1、数学建模与数学实验,山东工商学院数学与信息科学学院,微分方程模型,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”等词语的确定性连续问题。,微分方程建模的对象,微分方程建模是数学建模的重要方法，因为在很多实际问题中，经常要涉及各变量的变化率问题，这些问题的数学描述将导致微分方程模型。所谓微分方程，就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。未知函数是一元函数的微分方程，称之为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称之为偏微分方程.,把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未
2、知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。,微分方程建模的手段,（1） 按照内在规律或用类比法建立微分方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。,在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。,（3）模拟近似法,（2） 微元分析法 利
3、用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。,在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，做出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。,称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(9.1)的平衡点(或奇点). 它也是方程的解.,设,常微分方程的稳定性理论,定义1. 如果存在某个邻域，使得微分方程(9.1)的解x(t)从这个邻域的某个x(0)出发，满足则称 平衡点x0是 渐进稳定的，否则称平衡点
4、x0是不渐进稳定的。,由于,在讨论方程(9.1)的,来代替.,稳定性时，可用,易知 x0也是方程(9.2)的平衡点. (9.2)的通解为,关于x0是否稳定有以下结论：, 若,则x0是稳定的；, 若,则x0是不稳定的.,微分方程（组）的Matlab求解,结果：u = tan(t+c),1. 微分方程的解析解,解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）,解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)
5、； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z),结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,2. 用Matlab软件求常微分方程的数值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. M文件应接受两个参数（尽管m文件中未必用到这两个参数），返回值为一个列向
6、量。,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=y(2)*y(3)-y(1)*y(3);-0.51*y(1)*y(2),2、取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3、结果如图,图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.,解: 令 y1=y，y2=y,y3=y,例 5 求解下列微分方程,解：令 y1
7、 = x，y2 = y1，则微分方程变为一阶微分方程组：,(1) 建立 m 文件 vdp1000.m 如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); (2) 取 t0=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-) 运行程序，得到如图的结果。,微分方程模型案例 减肥问题,随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高.由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要
8、的问题.如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题.于是了解减肥的机理成为关键.,背景知识,根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：（1） 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准.如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响.（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志.,（3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量.（4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳.（5）
9、 一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%.,（1） 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标.对于一个成年人来说体重主要由三部分组成：骨骼、水和脂肪.骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志.已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2107焦耳的能量.记D=4.2107焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数.（2） 人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)，而与其他因素无关，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响.,问题分析与模
10、型假设,（3） 体重随时间是连续变化的，即w(t)是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的.（4） 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的.可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B为每1千克体重每天因活动所消耗的能量.,（5） 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.记C为1千克体重每天消耗的能量。（6） 减肥者一般对自己的饮食有相对严
11、格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A.,建模过程中，我们以“天”为时间单位.根据假设3,我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化. 根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差. 考虑时间区间t,t+t内能量的改变，根据能量平衡原理，有,模型建立,由积分中值定理有,其中,=A/D,b=(B+C)/D,两边同除以,并令t0取极限得,这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型.,设t=0为模型的初始时刻，这时人的体重为w(0)=w0.模型的求解方法很多，下面用积分因子
12、法求解. 在的两边同时乘以ebt得,从0到t积分，并利用初值w(0)=w0得,模型求解,（1）,是模型中的一个重要参数.a=A/D是每天由于能量的摄入而增加的体重.b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的体重.不进食的节食减肥法（即a=0情形）是危险的，因为,即体重（脂肪）都消耗尽了，如何能活命！,.,模型的分析与推广,(2) 由（9.4）式有，,也就是说模型（9.3）的解渐近稳定于,，它给出了减肥的,为减肥效果指标.因为,衰减很快，在,就很小，可以忽略，当t充分大时，,这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、瘦小），从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A（进食）、B（活动）、
13、C（新陈代谢）.同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节A、活动是调节B、减肥药是调节C.,最终结果，称,有限时间内，,由于C是基础代谢和食物特殊动力的消耗，它不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的.于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量.这也是熟知的常识.,对于模型（9.3），容易证明，当且仅当,时有,这表明只有当,时才有可能产生减肥的效果.,(3) 进一步讨论能量的摄取量A与活动消耗量B
14、对减肥效果 的影响.由,，,在AB坐标系内表示一条过点（C,0）斜率为w*的直线.根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理功能所需要的能量.因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限w1，当,时表明能量的摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量.这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康，因而称w1为减肥的临界指标.,此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，即存在B1使得,于是在A-B平面上由B=0、B=B1和A=0所界出的上半带形区域被直线,和,分割成三个区域：,、,和,，这表明减肥的效果是,控制进食和增加消耗综合作用、相互协调的结果.,中，能量的摄取量A大于体重为w0（初始体重）时的,消耗量w0(B+C),这时体重将在w0基础上继续增加，故称之为非减肥区；,在区域,而在区域,中，能量的摄取量A低于体w1时的消耗量,这将危及人的身体健康，故称,为减肥危险区.,所表示的A和B的组合才能实现有效的,w1(B+C),体重将减少到临界减肥指标以下，,只有区域,减肥，故称B为有效减肥区.,
