1、3 单层复合材料的宏观力学分析,3.1 平面应力下单层复合材料的应力-应变关系 3.2 单层材料任意方向的应力-应变关系 3.3 单层复合材料的强度 3.4 正交各向异性单层材料的失效判据,3.1.1 复合材料单层的特点,3.1 平面应力下单层复合材料的应力-应变关系,单层复合材料中的纤维是单向平行的。将单层的材料主方向用 1(L)，2(T)和 3(N) 来表示。纤维方向为 1(L) 方向，称为纵向，垂直纤维方向为 2(T) 向，称为横向，垂直于单层为 3(N) 向，称为法向。,正交各向异性复合材料，材料主方向的应力-应变关系为,材料主方向的应力-应变关系,3.1.2 单层复合材料主方向的应力
2、-应变关系,正交各向异性单层复合材料，平面应力状态下,写成用应变表示应力的关系式,Q 是二维刚度矩阵，是由二维柔度矩阵 S 求逆得出。QijCij，一般有所减小，因此称 Q 为折减刚度矩阵。,正交各向异性材料的平面应力问题有 4 个独立的弹性常数：,对于各向同性材料：,应力-应变关系,例3-1：已知HT3/5244碳纤维增强复合材料单层的工程弹性常数为,试求单层受到面内应力分量为s1 = 500MPa ，s2 = 100MPa ，t12 = 10MPa 时的面内应变分量 e1 ，e2 和 g12 。,解：,1 应力转换,3.2 单层材料任意方向的应力-应变关系,3.2.1 应力和应变的坐标转换
3、,在复合材料单层中取出一单元体，其材料主方向坐标系O12 与参考坐标系 Oxy 的夹角为q。 q 角以 x 轴逆时针转到 1 轴为正。,用垂直于1方向和平行于1方向的截面将单元体截出两个楔形块，两楔形块截面上分别有材料主方向正应力s1、切应力s12和正应力s2、切应力s21 。,令：,由平衡方程得,应力转换矩阵,2 应变转换,应变转换矩阵,3.2.2 任意方向上的应力-应变关系,矩阵表示主方向的二维刚度矩阵 Q 的转换矩阵，是对称矩阵。 、 、 、 是q 的偶函数， 、 是q 的奇函数。,矩阵是对称矩阵。 、 、 、 是 q 的偶函数， 、 是q 的奇函数。 和 、 和 一般不为零，表明正应力
4、和切应变，切应力和正应变有耦合。,例3-2：单层板受面内应力 作用， q = 45，试求材料主方向坐标系下的应力分量。,解：,例3-3：已知单层板的弹性常数为,q = 45，试求矩阵 和矩阵 。,解：,例3-4：已知碳纤维/环氧 HT3/5224 单层板材料主方向应变,q = 45，试求（1）材料主方向应力；（2）参考坐标系下的应力和应变。,已知：,解：,例3-5：碳纤维/环氧 HT3/5224 单层板在偏轴（ q = 45 ）的应力状态为,试求偏轴应变和材料主方向应变。,已知：,解：,表观工程弹性常数：,hxy,x 和 hxy,y 称为拉剪耦合系数，表示 x（或 y ）方向正应力引起 xOy
5、 平面内的剪切变形的强度。hx,xy 和 hy, xy 称为剪拉耦合系数，表示 xOy 平面内的切应力引起 x（ 或 y ）方向的正应变强度。,其中：,不同复合材料表观工程弹性常数随 q 角变化不全相同。,玻璃/环氧表观工程弹性常数随 q 的变化曲线 E1 / E2 = 3， G12 / E2 = 0.5， n12 = 0.25,Ex / E2 在 q = 0时取极大值3， q = 90时取极小值1。 Gxy / G12 在 0, 90时为 1， 45时取极大值。nxy 在 0, 90间有一最大值。 hxy，x 在 0, 90为零，在中间角度有较大值。,3.3 单层复合材料的强度,3.3.1
6、各向同性材料强度理论,1. 最大正应力理论,最大正应力 s1（或s3）是材料破坏的因素，材料进入危险状态的标志是三个主应力中 s1（或s3）达到材料单向拉伸（或压缩）时的极限应力。,2. 最大线应变理论,材料破坏的因素是最大线应变 e1（或e3） ，也就是不论在什么应力状态下，只要构件内任一点的处的最大线应变达到 e1（或e3）材料的极限值，材料就会发生破坏。,3. 最大切应力理论,最大切应力 tmax 是引起材料塑性屈服的主要原因，也就是不论什么应力状态下，只要构件内任一点处的最大切应力 tmax达到材料屈服时的极限值，该点处的材料就会发生屈服。,4. 最大形状改变能密度理论,材料进入危险状
