能，由此得到的 和 均比实际值偏小。,例题 3-8,82,3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。,自由扭转(纯扭转)等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无
21、正应力。,83,约束扭转非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。,84,. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解,85,(1) 一般矩形截面等直杆,横截面上的最大切应力在长边中点处： Wt扭转截面系数，Wt=bb3， b 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,横截面上短边中点处的切应力： t =ntmax n 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,单位长度扭转角： It相当极惯性矩， , a 为与m = h/b 相关的因数(表3-1)。,86,表3-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数a、b 和 n,87,(2) 狭长矩形
22、截面等直杆,88,思考：如图中所示，矩形截面杆在扭转时其横截面上边缘处的切应力总是与周边相切，而横截面顶点处的切应力总是等于零。为什么？,89,*3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形,. 开口薄壁截面杆(例如角钢、工字钢和槽钢),90,2. 不考虑横截面相邻组成部分(矩形)在连接处的复杂应力变化情况，认为横截面每一矩形部分的切应力分布仍与狭长矩形截面等直杆横截面上相同，即,近似假设：,1. 认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分的单位长度扭转角ji 相同，且就是杆的单位长度扭转角j，即,91,(1) 应力及变形的计算公式,由假设(1)有,将上式中的前n 项的分子分母各自相加后有
23、,92,根据假设2并注意到 可知杆的每一组成部分横截面上位于长边中点处的最大切应力为,(2) 各组成部分横截面上的最大切应力 tmax,而整个杆的横截面上的最大切应力tmax在厚度最大(dmax)的那个矩形的长边中点处：,93,(3) 杆的单位长度扭转角,根据实验结果有：角钢截面h =1.00,槽钢截面h =1.12,T形钢截面h =1.15，工字钢截面h =1.20。,式中， 。对于型钢，由于其横截面的翼缘部分是变厚度的，且横截面边缘处以及内部连接处有圆角，增加了杆的刚度，故在计算扭转角时应采用乘以修正因数h后的相当极惯性矩It：,94,钢制有纵向切缝的开口环形薄壁截面杆，如图所示。已知：作
24、用于杆两端的扭转力偶矩为Me= 30 Nm，平均直径d0= 40 mm，壁厚d = 2 mm；钢的切变模量G=80 109Pa。试计算：,(1)该开口环形截面杆横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角； (2)若该杆无纵向切缝，求横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角。,例题 3-9,95,1. 求纵向切缝的开口环形薄壁截面杆的tmax和j计算中可将开口环形薄壁截面展开为h=pd0，d=d 狭长矩形截面来处理。,例题 3-9,解：,96,例题 3-9,97,横截面上切应力沿厚度的按规律变化其指向如图b所示。,例题 3-9,98,2. 求无纵向切缝的薄壁圆筒杆的tmax和j,例题 3-9,99
25、,横截面上切应力沿厚度均匀分布，其指向如图所示。,例题 3-9,可见，薄壁圆环截面杆若有一纵向切缝，其切应力和单位长度的扭转角显著增加，亦即其强度和刚度显著降低。工程中多采用加横隔板提高开口薄壁截面杆的强度和刚度。,100,近似假设：横截面上各点处的切应力的大小沿壁厚无变化，切应力的方向与壁厚中线相切。,. 闭口薄壁截面杆(任意闭口截面的变厚度薄壁等直杆件),101,(1) 应力的计算公式,由相距dx的两横截面及任意两个与壁厚中线正交的纵截面取出如图所示的分离体。如果横截面上C 和D两点处的切应力分别为t1和t2，则根据切应力互等定理，上下两纵截面上亦有切应力t1和t2。,102,若C 和D
26、两点处的壁厚分别为d1和d2，则由该分离体的平衡条件 SFx=0 有t1d1d x=t2d2d x 从而知,亦即横截面上沿周边任一点处td 为常量。,103,从而有(参见图)：,于是得闭口薄壁截面等直杆横截面上任一点处切应力的计算公式：,薄壁圆筒作为这类薄壁杆件的特例，当然也适用此公式。事实上此式即是3-2中导出的公式。,式中，A0为壁厚中线所围的面积。,104,闭口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力tmax在最小壁厚dmin处：,值得注意的是，开口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力tmax是在壁厚最大的组成部分的长边中点处。,105,(2) 杆的单位长度扭转角的计算公式,杆内任一点处的应变能
27、密度：,单位长度杆内的应变能：,当壁厚d为常数时有,单位长度杆两端截面上的扭矩作的功：,于是，根据Ve=W 得单位长度扭转角的计算公式：,106,一环形薄壁截面杆(图a)和一正方的箱形薄壁截面杆(图b)，两杆的材料相同，长度l、 横截面面积、壁厚d分别相等，作用在杆端的扭转力偶矩也相同。试求两杆横截面上切应力之比t1/t2和两杆单位长度扭转角之比j1/j2。,例题 3-10,107,两杆的横截面面积分别为A1=2pr0d， A2=4bd,由A1=A2 ，即2pr0d =4bd ，得,1. 由 和 可见，要求环形和正方的箱形截面杆的t1/t2和j1/j2 ，必须首先求出两杆壁厚中线所围成的面积A01和A02的关系。,例题 3-10,解：,108,2. 求,例题 3-10,3. 求,式中，4b=2pr0，s1和s2分别为环形和正方的箱形截面的壁厚中线的长度。,由以上结果可知，在题中规定条件下，环形截面杆的抗扭性能比正方的箱形截面杆要好。,109,第三章结束,
