1、 烟台大学学士毕业论文（设计） - 1 -1 引言Hamilton 动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是 Lagrange 力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此.近几十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton 动力系统理论又成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以 Hamilton 系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利用 Hamilton 原理推导出了 Ha
2、milton 系统的正则方程.最后利用 Hamilton 正则方程给出一个具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.烟台大学学士毕业论文（设计） - 2 -2 预 备 知 识2.1 状 态 空 间 的 基 本 概 念1）状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在 0t时刻的状态是 0t时刻的一种信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在 0t时的行为.2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组.3）状态向量设系统有 n个状态变量，用 12,nxtxt 表示，而且把这些状态变量看做向量xt的分量，则向量 xt称为状态向量，记为 12,Tntxtxt.4）状态
3、空间以状态变量 12,nxtt 为轴的 维实向量空间称为状态空间.5）状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为： ,xtftut其中， t是时间变量， ut是输入变量.6）输出方程描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的烟台大学学士毕业论文（设计） - 3 -一般形式为： ,ytgxtut.7）状态空间表达式状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也
4、称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为： ,xtftutyg通常，对于线性定常系统，状态方程为 xABuyCD其中， 12,Tnxx 表示 维状态向量， 表示系统内部状态的系数矩nijaR阵，称为系统矩阵 ， 表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控AnrijrBbR制）矩阵 ， 表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵 ， nrBmijnCc mnC表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵 ，也称前馈系mijrDdR rD数矩阵.由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而 则主要体现了系统A B输入的施加情况，通常情况下 .0D2.2 线性定常连续系统的能控性定
5、义 2.1 设 ，若存在一分段连续控制向量 ，,npnxABuxRA ut能在 内，将系统从任意的初态 转移至任意终态 ，则系统完全能控.0,ft 0tfxt定理 2.1 系统完全能控的充要条件： rankSc其中， ，称为能控矩阵.1,nScBA2.3 线性状态反馈控制律线性状态反馈控制律为 式中， 是参考输入， 称为状态反馈增益uVKxpnKR烟台大学学士毕业论文（设计） - 4 -矩阵.系统动态方程变为： KxABVKxABxVAByCDCDC式中， ， ，当 时，状态反馈系统闭环传递函数 为KAK0KWs1WsIABV式中， 为闭环系统的系统矩阵.BV以上我们简要介绍了控制系统的有关问
