1、常微分方程课件 制作者：闫宝强，傅希林，刘衍胜，范进军，劳会学，张艳燕 第一章 初等积方法 第五章 定性与稳定性概念 第三章 线性微分方程 第二章 基本定理 第四章 线性微分方程组 第六章 一阶偏微方程初步 第 1讲 微分方程与解 微分方程 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题 . 300多年前，由牛顿 (Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关 .这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求 .一般地，运动规律
2、很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程 .然而，运动物体 (变量 )与它的瞬时变化率 (导数 )之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程 .一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然 .下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言 . 例 1 物体下落问题 设质量为 m的物体，在时间 t=0时，在距地面高度为 H处以初始速度 v(0) = v0垂直地面下落，求 ss此物体下落时距离与时间的关系 . 解 如 图 1-1建立坐标系，设为 t时刻物体的位置坐标
3、.于是物体下落的速度为 加速度为 质量为 m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力 mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比 .于是根据牛顿第二定律 F = ma (力 =质量 加速度 ) 可以列出方程 (1.1) 其中 k 0为阻尼系数， g是重力加速度 . (1.1)式就是一个微分方程，这里 t是自变量， x是未知函数，是未知函数对 t导数 .现在，我们还不会求解方程 (1.1)，但是，如果考虑 k=0的情形，即自由落体运动，此时方程 (1.1)可化为 （ 1.2） 将上式对 t积分两次得 (1.3) 一般说来， 微分方程 就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导
4、数之间的关系式 .如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为 常微分方程 ；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为 偏微分方程 .本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程 . 例如下面的方程都是常微分方程 (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) 在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为 方程的阶 .这样，一阶常微分方程的一般形式可表为 (1.8) 如果在 (1.8)中能将 y解出，则得到方程 (1.9) (1.10) 或 (1.8)称为一阶隐式方程 ,(1.9)称为一阶显式方程， (1.10)称为微分形式的一阶方程 . n 阶隐
5、式方程 的一般形式为 （ 1.11） n 阶显式方程 的一般形式为 (1.12) 在方程 (1.11)中，如果左端函数 F对未知函数 y和它的各阶导数y,y, y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程 .这样，一个以 y为未知函数，以 x为自变量的 n阶线性微分方程具有如下形式： 显然，方程 (1.4)是一阶线性方程；方程 (1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程 (1.7)是二阶非线性方程 . 通解与特解 （ 1.13） 微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下 . 定义 1. 设函数 在区间 I上连续，且有直到 n阶的导数 .如果
6、把 代入方程 (1.11)，得到在区间 I上关于 x的恒等式， 则称 为方程 (1.11)在区间 I上的一个解 . 这样，从定义 1.1 1. 函数 y = x2+C是方程 (1.4)在区间 (-， +)上的解，其中 C是任意的常数 . 2. 函数是方程 (1.5)在区间（ -1,+1）上的解，其中 C是任意常数 .又方程 (1.5)有两个明显的常数解 y = ，这两个解不包含在上述解中 . 2. 函数 是方程 (1.5)在区间（ -1,+1）上的解，其中 C是任意常数 .又方程 (1.5)有两个明显的常数解 y = ，这两个解不包含在上述解中 . 3. 函数 是方程 (1.6)在区间 (-，
7、+)上的解，其中和是独立的任意常数 . 4. 函数 是方程 ( . )在区间 (-， +)上的解，其中和是独立的任意常数 . 这里，我们仅验证 3，其余留给读者完成 .事实上，在 (-， +)上有 事实上，在 (-， +)上有 所以在（ ， ）上有 从而该函数是方程 (1.6)的解 . 从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数 .我们把 n阶常微分方程 (1.11)的含有 n个独立的任意常数 C1， C2， ， Cn的解 ，称为该方程的 通解 ，如果方程 (1.11)的解不包含任意常数，则称它为
8、特解 .由隐式表出的通解称为 通积分 ，而由隐式表出的特解称为 特积分 . 由上面的定义，不难看出，函数 和 分别是方程 (1.4)， (1.5)和 (1.6)的通解，函数 是方程 (1.7)的通积分，而函数 y =是方程 (1.7)的特解 .通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的 初始值条件 ，或简称 初值条件 . 初值问题 例 1中的函数 (1.3)显然是方程 (1.2)的通解，由于 C_1 和 C_2是两个任意常数，这表明方程 (1.2)有无数个解，解的图像见下面的图 a和图 b所示 . 而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹 .产生这种多
