1、9-1 引 言9-2 动力传递与扭矩9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律9-4 圆轴扭转横截面上的应力9-5 极惯性矩与抗扭截面系数9-6 圆轴扭转破坏与强度条件9-7 圆轴扭转变形与刚度条件*9-8 非圆截面轴扭转简介,第九章 扭 转,一、 工程实例,9-1 引 言,汽车传动轴、转向盘轴；,机床传动轴；,攻螺纹丝锥；,行车传动轴；,船舶推进轴等。,轴：工程中以扭转变形为主的构件。,二、特点,受力：两端受一对大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作 用平面与杆轴线垂直；,变形：各横截面绕杆轴线发生相对转动。,扭转角f ：任意两横截面转过的角度。如：fAB,一、轴传递的功率、转速与外力偶矩之间的关
2、系,式中：P 功率，千瓦(kW) n 转速，转/分(r/min) M 外力偶矩，牛顿米(Nm),9-2 动力传递与扭矩,可知：P 一定时，n ， M ,工程实际中常已知轴传递的功率、转速，需换算成作用在轴上的外力偶矩：,如：一万吨轮，P =7060 kW，n =119 r/min，则：,二、扭矩及扭矩图,1. 扭矩,规定：按右手螺旋法则确定扭矩的符号：,截面法：,设横截面上的内力偶矩为T：,S Mx=0 T M = 0, T = M,称 T 为扭矩 ，为横截面上内力的合力偶矩。,2. 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。,例1 已知一传动轴， n = 300 r/min，主动轮
3、输入 PA = 500 kW， 从动轮输出 PB =150 kW，PC= 150 kW，PD= 200 kW，试绘 制轴的扭矩图。,解：(1) 计算外力偶矩,(2) 各段扭矩,BC段：截面1-1,S Mx=0 T1 + MB = 0, T1 = MB= 4.775 kNm,CA段：截面2-2,S Mx=0 T2 + MB + MC = 0, T2 = MB MC = 9.55 kNm,AD段：截面3-3,S Mx=0 T3 MD = 0, T3 = MD = 6.336 kNm,(3) 绘制扭矩图, CA 段为危险截面：,4.775,9.55,6.336,| T |max = 9.55 kNm
4、,T1 = 4.775 kNm,T2 = 9.55 kNm,T3 = 6.336 kNm,薄壁圆筒：,R0：为圆筒平均半径。,一、薄壁圆筒的扭转应力,薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。,9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律,薄壁圆筒的扭转实验：,壁厚 d R0/10,两端加外力偶矩 M，使薄壁圆筒产生扭转变形。,(1) 圆周线形状、大小、 间距不变，仅绕轴线 相对转动；,推知：,实验现象：,(2) 纵向线倾斜了 角；,(3) 矩形abcd变成了平行 四边形abcd。,(1) 过半径的纵向截面上无正应力；,(2) 横截面上无正应力，只有切应力。,截面法：取横截面 m-m 分析,A0：为平
5、均半径处圆的面积。, 圆周各点对称于圆心，沿圆周各点 切应力 相等，方向与半径垂直。, d R0，切应力 沿壁厚均布。, 横截面上各点切应力 相等，方 向与半径垂直。,取微面积：dA= d R0dq,微内力： dA= d R0dq,对圆心微力矩：dT = dAR0= d R02dq,合力偶矩即为横截面上的扭矩：,二、纯剪切与切应力互等定理,取微小单元体 abcd ：,左、右侧面(横截面)： ,合力： d dy,其力偶矩： ( d dy)dx,上、下底面(纵向截面)：,合力： d dx,其力偶矩： ( d dx)dy,S Mz=0,( d dx)dy ( d dy)dx = 0, = ,切应力互