6、题，现在针对单输入定常线性系统，设计其某种形式的线性定常控制律，使得闭环系统具有指定的希望的一组极点，即极点配置.2.4 极点配置考虑下述单输入线性定常系统（2.4.1）CxybuA其中 为 常阵， 和 分别为 和 常阵.选取线性定常反馈控制律 ，使AnbC1n kxu得（2.4.1）在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.问题 SPA状态反馈极点配置问题 给定矩阵 ， 及一组共轭封闭复数nRA1nb， i=1，2，n（不必互异） ，求取矩阵 使得 is rKiisKn,21对问题 SPA 先考虑其解的存在性有：定义 2.2 如果对于任何给定的一组共轭封闭复数 ， ,前述问题 SPA 均有解，
7、isn2,1则称线性定常系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点.下述定理给出了线性定常系统（2.4.1）利用状态反馈任意配置极点的条件.定理 2.2 定常线性系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统（2.4.1）完全能控问题 对单输入系统，给定能控矩阵对 和一组期望的闭环特征值 ， bA*2*1,n要确定 的反馈增益矩阵 ，使成立 ， .n1k*iiBKn,21对于上述问题，我们有下述算法：算法 2.1 单输入系统的极点配置设计第一步：计算 A 的特征多项式，即烟台大学学士毕业论文（设计） - 5 -011det assaAsInn第二步：计算由 所决定的多项式，即*2*
8、1,n *011*1)( sssann第三步：计算 *1*1*0 naaK第四步：计算变换阵 111 nnn abAbP 第五步：求 1pQ第六步：所求的增益阵 .K2.5 分析力学中相关的知识1） 广义坐标能够完全确定质点系位形的独立参变量，用符号 表示.,21q广义坐标是彼此独立的.其选择有一定的随意性，只需根据质点系的特点，选择那些能够惟一地确定该系统位形的参变量即可.2）广义速率在质点系中引入广义坐标之后，质点系的运动可以用广义坐标随时间的变化规律来描述，即广义速率： kdtq ,21 3）广义坐标变分假设在给定的运动初始条件下，某质点系的运动微分方程组的解已经求得，它的广义坐标运动方
9、程为 ，广义速率 于是广义坐标的全微分为tqdtqk,21烟台大学学士毕业论文（设计） - 6 -同样，广义坐标也有它的可能运动方程tq*k,21比较统一瞬时广义坐标的真实运动和与其相邻的可能运动，并限定二者的差值为无限小量，即q* k,21就称为广义坐标变分.q4）质点系的自由度该系统独立坐标变分的数目.对完整系统它的自由度等于它的广义坐标的数目.5）广义动量质点系的动能 T 对广义速率 的偏导数，即qqTp其中动能 T 是广义坐标 和广义速率 的函数.q6) 勒让德变换勒让德变换是把以 为变量的函数 变换成以 为新nx,21 nxf,21 ny,21变量的函数 的一种特殊变换， 称为 的勒
10、让德变换.n21y ，, f 设有一个二次可微的函数 ，且在雅可比行列式不为零，即nxf,21 0212121nnnxfxff 的区域内存在以下变量变换ssxfyns,21定义 的勒让德变换为f烟台大学学士毕业论文（设计） - 7 -nssfyxf121 ，y, 于是有 sxyf下面给出对部分变量进行变换的情况， ssxFyssy对保留变量有.rrx定理 2.3 哈密顿原理从动力学普遍方程出发可推导出哈密顿原理的一般形式，即 010dttWT其中 是系统动能的变分， 是作用于系统的所有主动力的虚功.T当作用在系统上主动力为有势时， .引入哈密顿作用量VtLdI10其中 为拉格朗日函数，是系统动
11、能与势能之差，即 . L T于是，对完整系统哈密顿原理可以写成常见的变分形式.tLdI10烟台大学学士毕业论文（设计） - 8 -3 哈密顿系统的动力学表述哈密顿正则方程3.1 保守系统的情形拉格朗日方程是用一组关于 个广义坐标 的二阶常微分方程组来描述系统的运动.kjq方程的建立完全依赖于以 为变量的拉格朗日函数 L，即tqj,.哈密顿以广义动量 取代广义速度 ，以 为变),(2121qLkk jpjq),(tpj量，称为哈密顿变量或正则变量.以哈密顿函数 代替拉格朗日函数 ，用 个关于广义Hk2坐标 和广义动量 为变量对称整齐的一阶常微分方程组，即称为哈密顿正则方程或正j jp则方程，以此