7、态的原因是由于形状改变能密度 Wj 达到一定限度，这个限度就是材料在简单拉伸（或压缩）时对应危险状态的形状改变能密度 Wjm 。,3.3.2 正交各向异性单层的基本强度,1. 正交各向异性材料的强度的特点,（1）各向同性材料的强度由主应力和主应变确定。复合材料的主应力或主应变方向不一定对应于材料主方向上的强度。正交各向异性单层的强度性能具有方向性，因此，正应力和主应变的概念已无意义，材料主方向的应力是很重要的。,（2）正交各向异性单层，拉伸与压缩强度不相同时，有5个强度指标。各向同性金属材料的强度指标只有一个。拉伸与压缩强度相同时强度指标变为 3 个。,纵向强度,横向强度,单层板五个基本强度的
8、确定，一般采用实验的方法测定；有时也可用分析的方法估算。,（3）正交各向异性材料在材料主方向上的拉伸与压缩强度一般是不相同的，但材料主方向上的切应力强度却是唯一的。即材料主方向上的切应力，不论它是正还是负，都具有相同的剪切强度。但在非材料主方向上，切应力的最大值依赖与切应力的正负。,（1）拉伸试验,2. 单层板基本强度的实验测定,拉伸试件形状示意图,0试件,0拉伸试验,90拉伸试验,90试件,（2）压缩试验,（3）面内剪切试验,压缩试件尺寸示意图,试件尺寸采取短标距 试验时采用特制夹具,剪切试验大多用层合试件，难免受层间应力、耦合效应影响，在试件中产生纯剪切状态是困难的。,（a）偏轴拉伸法,4
9、5对称拉伸试件尺寸,测得E1、 E2 和 n12,（b）薄圆管扭转试验及轨道剪切试验方法,三轨剪切法示意图,t12-g12 曲线举例,轨道剪切法分双轨剪切和三轨剪切两种,t12-g12 非线性，取t-g 曲线初始线性段确定G12,（c）Arcan圆盘试件法,Arcan圆盘试件,粘贴45应变片，测量应变 e1、 e2,（4）层间剪切试验,短梁法,短梁试件及加载示意图,双边切口压缩法,双边切口试件及加载示意图,（5）弯曲试验,弯曲试件及加载示意图,三点弯曲强度,四点弯曲强度,弯曲破坏中点挠度 f 与跨度 l 的比值大于10%时,弯曲弹性模量,考虑剪切变形影响,DP为对应荷载-挠度曲线上直线段的荷载
10、增量，Df 为对应于DP的跨度中点处的挠度增量。,（6）平板双轴拉伸试验,双轴拉伸平板试件示意图,偏轴拉伸： 不能独立控制双轴应力分量。,薄壁圆管： 制造质量和加载困难。,设,（7）断裂韧性测定,双悬臂梁试件示意图,I 型断裂韧性测定,单边切口3点挠曲试件示意图,II 型断裂韧性测定,连续纤维增韧陶瓷基复合材料典型拉伸应力-应变曲线,加卸载拉伸应力应变典型曲线,拉伸应力应变典型曲线,残余应变和卸载应力的关系曲线,卸载模量，损伤参数与卸载应力关系曲线,压缩试验夹具示意图,压缩应力-应变典型曲线,层间剪切强度，层间开裂切应力和Z-pins个数曲线,双边切口压缩典型载荷位移曲线,Z-pins 桥连层
11、间裂纹,Z-pins增强CMC层压板载荷位移曲线,Z-pins增强CMC试样的R-曲线,3.4 正交各向异性单层材料的失效判据,3.4.1 最大应力失效判据,在复杂应力状态下，单层材料主方向的三个应力分量中，任何一个达到该方向基本强度时，单层失效。,三个不等式相互独立，其中任何一个不满足，单层失效。,拉伸：,压缩：,最大应力应是不等式中的最小值,玻璃 / 环氧单层复合材料 单向强度与偏转角 q 的关系,拉伸实验数据： 压缩实验数据： 最低一条是控制强度曲线，强度曲线中的理论尖点在实验中不存在，该理论与实验结果不一致,3.4.2 最大应变失效判据,在复杂应力状态下，单层材料主方向的三个应变分量中
12、，任何一个达到该方向基本强度对应的极限应变时，单层失效。,1向最大拉伸正应变,1向最大压缩正应变,2向最大拉伸正应变,2向最大压缩正应变,12平面内最大切应变,非材料主方向受载的单层板,3.4.3 蔡-希尔（Tsai-Hill）失效判据,各向同性材料冯米赛斯（Von Mises）失效判据,Hill 假设正交各向异性材料失效判据,s1 、s2 、s3 、t23、t31 、t12 材料主方向上的应力分量,F、G 、H 、L、M 、N 强度 参数，与材料主方向基本强度相关。通过三个材料主方向的简单拉伸破坏试验和三个正交平面内的纯剪切破坏试验确定。,假设材料拉压强度相同，材料主方向基本强度为 X、Y、
