1、第十六章 多元函数的极限与连续,西华师范大学 china west normal university,1 平面点集与多元函数,一、 平面点集 二、 上的完备性定理 三、 二元函数,数学分析 Ch16 多元函数的极限与连续,西华师范大学 china west normal university,1、 常见的平面点集全平面,半平面,矩形域,西华师范大学 china west normal university,圆域,角域,西华师范大学 china west normal university,2. 邻域:,圆形邻域,西华师范大学 china west normal university,2. 邻
2、域:,方形邻域,西华师范大学 china west normal university,3. 内点、外点、界点:,设 E 是一平面点集,(1)内点：存在邻域内部：E 的全体内点所成集合，记为 intE,（2）外点：存在邻域,（3）界点：任意邻域 且边界：E 的全体界点所成集合，记为,西华师范大学 china west normal university,如图,例： z = ln (x+y)的定义域 D = (x, y)| x+y 0,易见, 直线上方每一点都是 D 的内点. 即 D=int D,但直线上的点不是 D 的内点.,西华师范大学 china west normal universit
3、y,例：,西华师范大学 china west normal university,4. 聚点、孤立点例如：,X1,X3,X2,聚点：点 X 的任一邻域内总有无限多个点属于E . 即 孤立点： 但X不是聚点。即：,西华师范大学 china west normal university,注：1、E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能 不属于E . 2、 E 的内点一定是 E 的聚点.3、 孤立点必为界点,西华师范范大学 china west normal university,5. 开集 、闭集,西华师范大学 china west normal university,例1： E 如图,例2：E是
4、开集E中的每一点都不是边界点。,西华师范大学 china west normal university,6. 连通集,设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集.,X,Y,连通,西华师范大学 china west normal university,开区域： 是连通的非空开集闭区域：开区域连同其边界区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集。,7. 开区域、闭区域、区域,西华师范大学 china west normal university,有界集： 无界集：,8.有界集、无界集,西华师范大学 china west n
5、ormal university,邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概范都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.,西华师范大学 china west normal university,说明：（1）n 维空间,西华师范大学 china west normal university,（2）n 维空间中两点间距离公式,设两点为,特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,（3）n 维空间中邻域概范：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概范也可定义,
6、西华师范大学 china west normal university,二、 中的完备性定理,定义（点列的极限）：设 为平面点集， 为一固定点，若 使得 当 时，有 ，则称点列 收敛于点 。,。,记为：,西华师范大学 china west normal university,例：设P0为点集E的一个聚点。 则存在E中的 某个点列Pn, 使,西华师范大学 china west normal university,定理16.1 Cauchy 收敛准则: 平面点列 收敛的充要条件是： 当 时，对 都有：,定理16.3 Weierstrass 聚点原理: 有界无限点集至少有一个聚点。 推论：有界无限点
7、列必存在收敛子列。,西华师范大学 china west normal university,三 多元函数的概范,1.二元函数的定义,西华师范大学 china west normal university,例1 求 的定义域,所求定义域为,西华师范大学 china west normal university,例2 求定义域,西华师范大学 china west normal university,二元函数的图形通常是一张曲面.,西华师范范大学 china west normal university,西华师范范大学 china west normal university,2.多元函数的概范,定
8、义：,西华师范大学 china west normal university,2 二元函数的极限,一、二元函数的极限,二 、多元函数的极限,三、 累次极限,西华师范大学 china west normal university,回忆：一元函数的极限,西华师范大学 china west normal university,设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.,D,z = f (x, y),X,X,XX0：从任何方向, 以任何方式,一、二元函数的极限,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west norm
9、al university,西华师范大学 china west normal university,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,西华师范大学 china west normal university,例1 证明极限,西华师范大学 china west normal university,例2 证明下列极限,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal univ
10、ersity,二元函数 f (X), 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.,西华师范大学 china west normal university,Th16.5:,对D 的任一个子集E , 只要点P 是E 的聚点 ，就有：,西华师范大学 china west normal university,Th16.5推论:,（1）如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限,（2）若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限 不存在。,（3）若 X以某种方式趋于X0时, f (X)的极限不存在, 则可肯定二重极限 不存在。
11、,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,结论：确定极限不存在的方法：,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.,! 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.,西华师范大学 china west normal university,例4：,其它,是否存在？,西华师范大