12、来描述系统的运动.因本文是针对线性系统而言，故这里只给出单自由度系统的哈密顿正则方程，下面用哈密顿原理导出单自由度系统的哈密顿正则方程.首先，利用勒让德变换把以 为变量的拉格朗日函数 L 变换成以 为新变tq, ),(tpq量的哈密顿函数 .显然，新变量 代替旧变量 参与变换，而同时保留变量 及 .Hpq根据对原变量进行部分替换的勒让德变换，可得哈密顿函数 LH因此，拉格朗日函数 代入哈密顿原理，即qpL01010dttqptd对上式进行变分运算，得(3.1.1)(10 tt qHpqp将上式第一项改写成如下形式，即 pdttqpkjj 1烟台大学学士毕业论文（设计） - 9 -代入式(3.1
13、.1) ，有(3.1.2)0)()(10 dtt qHpqp因为系统在始末位置是确定的，则有， (3.1.3)(0t)(1t于是有. (3.1.4)0)()(10 dtt qHpq根据广义动量的定义 ，由部分勒让德变换可得Lp(3.1.5)pHq因此式(3.1.2) 成为 0)(10 dttq对于完整系统，由于 可以任意取值，因此欲使上式成立，必有q(3.1.6)qHp联立式(3.1.5) 和式(3.1.6) ，即关于变量 的哈密顿正则方程),(t.qHp3.2 非保守系统的情形系统除有势力以外还存在非有势力作用的情形.在哈密顿原理的一般形式 (3.2.1)010dttWT中，系统的主动力的虚
14、功 可写成如下形式：qQV烟台大学学士毕业论文（设计） - 10 -其中， 和 分别表示有势力和非有势力的虚功.将上式代入式(3.2.1)，得VqQ dttqQLdtqVT)()(1010 将 代入上式，并进行变分运算，得HpL 0)(10 dtt qHpqp利用式(3.1.2) 和式(3.1.3) 有 0)()(10 dtt qQpq采用与前面同样的作法，即可得到存在非有势力作用时的哈密顿正则方程 pHq(3.2.2)Q式中 为系统的非有势力对应于 的广义力.Q q烟台大学学士毕业论文（设计） - 11 -4 利用哈密顿正则方程建立具体物理系统的数学模型水平弹簧质量振动系统图 4.1 弹簧质
15、量振动系统4.1 水平弹簧质量系统的问题描述假设系统满足条件：1) 振动无阻尼.2) 系统只能在水平方向即 方向运动.x3) 外力 ，以 的同方向为正.tu要求：1) 建立弹簧质量系统的运动微分方程.2) 求出反馈增益阵.3) 弹簧质量系统仿真模拟.4) 作任何有意义的讨论.4.2 水平弹簧质量问题的分析解：令 为输入量， 为输出量，取弹簧等于原长 时，质量位置 为 坐标轴的tuy0lox原点，取 为广义坐标.如势能零点取在弹簧原长位置，则系统的势能 ，因yx1 21kV此系统的拉格朗日函数x0l uxO烟台大学学士毕业论文（设计） - 12 -.1221uxkxmVTL求得广义动量 1xLp
16、因此.mx1计算哈密顿函数 ，并把它写成广义动量和广义坐标的函数H 122122111 )( uxkpuxkxpLx xx 求得 H 后，按式(3.2.2) 写出系统的正则方程 mpHxx1ukpx1由上二式消去 ，得到系统运动微分方程xp.kxm14.3 建立弹簧质量系统的数学模型令 则有xp2 uxuxkm 1010022121输出方程为 1y则弹簧质量系统的状态空间表达式 CxybuA其中 .okmA1010b01烟台大学学士毕业论文（设计） - 13 -5 系统闭环状态反馈控制器设计5.1 系统状态反馈控制根据线性系统状态反馈控制律，设状态反馈下受控系统的输入为 Kxu（ 为反馈增益矩
17、阵， ） ，将上式代入弹簧质量振动系统的状态空间表21RK21kK达式，得到弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式 CxybKA)(其中 .210kmbkA烟台大学学士毕业论文（设计） - 14 -6 求解状态反馈增益阵由定理 2.1显然系统完全能控，故满足闭环极点可任意配置条01mAbsc件.取；1k给定一组期望的闭环特征值 j*1， j*21）现计算系统的特征多项式 11detdet 2sAsI再由指定闭环极点可得希望的闭环特征多项式为 2221* sjsjsaii于是可求得 *01kaa再来计算变换阵 10101abAP并求出其逆 101PQ从而所要确定的反馈增益阵 即为k.2201烟