13、Z、S23、S31、 S12 。,材料主方向简单拉伸破坏试验：s1 = X， s2 = Y， s3 = Z,三个正交平面内纯剪切破坏试验：t23 = S23， t31 = S31， t12 = S12,单层处于平面应力状态,2O3平面内各向同性 Z = Y，S12 = S,蔡-希尔失效判据,玻璃 / 环氧单层复合材料 蔡-希尔失效判据,优点： 1）sx 随方向角 q 的变化是光滑的，没有尖点。 2） sx 一般随q 增加而连续减小。 3）理论与试验吻合较好。 4）破坏强度X、Y、S之间存在重要的相互联系，其他理论假定三种破坏单独发生。 缺点： 未考虑拉、压性能不同的复合材料。,3.4.4 霍夫
14、曼（Hoffman）失效判据,在蔡-希尔失效判据中增加了应力的一次项，体现拉压强度不等对材料破坏的影响。,Xt =Xc =X， Yt =Yc =Y，退化为蔡-希尔失效判据,强度参数确定同蔡-希尔失效判据,3.4.5 蔡-吴（Tsai-Wu）张量失效判据,增加失效判据中的项数，改善强度理论与试验结果之间的一致性。,平面应力状态，正交各向异性单层蔡胡失效判据,面内切应力 s6 由正变负时，上式仍成立,除 F12 之外，其他 5 个强度参数通过单层的简单试验确定,（1）纵向拉伸和压缩试验,（2）横向拉伸和压缩试验,（3）面内纯剪切试验,F12 反映双向正应力的相互作用,F12 是基本强度和双向等轴拉
15、伸强度的函数。双向等轴拉伸试验实现困难，即使同种材料，双向和等轴双向试验获得的F12值相差很大。,取 理论与试验值符合较好。,切应力s6 =0 的应力状态和拉压强度相等的复合材料单层，其失效判据,失效曲线为椭圆,蔡-吴张量失效判据,解：（1）计算单层材料主方向应力,例3-6 已知HT3/QY8911复合材料 45单层的应力状态如图，参考坐标下的应力分量为sx = 144 MPa， sy = 50 MPa， txy = 50 MPa，参考坐标轴 x 与材料主方向 1 轴的夹角 q = 45 。单层的基本强度为Xt = 1548 MPa， Xc = 1426 MPa， Yt = 55.5 MPa，
16、 Yc = 218 MPa， S = 89.9 MPa。试用强度失效判据校核该单层的强度。,（2）由最大应力失效判据校核强度,（3）由蔡-希尔失效判据校核强度,（4）由蔡-胡张量失效判据校核强度,最大应力失效判据：单层安全且达到失效还有一定裕度。蔡-希尔失效判据：单层处于临界失效状态。蔡-胡张量失效判据：单层失效。考虑与不考虑应力和强度的相互作用以及拉压强度不相等的作用，对于强度失效分析的结果有显著影响。尤其是在材料主方向三个应力中有一个比较接近相应的基本强度的情况下，对结果的影响更严重。,最大应力和最大应变判据： 注意了不同应力导致的破坏模式的不同，忽略了不同应力相互作用的影响。蔡-希尔和蔡
17、-胡张量判据：是基于金属材料塑性屈服能量理论的判据，考虑了不同应力及相互作用的影响，忽略了不同失效模式的描述。纤维增强聚合物基复合材料的基本失效模式：基体控制失效模式，纤维控制失效模式。基体控制失效模式，表现为单层横向拉伸、压缩和面内剪切破坏。面内剪切破坏是单层在面内切应力作用下产生纤维之间的基体平行裂纹。,3.4.6 失效判据的进一步讨论,Hashin 失效判据,纤维控制失效模式：,复合材料的失效模式包含纤维拉伸断裂、纤维压缩屈曲折断，基体拉伸或压缩开裂。,拉伸时：,压缩时：,基体控制失效模式：,拉伸时：,压缩时：,S23 是单层垂直于纤维方向的切应力 s23 的极限值，实验难以测得，一般可用面内剪切强度 S12 来近似。,纤维控制的压缩失效判据，Hashin较早的研究中是考虑了面内剪切的影响，表示为,从纤维压缩破坏模式较多的为基体剪切型屈曲破坏考虑，采用上式更为合理。,Hashin 判据和最大应力判据、最大应变判据类似，但比这两类失效判据考虑得更全面，认为导致复合材料单层失效模式与参与的应力分量有关。应用Hashin判据可以模拟复合材料损伤演化的过程，尤其适用于复合材料层合结构的有限元分析。,
