1、1导数应用“恒成立问题”练习1. 已知函数 ()lnfx（I）求函数 的单调递减区间；（II）若 26fa在 (0,)上恒成立，求实数 a的取值范围；（III）过点 (,)Ae作函数 yfx图像的切线，求切线方程解（） ln1fx得 ln1 0函数 ()f的单调递减区间是 (0,)e； （） 2()6fxa即 6lx设 lng则22(3)()xg当 (0,2)x时 (0x，函数 单调递减；当 时 )，函数 ()单调递增；最小值 5ln2实数 a的取值范围是 (,5ln； （）设切点 0(,)Txy则 0()ATkfx02ln1xe即 201ex设 2()ln1he，当 时 ()h()是单调递增
2、函数 0x最多只有一个根，又 22ln102xe切线方程为21(,),Tke2()yxye即2.（1）求函数 在点处 处的切线方程；lnyx()（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；a0,a（3）已知 .若存在 ,使得xxgf ln1)()1(2) )1(,21a,求实数 的取值范围。3|(|1g解：（1） 0yx（2）法一：原问题等价于 对 恒成立，即ax1ln),0(maxln1()令 ，由 得),(,)(g 2l0xg1,0; 1xffx时 时 是 极 大 值 点所以 ，即 。ma),a),2法二：原问题等价于函数 的图像恒在函数 的图像的下方，临界情xyln1axy况是 与
3、相切。xyl1a设函数 的切点为 ，则 ，所以 ，又切点在)l,(000，所以 ，所以 ，则 。1axy 1ln0ax1xa所以， 对 恒成立时， 。l(,),（3）原问题等价于: 存在 ，使得 ，则只需1,2a 3(321gf，即 。3)(maxingf minaxaxin()()fg由 得，,1,21i()(1),ff，则 。()2ff因 为 max32由 得 0xg 1,()0;,()0ffx时 时所以， 。1是 极 小 值 点 in()g,l,ln)( aa因 为，21ga2()1l()(ln2(1ln)0,(1hhah设max100)()l.gagga所以 得 ，即,30)213(l
4、n,a,ee即 的范围是 。a,e（注意： ，用了第（2）问结论）l2(1ln)0ha3.已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ()fx,0exe(其中e 是自然界对数的底, )lnaR（1）求 的解析式;)f3（2）设 ，求证：当 时，且 ， 恒成立；ln(),0xge1a0,ex1()2fxg（3）是否存在实数a，使得当 时， 的最小值是3 ,()f？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。解：（1）设 ，则 ，所以 又因为 是定义在,0)xe(,xe()ln()fxax()fx上的奇函数，所以 (故函数 的解析式为)fxl(),0)()nxefa（2）证明：当 且 时， ，
5、设,0)e1ln()()l(),xfxg因为 ，所以当 时，ln()2xh1fx 1e，此时 单调递减；当 时， ，此时 单调0f()f 0()0fx()fx递增，所以 又因为 ，所以当min1x2lnh时， ，此时 单调递减，所以e()0h()hxmax min()2hef所以当 时， 即 ,0)(),fxh1()2fxg（3）解：假设存在实数 ，使得当 时， 有最小值是3，a0eln()ax则 1()fxx（）当 ， 时， 在区间 上单调递增，0a,)e1()0fx()f,0)e来源:学 f5（2）当 时，若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围。0p0x()0fxp解：（1） ， 的定义域为
6、()ln1fxpf,)，当 时， ， 在 上无极值点./()f /()x(f,当 ，令 、 随 的变化情况如下表：0p时 ()0,fxp)x从上表可以看出：当p0时，f(x)有唯一极大值点 .1xp(2)由（1）可知，当p0时，f(x)在 处取极大值 ，此极大值也是最大1xp1()lnfp值。要使f(x) 0恒成立，只需 0.解得p ,故p的取值范围为 。()lnf1,)6.已知函数 xaxfln)(（1）当 时，函数 的图像在点 处的切线方程；)(f )1(,fP（2）当 时，解不等式 ；00（3）当 时,对 ,直线 的图像下方.求整数 a），（ 1x )()(xfyxky恒 在 函 数 k