18、台大学学士毕业论文（设计） - 15 -2）调用 Matlab 函数算出的反馈增益阵见 附录 1烟台大学学士毕业论文（设计） - 16 -7 动态系统的 simulink 仿真7.1 创建 Simulink 系统模型首先根据弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式，选择合适的 Simulink 系统模块，然后建立此系统的 Simulink 模型.系统的 Simulink 模型图见附录 3.7.2 动态系统的 Simulink 仿真在 MATLAB 中，系统状态空间用 矩阵组表示，当输入 矩阵组后，,ABCD,ABCD用函数 直接可以得到状态空间模型。在 MATLAB 中，绘制二维图形最常用的,
19、sABCD函数是 plot 函数，对于不同形式的输入，该函数可以实现不同的功能。其调用格式如下：plot(X,Y) 当 X 和 Y 为向量时，以第一个变量为横坐标，第二个变量为纵坐标绘制图形。plot(X,Y,s) 想绘制不同的线型、颜色、标识等的图形时，可调用此形式，第 3 个输入变量为图形显示属性的设置选项：线型、颜色、标识。如图 7.1，它反映了弹簧质量控制系统在极点配置(P=-1+j,-1-j)后阶跃响应情况，其 Matlab 程序见附录 2.烟台大学学士毕业论文（设计） - 17 -图 7.1 极点配置后系统的阶跃响应曲线在完成弹簧质量振动系统的 Simulink 模型基础上，对系统
20、模型中各模块进行正确而合适的参数设置，便需要对系统仿真参数进行必要的设置以开始 Simulink 仿真，即可了解系统中有关位置的信号的情况，经过多次调试，在状态反馈控制器 Kxu的作用下，系统不断地对位置误差进行控制修正，最终使系统达到稳定的状态.例 1 根据线性系统状态反馈控制律，状态反馈下受控系统的输入为Kxu（ 为反馈增益矩阵， ）.21R21kK令 ;32010x1km; 1k2此情况下，弹簧质量控制系统 Simulink 模型的动态模拟仿真图如下0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3-2-10123Time(Sec)state图 7.2 Simulink 仿真图由图知，弹簧
21、质量控制系统是稳定的.烟台大学学士毕业论文（设计） - 18 -8 结束语弹簧质量系统控制问题，使用 Simulink 对其进行建模与仿真.结论表明：弹簧质量系统作为动力学系统，往往表现出强非线性、模型不精确或模型未知等复杂特征，其控制也因此而变得非常困难，当给定输入函数（控制函数）时，弹簧活塞系统稳定性变化随着物体的质量、弹簧个数改变而改变.本文中弹簧质量系统控制问题是一个简单的线性系统模型，这避免不了与实际情况有一些差异.当然原问题的基础上，再加两个弹簧，我们也可以建立相关的弹簧质量系统模型.要想得到更接近实际的结果，我们需要考虑多方面的因素建立控制模型，当然求解和仿真也是比较复杂.这需要
22、我今后更加努力学习、不断改进模型，并能够进行动态模拟仿真.烟台大学学士毕业论文（设计） - 19 -参考文献1 段广仁编著，线性系统理论，哈尔滨工业大学出版社，1996.112 叶敏、肖龙翔编著，分析力学，天津大学出版社，2001.43 杨晓松编著，Hamilton 系统的拓扑理论，中国科学技术大学出版社，2008.84 王正林、王胜开、陈国顺编著，MATLAB/Simulink 与控制系统仿真，电子工业出版社，2005.7烟台大学学士毕业论文（设计） - 20 -附录附录 1反馈增益阵的 MATLAB 的程序A=0,1;-1,0;B=0;1;P=-1+j,-1-j; %希望的极点K=acker(A,B,P); %进行极点配置运行结果如下：K=1 2附录 2极点配置后系统的阶跃响应 MATLAB 的程序如下：A=0,1;-1,0;B=0;1;C=1,0;D=0;P=-1+j,-1-j;K=place(A,B,P);sys_new=ss(A-B*K,B,C,D);t=0:0.2:10;y_new=step(sys_new,t);plot(t,y_new);gridxlabel(时间/秒)烟台大学学士毕业论文（设计） - 21 -ylabel(y(t)附录 3图 7.3 系统的 simulink 模型烟台大学学士毕业论文（设计） - 22 -
