1、,第三讲,研究函数与极限的基本方法,函数,研究的对象,极限,研究的工具,连续,研究的桥梁,微积分学的基础,参考 : 第一章 (第一节, 第二节),(英 1642-1727),(德1646-1716),(法1789-1857),1-1 函数和连续的概念、性质和应用,一. 方法指导,1. 对函数的理解和讨论,(1) 定义,定义域,对应规律,值域,基本要素,定义域,使表达式及实际问题有意义的自变量取值集合 .,对应规律,表示方式:,图象法;,表格法 .,解析法;,值域,(2) 基本特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性,周期性,(3) 基本结构,基本初等函数,复合运算,反演运算,初等函数,非初等函数,分段
2、函数,积分上限函数,级数表示的函数,四则运算,有限次运算且用一个式子表示,2. 函数的连续与间断,(1) 连续性的等价形式,在,连续,当,时,(2) 闭区间上连续函数的性质,(P4 , 5),有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理 ;,零点定理,(3) 函数的间断点,第一类间断点,可去间断点:,跳跃间断点:,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,二. 实例分析,1.1.讨论,例1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?,相同,相同,相同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,不是,是,不是,提示: (2),机动 目录 上页 下页 返回
3、 结束,例3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设函数,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.2. 求函数表达式,例2. 设,其中,求,解: 令,则,代入原方程得,即,再令,则,代入上式得,即,将 , 两式与原方程联立,解得,例3. 设,求,解:,当,时,; 当,时,及其反函数.,设,则,故,的,反函数为,例4.,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f (x)0,则,注意 f (0) = 0, 得,例5.,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二
4、阶非齐次方程为,方程化为,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程,通解公式:,说明,可化为欧拉方程,令,得,是二阶常系数线性非齐次方程,二阶非齐次方程,3、研究函数的基本性质,讨论函数的有界性,单调性,奇偶性,周期性,例1. 设,其中,满足,判断,的奇偶性.,解: 令,则,故,为奇函数 .,又令 y = 0 ,得,故,而,故,为奇函数 .,因此,为偶函数 .,例2. 设,证明,但,证: 在 (0,1) 中取点列,在 (0,1 上无界,则有,显然 ,在 (0,1 上无界 .,但 , 若取点列,则,而,故,(P8.例4),4、讨论函数的连续与间断,利用连续
5、性的等价形式与间断点类型,例1. 求,的间断点,并指出类型.,解：,定义域 ：,在定义域内 f 为初等函数，故连续.,故,是,的无穷间断点;,故,是,的可去间断点;,故,是,的无穷间断点.,的间断点 , 并,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,例2.求函数,判别间断点的类型 .,解:,所以 f (x) 有间断点,例3. 讨论下述函数的连续与间断问题,(P8.例5(1),解:,显然 ,在区域,上连续 .,因,故 x =1 为第二类无穷间断点.,例4. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,例5. 设 f
6、(x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例6. 设函数,试确定常数 a 及 b .,5、闭区间上连续函数的性质,利用有界定理,最值定理,介值定理,零点定理,例1. 设,在,上连续 , 且恒为正 , 证明:,对任意的,必存在一点,证一:,使,令,则,当,时,取,或, 则有,当,时,故由零点定理知 , 存在,使,即,证明:在,证二,任取,则,在,内非负且连续 ,故,在,上非负且连续 .,由闭区间上连续函数的最值定理得:,在该区间上一定存在最大
7、值 M 和最小值 m ，,记,于是有,所以,由介值定理知,一定存在,使,上连续, 且 a c d b ,例2. 设,在,必有一点,证:,使,即,由介值定理,证明:,故,即,例3.,设函数 f (x) 在 0, 3 上连续, 在( 0, 3 )内可导, 且,分析: 所给条件可写为,(2003考研),试证必存在,想到找一点 c , 使,证: 因 f (x) 在0, 3上连续,所以在 0, 2 上连续, 且在, 0, 2 上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理, 至少存在一点,由罗尔定理知, 必存在,证明,讨论:,例4.,由零点定理知,综上,保号性定理,例5. 设,在区间,上连续 , 且,试证