12、学 china west normal university,例5：求下列极限,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,类似可定义：,例6：用定义2验证：,西华师范大学 china west normal university,二、累次极限:,1、概范：对于两个自变量 依一定次序趋于 时 的极限，称为累次极限。,例7:,求点(0,0)处的两个累次极限和重极限。,西华师范大学 china west normal university, 2、二重极限与累次极限的关系: （）两个累次极限可以相等也
13、可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改它们的次序。,（） 两个累次极限即使都存在而且相等， 也不能保证二重极限存在,（）二重极限存在也不能保证累次极限存 在; 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存 在.,西华师范大学 china west normal university,（4）二重极限极限和某一次序累次极限都存在，则必相等。,（5）若两个累次极限和二重极限都存在， 则它们必相等,西华师范大学 china west normal university,3 二元函数的连续性,无论是单元微积分还是多元微积分, 其中,所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数.,二元函数连续性的定义比
14、一元函数更一般化,了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的,整体性质, 二者完全相同.,一、二元函数的连续性概范,二、有界闭域上连续函数的性质,一、二元函数的连续性概范, 连续性的定义,则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形,下, 也称 f 在点 连续.,若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D,上的连续函数.,由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是,f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点,连续等价于,如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元,函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或,
15、称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于,如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5,给出的函数在原点不连续.又若把上述例3 的函数改,为,上，这时由于,其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在,在坐标原点的连续性,因此 f 在原点沿着直线 是连续的,例1 讨论函数,解 由于当,在原点间断, 全增量与偏增量,设,量形式来描述连续性, 即当,为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增,时, f 在点 连续.,增量称为偏增量, 分别记作,一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增,量之和.,若一个偏增量的极限为零, 如,由二元函数对单个自变量都连续，
16、一般不能保证该,函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数,在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0,因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.,例2 设在区域,连续试证在下列条件之一满足时，,处处连续：,使得对任何,(ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y),是一致的, 即,(iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明).,证(i),又当,(ii),又由 f 对 x 的连续关于 y 是一致的, 故,这就证得, 连续函数的局部性质,以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元,若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样,
17、 可以,证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性,复合函数的连续性定理, 其余留给读者自己去练习.,义, 并在点 Q0 连续, 其中,连续.,在点 的某邻域内有定义, 并在,时, 有,又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述,二、有界闭域上连续函数的性质,本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这,可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.,定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元,且能取得最大值与最小值.,又因 f 在D上连续, 当然在点 也连续, 于是有,这与不等式 (3) 矛盾，所以 f 是D上的有界函数.,下面证明 f 在 D 上能取到最大、小值. 为此设,由前
18、面的证明知道, F 在 D上有界. 又因 f 不能在 D,在 D 上有界的结论相矛盾, 从而证得 f 在 D 上能取,到最大值.,定理16.9 (一致连续性定理) 若函数 f 在有界闭域,证 本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的,理来证明. 这里我们采用后一种证法.,方法, 运用有限覆盖定理来证明, 也可以运用聚点定,倘若 f 在 D 上连续而不一致连续, 则存在某,由于 D 为有界闭域, 因此存在收敛子列,上一致连续.,定理16.10 ( 介值性定理 ) 设函数 f 在区域,上连续, 若P1 , P2 为 D 中任意两点, 且,则对任何满足不等式,证 作辅助函数,易见 F 仍在 D 上连
19、续, 且由 (4) 式知道,由于 D 为区域, 我们可以用有限段都在 D 中的折线,连结 P1 和 P2 (如图 16-18).,若有某一个连接点所对应的函数值为 0, 则定理得,证. 否则从一端开始逐段检查, 必定存在某直线段,使得 F 在它两端的函数值异号. 不失一般性, 设连结,P1(x1, y1), P2(x2, y2) 的直线段含于D, 其方程为,在此直线段上, F 变为关于 t 的复合函数：,由于 G 为 0, 1 上的一元连续函数. 且,因此由一元函数根的存在定理, 在 (0, 1) 内存在一点,有连通性的.,界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是介值性定理,中所考察的点集 D
20、 只能假设是一区域, 这是为了保,证它具有连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具,续函数, 则 f (D) 必定是一个区间 (有限或无限).,注2 由定理16. 10 又可知道, 若 f 为区域 D 上的连,例3,注1 定理16. 8 与 16. 9 中的有界闭域 D 可以改为有,证 由定理16. 9 知道,这就证得,复习思考题,1. 在一元函数连续性定义中, 如何引入“孤立点必为,这两种说法有何不同？你喜欢哪一种说法?,等函数都是在其定义区间上的连续函数”. 当引入了,“孤立点必为连续点”后，上述结论便可简单地说成,是: “任何初等函数在其定义域上处处连续.” 试讨论,连续点”这个概范？,2. 在讨论一元初等函数时有一个重要结论: “任何初,