7、的最大值.解：（1） ，当 时切线 12),1(2（2） ),0(,ln0)( aexxf （3）当 时,直线 的图像下方，得），（ 11xfyky恒 在 函 数问题等价于 对任意 恒成立. )(fk当 时，令 ，令 ， ，x1,11(,p/()f+ 0 -递增 极大值 递减6故 在 上是增函数由于 ,03ln1)(h04ln2)(h所以存在 ，使得 l0xx则 ； ，,0x时 ， 0)(h） 时 ，即 ；)()(g时 ， (0g） 时 ，知 在 递减， 递增,10），0x又 ， ，所以 =3 7.已知函数 = 321()axxR，其中a0. )(f（）若a=1，求曲线 在点 处的切线方程；f
8、y)2(,f（）若在区间 ,2上， 恒成立，求a 的取值范围。0)解：（）当a=1时，f（x）= 32x1，f（2）=3；f(x)= 23x, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）f(x)= 23(1)aa.令f(x)=0，解得x=0或x= 1a.以下分两种情况讨论：（1） 若 0a2， 则 ，当x变化时，f(x)，f （x）的变化情况如下表：X10，0120，f(x) + 0 -f(x) 极大值当 1xfx2， 时 ， （ ） 等价于5a10,(),820,.f即解不等式组得-52，则 10a2.当x变化时，f(x),f
9、（x）的变化情况如下表：X，01a， 1a2，f(x) + 0 - 0 +f(x) A极大值 A极小值 A当 1x2， 时，f（x）0等价于1f()20,a即 2581-0.a,解不等式组得 5a或 2.因此2 ，即 当 时， ，当 时， 10.已知函数（）若曲线y=f(x)在点P（1，f(1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；（）若对于任意 成立，试求a的取值范围；（）记g(x)=f(x)+x-b(bR).当a=1时，函数g(x)在区间 上有两个零点，求实数b的取值范围。解：（）直线y=x+2的斜率为1， 函数f(x)的定义域为 因为 ，所以 ，所以a=1所以由
10、解得x2 ; 由 解得01，由 解得0x1所以函数g(x)在区间 上有两个零点，所以 解得所以b得取值范围是 )(xf的单调递减区间为 12,(a， ),0；单调递增区间为 0,12a. 11.已知函数 （aR，e为自然对数的底数）()lnfxx，（）当a1时，求 的单调区间；(f（）若函数 在 上无零点，求a的最小值。)f10,2解：（I）当 2,(ln,()1,afxxfx时 则由 由)0;f得 ()0.f得故 (,22,.x 的 单 调 减 区 间 为 单 调 增 区 间 为（II）因为 上恒成立不可能，1)0(,)f在 区 间故要使函数 上无零点，只要对任意的 恒成立，,2fx在 1(
11、0,)2xfx11即对 恒成立。12ln(0,)1xxa令 l2,(0),l则 22(1)lnl() ,(1)xxl22()ln,0,(1),mxx 再 令则1()0,()2ln0,1,()0,2xmxllx故 在 上 为 减 函 数 于 是从 而 于 是 在 上 为 增 函 数 1()4ln,2,24ln,lxxaa所 以故 要 使 恒 成 立 只 要综上，若函数 1()0,2f在 上 无 零 点 24ln.则 的 最 小 值 为12.已知函数f（x）ln（ xe a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）f（x）sinx是区间1， 1上的减函数（1）求a的值；（2）求关于x的方程
12、ln()fx 221ex 的根的个数；（3）若g（x） 2t 1在x 1，1上恒成立，求t的取值范围解：（1） )ln()aef是奇函数，则 )ln()ln(aeaexx恒成立.(xx即 .0,12 x （2）由（1）知 22l1()f e方 程 为令 212ln,xf ex，12Q12ln()xf，当 ,0(),)(,011exffe在时 上为增函数；,0x时 在 上为减函数，当 时， .1max1ff而 22()fe，min2(.xf 2l1)exf方 程 只有一个根. （3）又 Q(gx在1，1上单调递减， ,1sin)()(maxg且 cos0对 -,恒 成 立 1in2t只 需 .)