6、等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切 应力必成对存在，且数值相等，方向相反， 两者都垂直于两截面的交线，方向同时指向 或背离这一交线。,纯剪切应力状态：单元体无正应力，只受切应力作用。,三、剪切胡克定律,切应变 g ：单元体直角的改变量。,单位：rad (弧度),由试验可得 - g 曲线。,可知：,当 p 时，有, = Gg,称为剪切胡克定律。, p：材料的剪切比例极限；G：材料的切变模量，单位：GPa,钢 ：G = 80 GPa,对各向同性材料，有,在材料的三个弹性常数中，只要知道任意两个，就可以确定第三个。,一、扭转切应力的一般公式,9-4 圆轴扭转横截面上的应力,1. 扭转试验
7、研究变形几何关系,目的： 确定横截面上各点应变 分布规律。,圆轴扭转试验：,薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。,实验现象：,(1) 圆周线绕轴线相对转动，但 形状、大小、间距不变；,(2) 纵向线仍为直线，但倾斜了 角；,(3) 矩形abcd变成了平行四边形abcd。,(1) 横截面上无正应力；,假设：轴的圆形横截面扭转变形后仍为同样的圆形平面，其半 径仍为直线。,可知：,(2) 横截面上切应力方向与半径垂直。,取截面1、截面2之间的微段dx 分析：,横截面 2 相对截面 1 转过 df；,半径O2c 转到 O2c ；,纵向线 ac 倾斜了g 角至 ac ；,表层单元体 abcd 发生
8、剪切变形；,变形几何关系：,表层切应变：,在横截面上半径 r 处 e 点：,同样有：, e 点切应变：,(a),扭转角 f 沿轴线 x 的变化率，对给定的截面为一常量。,横截面上切应变分布规律：,横截面上任意点的切应变与该点半径成正比，方向与半径垂直。,轴线上：r = 0，gr = 0,轴表层： r = R，,2. 物理关系剪切胡克定律,小变形下为弹性变形，满足胡克定律：,目的： 由横截面上切应变分布规律确定切应力分布规律。,(b),横截面上切应力分布规律：,横截面上任意点的切应力与该点半径成正比，方向与半径垂直并与扭矩方向一致。,即切应力沿半径呈线性分布。,轴线上：r = 0，tr = 0,
9、轴表层： r = R，,3. 静力学关系,令,将(b)式代入(c)式得：,目的： 找横截面上扭矩与切应力之间关系，建立切应力计算公式。,取微面积dA，距圆心为r ，切应力tr,微内力：r dA,对圆心微力矩：dT = r dAr,整个横截面上的内力矩即为扭矩 T：,(c),称为横截面对形心O点的极惯性矩，仅与横截面的形状尺寸有关。,为计算圆轴扭转变形的基本公式。,为计算圆轴横截面扭转切应力的基本公式。,将,代入(b)式，得：,二、最大扭转切应力,在圆轴表层： rmax = R，有最大切应力：,令,称为横截面的抗扭截面系数，单位：m3，mm3。,可知：Wp，tmax Wp 代表截面的扭转强度。,
10、注意：公式适用于弹性变形范围内的圆截面直杆。,9-5 极惯性矩与抗扭截面系数,一、实心圆截面,取微面积：dA=2pr dr，距圆心为r ，,单位：m4，cm4，mm4。,单位：m3，cm3，mm3。,工程中近似可取： Wp = 0.2D3,二、空心圆截面,外径：D 内径：d,可求得：,一、扭转失效与扭转极限应力,低碳钢试件：,铸铁试件：,9-6 圆轴扭转破坏与强度条件,圆轴扭转试验：扭转试验机上进行。,由试验可知：,先发生屈服，产生较大的塑性变形，最后沿横截面断开。,由试验可得扭转屈服极限：t s,变形很小，无屈服现象，最后沿与轴线约成45的螺旋面断裂。,由试验可得扭转强度极限：t b,二、圆
11、轴扭转时的强度条件,材料的扭转许用切应力：,强度条件：,对等截面圆轴：,(1) 强度校核,(2) 设计截面尺寸,(3) 确定许可载荷,最大工作应力不超过材料的扭转许用切应力。,对阶梯圆轴要分段考虑确定 t max。,圆轴扭转强度计算：,由,得：,空心圆轴：,由 Tmax M P,例2 功率为 150kW，转速为 924 r/min的电动机转子轴如图， 材料许用切应力 = 30 MPa。试校核其强度。,1550 Nm,解：(1) 确定外力偶矩,(3) 校核强度, 此轴满足强度要求。,(2) 扭矩及扭矩图,作扭矩图。,一、圆轴扭转时的变形,由公式,对同材料等截面圆轴，只在两端有外力偶作用时，T、I
