1、10.2 多元函数的偏导数,10.2.1 偏导数,偏导数的定义,的偏导数.,设二元函数,对于 n 元函数,若极限,存在,则称为,例1：,对变量x求导,解：,将y看作常数,二元函数,同理有,例2:,解：,三元函数,偏导数存在与连续:,Very Important!,例3：,无极限，不连续！,偏导数存在.,例4：,初等函数，连续.,不存在！,而,方向导数,存在,若,记作,方向导数与偏导数间的关系,设,方向的方向导数就是偏导数.,10.2.2 高阶偏导数,定理：,若在某点其两个二,一般来说, 高阶混合偏导数与求导顺序有关！,什么情况下,混合偏导数与求导次序无关呢？,对于n元函数,阶混合偏导函数,证明
2、:,记(只对二元函数证明),则相等.,则,同理：,例,10.3 多元函数的微分,10.3.1 微分的概念,一元函数微分的概念：,多元函数的可微与微分,(*),称为微分.,定理：,特别地,记,则,在,证明：,时,10.3.2 函数可微的充分条件,定理,证明：,若函数 f 各偏导函数,在某点都连续,则在该点可微.,一元函数微分：,多元函数微分：,式中a称为导数.,由上面定理知,函数沿梯度方向的方向导数最大.,例5:,求:,解:,记作,例6：,切向量的方向导数.,解：,在 (1,2) 切向量,单位化,梯度与微分的几何意义,表示平面.,表示平面, 记作,称为曲面,梯度与微分的几何意义,例7：1),在(
3、1,1)处切平面,2),即,例8,研究该函数在原点是否存在偏导数,是否可微.,解,所以,下面证明该函数在原点不可微.,则 f (x,y) 在 (0,0) 的微分是,若该函数在原点可微,根据微分定义，,但是容易证明:,事实上，,因此根据微分定义推出该函数在原点不可微 .,例9,考察该函数在原点是否可微，偏导数是否连续.,1.证明函数在原点可微.,计算得到,容易看出：,在原点自变量的改变量是,所以,并且,2.证明该函数的偏导数在原点不连续.,没有极限.,从而,同样的方法可以证明：,10.3.4 二元函数的原函数问题,设函数 连续,问,是否某个函数 的微分？,(全微分),若是, 则称 是 的一个原函
4、数.,“必要条件”:,若 有连续的偏导数,且,有原函数,则,证明:,二阶混合 偏导连续 时必相等,例10,求 的原函数.,解:,从而有,因为,所以,即,数学名家介绍 (二),泰勒(Taylor, Brook, 1665.8.18-1731.12.29) 英国数学家.生于埃德蒙顿，卒于伦敦.1709年获法学博士学位.1712年当选为皇家学会会员.他和哈雷、牛顿是亲密的朋友.在数学方面，他主要从事函数性质的研究，于1715年出版了增量方法及其逆一书，书中发表了将函数展成级数的一般公式，这一级数后来被称为泰勒级数.他还研究了插值法的某些原理，并用这种计算方法研究弦振动问题、光程微分方程的确定问题等.泰勒在音乐和绘画方面也极有才能.另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年.,作业,P53 2, 3(2)(5)(6)(7), 4(4)(5)(7),P63 1(3)(5) 2, 3, 5, 6,
