1、第二章 随机信号的特征及其估计,本章主要讨论随机信号的描述、分析和处理方法 本章包括： 随机过程基础 估计的质量评价 均值、方差、自相关函数的估计 相关函数域功率谱 白噪声过程和谐波过程,2.1 随机过程基础,2.1.1 随机过程及其特征描述 1. 随机过程随机过程通常用 表示，定义为两个自变量 的一个 集合函数常将变量 略去，记 作,2.1 随机过程基础,2.随机过程的n维分布 1）. 一维概率分布对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，设x为任意实数，定义为随机过程X(t)的一维分布函数。,若 的一阶偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的一维概率密度。,随机过程一维分布的性质：,2）.
2、二维概率分布和n维概率分布对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构成二维随机变量X(t1),X(t2)，它的二维分布函数称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。,若 对x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的二维概率密度。,对于任意的时刻t1,t2, tn， X(t1),X(t2), X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义为随机过程X(t)的n维概率分布函数。,为随机过程X(t)的n维概率密度。,随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度,3. 随机过程的数字特征,1）. 数学
3、期望（均值函数）对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为mx(t)，即,2）. 均方函数,3）. 方差对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差，记为DX(t)，即,4）. 自相关函数和协方差函数设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称相关函数,设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2)的二阶联合中心矩
4、为X(t)的自协方差函数,当 时，当 时，,若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的。,若RX(t1,t2)=0，则称X(t1)和X(t2)是相互正交的。,若则称随机过程在t1和t2时刻的状态是相互独立的。,4. 互相关函数和互协方差函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1)和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数定义为,类似地，定义两个随机过程的互协方差函数为,若对于任意时刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是正交过程，此时有,若对于任意时刻t1和t2
5、，有CXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是互不相关的，此时有,当X(t)和Y(t)互相独立时，满足则有当X(t)和Y(t)互相独立时， X(t)与Y(t)之间一定不相关；反之则不成立。,研究随机过程有两条途经：侧重于研究概率结构侧重于统计平均性质的研究,例：求随机过程的数学期望，方差及自相关函数。其中，w0为常数， 是在区间上均匀分布的随机变量。,2.1.2 平稳随机过程 平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程） 广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。 广义平稳随机过程的性质：严格平稳随机过程一定也是广义平
6、稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。,2.1.3 各态历经性 “各态历经”的含义：平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。 各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例 各态历经过程的统计平均值mX：各态历经过程的自相关函数RX():一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。,稳态通信系统的各态历经性：假设信号和噪声都是各态历经的。一阶原点矩mX = EX(t) 是信号的直流分量； 一阶原点矩的平方mX 2 是信号直流分量的归一化功率； 二阶原点矩E X 2( t ) 是信号归一化平均功率；
7、 二阶原点矩的平方根E X 2(t)1/2 是信号电流或电压的 均方根值（有效值）； 二阶中心矩X2 是信号交流分量的归一化平均功率; 若mX = mX 2 = 0，则X2 = E X 2( t ) ； 标准偏离X 是信号交流分量的均方根值； 若mX = 0，则X就是信号的均方根值 。,2.1.3 高斯过程（正态随机过程）,定义： 一维高斯过程的概率密度：式中，a = EX(t) 为均值2 = EX(t) - a2 为方差 为标准偏差 高斯过程是平稳过程，故其概率密度pX (x, t1)与t1无关，即， pX (x, t1) pX (x) pX (x)的曲线：,若a = 0, = 1，则称这种分布为标准化正态分布,