8、存在,使,证: 不妨设,必有,使,故,保号性定理,必有,使,故,又在,上,连续,由零点定理知, 存在,使,例6.证明方程,在,内至少存在一个实根。,证： 令,且,上连续，,由闭区间连续函数根的存在定理知,内至少存在一点,即方程,在,内至少存在一个实根。,例7. 已知方程,证明: 当,时, 该方程有且仅有 n 1,个实根 , 且在任一区间,内, 方程有且仅有一个实根 . (P10 例7),证: 将原方程去分母, 得到一个 n 1 次方程,显然,正负号交替出现 .,由连续函数介值定理可知,在每一个区间,上都至少有一个零点 ,而,为 n 1 次多项式 ,它最多有 n 1个零点,从而方程,在每个区间,
9、内有且,仅有一个实根 .,故原方程也有,n 1 个实根 ,且在每个区间,内有且仅有一个根 .,阅读与练习: P1 第一节 (除P12 例10),例8. 证明方程,证: 设,原方程存在唯一实根,由,使,在0,1上存在唯一,的实根 xn , 且,则,得,由,第四讲,研究函数与极限的基本方法（求极限的方法）,1-2 求极限的方法 (P13 第二节),一. 方法指导,1. 求极限的基本方法 (P16-P19),(1) 已知极限值利用极限定义验证,(用“ - N ” 或 “ - ”语言),(2) 未知极限值,先判别极限存在后再求极限,根据法则演算, 判定与计算同时进行.,2.求未定式的极限的方法,通分,
10、取倒数,取对数,3. 求极限的基本技巧,(1) 定式部分应尽早求出; 各种方法注意综合使用.,(2) 注意利用已知极限的结果 .,例如, 当 时,时,速度一个比一个快 .,(3) 善于利用等价无穷小替换,利用麦克劳林公式找等价无穷小,当,时,当 x 0 时, 有下列常用等价无穷小 : ( P16),(4) 注意利用求极限的特殊方法,如, 利用导数定义 ,微分中值定理 ,泰勒公式等,求极限 .,4. 判断极限不存在的主要方法 (P22, 6),(1) 对分段函数, 在界点处讨论左右极限 ;,(2) 利用数列极限与函数极限的关系 ;,(3) 利用反证法 , 设极限存在推出矛盾.,例1. 求,解:,
11、原式,二. 实例分析,1 数列极限,例2. 求,由夹逼准则可知,例3. 设,证:,显然,证明数列,有极限.,即,单调增,又,存在,思考:1）,对吗 ?,答: 不对 !,其值与,有关 .,如,时,时,2）求,提示:,3）求,提示:,原式,例4 求,解： 根据数列极限和函数极限的关系，取,当,取正整数,例5: 1）,求极限,解：,原式,2）求极限,提示：,原式,左边,= 右边,2.函数极限 例1 求,解:,当 x 0 时, 有,当 x 0 时, 有,显然,由夹逼准则可知,例2. 求下列极限：,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,复习: 若,机动
12、 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,(考研 2000),解:,原式 = 1 .,例4. 求,( P43 题21(3) ),解:,原式=,利用,解：,原式,例5.,例6. 求,证:,原式,对指数用罗必塔法则,例7. 求,直接用罗必塔法则,繁 !,解决办法,巧用泰勒公式,解:, 原式,说明,利用泰勒公式求极限 (P31例12),利用导数定义求极限(P29例9(1) ; P30 例10),利用微分中值定理求极限(P31例11),求极限的特殊方法:,利用定积分定义求极限 (P29例9(2),例1.,解法1:,原式,故,于是,而,试确定常数 a , b 使,(P34 例14),说明: 若曲线,有
13、斜渐近线,则,3 极限式中常数的确定,例1.,解法2:,因,试确定常数 a , b 使,(P34 例14),利用,时,得,有,例2,解： 由于,例3. 已知,存在,求常数 a 及其极限值.,解:,因为,所以,即,这样,例4. 当,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为,的,阶无穷小,则,因,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*例5.设,解,例1. 求函数,解:,当,时的等价,无穷小.,4 应用,例2. 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,例3. 设,在 x = 0 的某邻域内二阶可导, 且,求,及,的值.,解:,代入, 得,例4. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度,减少一半, 问小球是否会停止运动 ? 若会停止, 何时停止 ?,解: 已知自由落体运动规律,设小球第 k 次落下的时间为,则小球停止运动的时间为,(秒),例5. 证明存在正整数 n , 使,证:,设,的小数部分,100个,其中,为整数,为含,的部分,显然, 单调递增 .,则,由于,故,这说明 n 足够大时,的小数部分充分接近于 1 ,亦即,的小数部分充分接近于 1 ,故不等,式() 成立 .,(),