12、p 不变：,9-7 圆轴扭转变形与刚度条件,得：, 扭转角,为圆轴扭转角计算公式。,f 单位：弧度(rad) 。,由上式可知：T、l 一定时， GIp， f , 称GIp 为圆轴截面的抗扭刚度。,表示圆轴抵抗扭转变形的能力。,二、圆轴扭转刚度条件, ：rad/m， ：/m,对一般传动轴： = (0.51.0) /m,当圆轴的 T、Ip 分段变化时：,单位长度扭转角 ：,在工程实际中，对轴类构件的扭转变形有一定限制，即要求有一定的扭转刚度。,在工程上限制 ，使其不超过许用扭转角 ：,对精密机械的轴： = (0.250.50) /m,三种类型的刚度计算：,(1) 校核轴的刚度,(2) 设计轴的直径
13、,(3) 确定许可载荷,按刚度条件确定轴直径时：,由,得：,空心轴：,在同时按强度条件和刚度条件设计轴直径时，应选择其中较大的直径。,例3 例1中传动轴为钢制实心轴，许用切应力 = 30 MPa， = 0.3 /m，G = 80 Gpa。 试按强度条件和刚度条件设计轴的直径 D。,解：应先作出轴的扭矩图，确定Tmax，在例中完成。,CA 段：|T |max = 9.55 kNm。,(1) 强度条件,(2) 刚度条件, D 12.34 cm， 圆整，取 D = 12.5 cm,例4 某汽车的主传动轴用40钢钢管制成，钢管外径，D = 76 mm， 壁厚 d =2.5 mm，轴传递转矩 M = 1
14、.98 kNm。材料的许用切 应力 = 100 MPa，G = 80 GPa，轴 = 2 /m。 试校核该轴的强度和刚度。,解：(1) 轴的扭矩,T = M = 1.98 kNm。,(2) 强度校核, 满足强度要求。,(3) 刚度校核, 满足刚度要求。,例5 如将例4中的空心轴改为同一材料的实心轴，且仍使 max= 96.4 MPa。 试确定实心轴的直径 d，并比较两者的重量。,解：(1) 确定实心轴的直径 d,(2) 比较两者的重量, 两者的重量比,空心轴：,实心轴：,可知：此时在承载能力相同的条件下，空心轴的重量只为实心 轴的 1/3，比实心轴节省材料。,为什么空心轴能节省材料呢？,由扭转
15、切应力分布图可知：,在实心轴中靠近轴心处的切应力很小，这部分材料没有充分发挥作用。,若将这部分材料向外移，制成空心轴，使其承担较大的应力。,同时材料离轴心远了，内力的力臂增大了，轴的抗扭能力更加增大。,在横截面面积相同时，由实心轴改为空心轴后，Ip、Wp 都大幅度增大，轴的强度和刚度都有较大提高。且节约材料，重量轻。, 空心圆截面是轴的合理截面，可提高扭 转强度和刚度，且节约材料，重量轻。,在工程中空心圆轴有着较多的应用。但应注意壁厚太薄会发生局部失稳现象(皱折)。,例6 某传动轴转速 n = 500 r/min，输入功率 P1 = 370 kW，输出 功率分别 P2 = 148 kW及 P3
16、 = 222 kW。已知：G = 80 GPa， = 70 MPa， = 1/m。试确定：,解：(1) 外力偶矩、扭矩图,7.066, 4.24,作扭矩图：,(1) AB 段直径 d1 和 BC 段直径 d2？(2)若全轴选同一直径，应为多少？(3)主动轮与从动轮如何安排合理？,7.066, 4.24,由强度条件：,(2) AB 段直径 d1 和 BC 段直径 d2,由刚度条件：, 取 AB段直径：d1= 85 mm， BC段直径 ：d2 = 75 mm,(3) 若全轴选同一直径时, 取：d = 85 mm,7.066, 4.24,(4) 主动轮与从动轮如何安排合理, 4.24,2.826,将主动轮A设置在从动轮之间：,此时轴的扭矩图为：,| T |max = 4.24 kNm,轴的直径：d = 75 mm,较为合理。,