13、01sin2 恒 成 立其 中 tt令 ),(i)(th则 ,1i2t221sin10,sin0tt而 恒 成 立. 13.已知函数 。(),xfmRe（1）当 时，求 的单调区间、最大值；0()f（2）设函数 ，若存在实数 使得 ，求m的取值范围。|lng0x0()g解：（1）当 时， 。 ()1x xfee当 时， ，函数 在区间 上是增函数； 1x0()f(,)当 时， ，函数 在区间 上是减函数； f 所以 的最大值为 。 ()f 1()fe故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，最大值为 。fx,)(1,)1e（2）由已知 。当 时， ，01x(ln)gxfx，函数 在区间 上
14、是减函数； 1()()0ge)(0,当 时， ， ，函数 在区间xln(xfx1)xe()gx13上是增函数；所以 的最小值为 。 (1,)()gx1()gme若存在实数 ，使得 ，则 ，解得 。所以m的取值范0x00e围为 。 1(,)e14.设函数 ，曲线 在点 处切线斜率为 .2ln(1)afxxb()yfx1,()f0（1）求 ;b（2）若存在 ,使得 ,求 的取值范围.01x0()1fxa（1） ， （2）b,2(,)15.设函数 （其中 ）的图像在 处的切线与直3()fxmx2m2x线 垂直50y（1）求函数 的极值与零点；（2）设 ，若对任意 ，存在 ，使 成1()lngxxk1
15、0,x2(0,1x12()fxg立，求实数 的取值范围；解：（1）因为 ，所以 ，2234fm 2()85fm解得： 或 ，又 ，所以 ， 17由 ，解得 ， ，2()0fxx1x23所以 ， ， 5()37ff极 小 值 ()()ff极 大 值因为 ，22()xxx所以函数 的零点是 f（2）由（1）知，当 时， ，0,1min50()7f“对任意 ，存在 ，使 ”等价于“ 在 1,x2,x12()fxg()fx0,1上的最小值大于 在 上的最小值，即当 时， ”,()g0,1(0,min52714，221()xkgxk 当 时，因为 ，所以 ，符合题意；0(0,150()ln27xgk 当
16、 时， ，所以 时， ， 单调递减，1k,x()()gx所以 ，符合题意；min50()()27gx 当 时， ，所以 时， ， 单调递减，1k01k1(,)xk()0gx()时， ， 单调递增，(,)x()g所以 时， ，0,1min11()lnxkk令 （ ），则 ，所以 在 23()ln7x0()0x()x0,1上单调递增，所以 时， ，即 ，(,1)x5()12723ln7所以 ，符合题意min 30()lngkk综上所述，若对任意 ，存在 ，使 成立，则实数 的10,x2(,1x12()fxgk取值范围是 (,)()16. 已知函数 .2ln(0)fxaxa（1）当 时，求 的极值。
17、0af（2）当 时，讨论 的单调性；fx（3）若对任意的 恒有 123,3a12ln32lmafxf成立，求实数 的取值范围 . m解：（1）当 时， 1分021ln, (0).xfxfx15由 ,解得 . 2分210xf12x 在 上是减函数，在 上是增函数. 3分, 的极小值为 ，无极大值. 4分fx1ln2f（2） . 5分2211(0)axaxaf x当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数；60f0,a分当 时， 在 上是减函数； 8分2afx,当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数. 8分f1,210,a1,2a（3）当 时，由（2）可知 在 上是减函数，afx,3 . 9分121342lnfxff由 对任意的 恒成立，12ln3lmafxf123,3ax 10分maxl2lff即 对任意 恒成立，ln3l42ln3a2a即 对任意 恒成立， 11分24m3a由于当 时， ， . 12分3a1238491m