9、解性的原因是因为方程 (1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时 t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解 (1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律 .显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹 .为了求解满足初值条件的解，我们可以把例 1中给出的两个初始值条件，即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14) 它描述了初始高度为 H，初始速度为 v0的自由落体运动规律 . 求微分方程满足初值条件的解的问题称为 初值问题 . 于是我们称 (1.14)是初值
10、问题 的解 . 对于一个 n 阶方程，初值条件的一般提法是 其中 x_0 是自变量的某个取定值，而 是相应的未知函数及导数的给定值 .方程 (1.12)的初值问题常记为 (1.16 (1.15) (1.16) 初值问题也常称为 柯西 （ Cauchy） 问题 . 对于一阶方程，若已求出通解 ，只要把初值条件 代入通解中，得到方程 从中解出 C，设为 C_0，代入通解，即得满足初值条件的解 . 对于 n 阶方程，若已求出通解 后，代入初值条件 (1.15)，得到 n个方程式 (1.17) 如果能从 (1.17)式中确定出 ，代回通解，即得所求初值问题的 . 例 2 求方程 的满足初值条件 的解
11、. 解 方程通解为 求导数后得 将初值条件代入，得到方程组 解出 C_1和 C_2得 故所求特解为 积分曲线 为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象 .一阶方程 (1.9)的一个特解的图象是 xoy平面上的一条曲线，称为方程 (1.9)的 积分曲线 ，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为 积分曲线族 .例如，方程 (1.4)的通解 +C是 xoy平面上的一族抛物曲线 .而是过点 (0， 0)的一条积分曲线 .以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别 .对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第 4章详
12、细讨论 . 最后，我们要指出，本书中按习惯用 代替 而 分别代表 本节要点： 1常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程 . 2常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分 . 3初值问题及初值问题解的求法 . 4解的几何意义，积分曲线 . 第 2讲 变量可分离方程 1什么是变量可分离方程？ （ 1.18） 或 （ 1.19） 1什么是变量可分离方程？ 1.2.1 显式变量可分离方程的解法 . 1. 在方程 (1.18)中，假设 g(y)是常数，不妨设 g(y)=1.此时方程 (1.18)变为 (1.20) 设 f(x)在区间 (a,b)上连续，那么，求方程 (1.
13、20)的解就成为求f(x)的原函数 (不定积分 )的问题 .于是由积分上限所确定的函数 (1.21) 就是方程 (1.21)的通解，其中 C是一个任意常数，是一个固定数，是自变量 . 2.假设 g(y)不是常数，仍设 f(x)在区间 (a,b)上连续，而 g(y)在 区间上连续 . 若 y=y(x) 是方程 (1.18)的任意一个解，且满足 y(x_0)=y_0，则由解的定义，有恒等式 (1.22) 假设 g(y)0，于是可用 分离变量法 把方程写成 (1.23) 将上式两端积分，得到恒等式 (1.24) 上面的恒等式表明，当 g(y)0时，方程 (1.18)的任意一个解必定满足下面的 隐函数
14、方程 (1.25) 反之，若 是隐函数方程 (1.25)的解，则有恒等式 (1.24)成立，由 (1.24)的两边对 x求导数，就推出 (1.23)成立，从而 (1.22)成立， 这就表明了隐函数方程 (1.25)的解 也是微分方程 (1.18)的解 . 在具体求解方程时，往往把 (1.24)写成不定积分形式 （ 1.26） 由上面的证明可知，当 g(y)0时，微分方程 (1.18)与隐函数方程 (1.26)是 同解方程，即若由 (1.26)解出，则它是 (1.18)的通解，由于 (1.26)是通解的 隐式表达式，所以 (1.26)亦称为方程 (1.18)的 通积分 .在求解过程中， 对于通积
15、分 (1.26)应该尽量把它演算到底，即用初等函数表达出来， 但是，并不勉强从其中求出解的显式表达式 .如果积分不能用初等函数表达 出来，此时我们也认为微分方程 (1.18)已经解出来了， 因为从微分方程求解的意义上讲，留下的是一个积分问题，而不 是一个方程问题了 . 3. 若存在 ，使 ，则易见 是方程 (1.18)的一个解，这样的解称为 常数解 . Y(x)=y_0 1.2.2 微分形式变量可分离方程的解法 方程 是变量可分离方程的微分形式表达式 .这时， x和 y在方程中的地位是“平等”的，即 x与 y都可以被认为是自变量或函数 . 在求常数解时，若 ，则 y=y_0为方程 (1.19)的解 .同样，若 ，则 x=x_2也是方程 (1.19)的解 . 当时 ，用它除方程 (1.19)两端，分离变量，得 上式两端同时积分，得到方程 (1.19)的通积分 本节要点： 1变量可分离方程的特征 2分离变量法的原理：微分方程（ 1.18）与分离变量后的积分方程（ 1.26）当 时是同解方程 3变量可分离方程一定存在常数解y=y_0, 并且满足
