1、数列求和,【备注】一般存在和差的关系，重视将多少项进行合并,例1、如图所示，一条螺旋线是用以下方法画成：ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈然后又以A为圆心AA3为半径画弧这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln_ (用表示即可).,例1、已知函数f(x)x22(n1)xn25n7(nN*) (1)若函数f(x)的图像的顶点的横坐标构成数列an，试证明数列an是等差数列； (2)设函数f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列bn，试求数列bn的前n项和Sn.,【解】f(x)x22(
2、n1)xn25n7x(n1)23n8.(1)由题意，ann1，故an1an(n1)1(n1)1，故数列an是等差数列(2)由题意，bn|3n8|.当1n2时，bn3n8，数列bn为等差数列，b15，,例3、已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq (nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和Sn的公式,例5、已知等差数列an满足：a59，a2a614. (1)求an的通项公式； (2)若bnan (q0)，求数列bn的前n项和Sn.,例6、已知an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+ (-1)nnln3,则其前n
3、项和Sn= .,【解】Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln2-ln3)+-1+2-3+(-1)nnln3,所以当n为偶数时,当n为奇数时,-,-,例3、等差数列an中，a38，a720，若数列 的前n项和为 ，则n的值为_,【解】(1)点(n，Sn)(nN*)在函数f(x)3x22x的图象上， Sn3n22n.当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S11，也适合an6n5.an6n5(nN*),例1、求值：sin21sin22sin23sin288sin289.,例1、求值：sin21sin22sin23sin288sin289.,:,【解法二】,-,-,相加得
4、,所以,例6、已知数列an满足a11，a3a718，且an1an12an(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若cn2n1an，求数列cn的前n项和Tn.,例7、已知数列an的前n项和Snn22n，数列bn是正项等比数列，且满足a12b1，b3(a3a1)b1，nN*.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)记cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.,例11、已知在数列an中，a13，an12an1(nN*)(1)求证：数列an1是等比数列；(2)设数列2nan的前n项和为Sn，求Sn的大小,【解】(1)a13，an12an1，an112(an1)，an1是以a112为首项，以2为
5、公比的等比数列,(2)由(1)知an122n12n，an2n1，2nan2n(2n1)n2n12n，Sn2(211)4(221)6(231)2n(2n1)(2214226232n2n)(2462n)设Tn2214226232n2n，,例12、（2012天津)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410. (1)求数列an与bn的通项公式； (2)记Tnanb1an1b2an2b3a1bn，nN*，证明Tn122an10bn(nN*),(法二)由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an124an22na22n1a1.
6、由，得Tn2(3n1)32232332n2n2 2n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn1210bn2an(nN*),【备注】一般存在和差的关系，重视将多少项进行合并,拆项分组求和,【补充练习】在数列an中，如果存在非零的常数T，使得anTan对于任意正整数n均成立，那么就称数列an为周期数列，其中T叫做数列an的周期已知数列xn满足 xn2|xn1xn|(xN*)，若x11，x2a(a1，a0)，当数列xn的周期为3时，则数列xn的前2 012项的和S2 012为( ) A670 B1 338 C1 339 D1 342,答案：D,5
7、、求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法 6、等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决 7、数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式的和化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和,8、解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成 (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和 9、“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最重要的方法，是高考重点考查的内容，应熟练掌握.,
