1、6 中等数学交比调和点列阿波罗尼斯圆极线极点金磊(西安交大附中曲江校区，710049)中田分类号：01851 文l哦标识码：A 文章编号：10056416(2011)一O00604(本讲适合高中)2010年全国高中数学联赛加试第一题题目为：如图l，已知锐角ABC的外心为D。X是边BC上一点(不是边BC的中点)，D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点，直线CD与A曰图l交于点M求证：若OK上MN，则A、B、D、C四点共圆本题颇有难度，命题组提供的答案用的是反证法，让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见结论的自然“结晶”此类问题在国家队选拔考试中屡见不鲜本文拟系统地介绍交比、调
2、和点列、完全四边形、阿波罗尼斯(Apollonius)圆、极线等射影几何的重要概念及应用，抽丝剥茧、溯本求源。揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出此题的一种简单明了的直接证明1知识介绍定义1如图2。共点于O的四条直线被任意直线所截的有向。线段比A蔚C：蔚AD称为线束伽、0C、08、OD或D圈2收稿日期：20101021謦固日期：20101124点列A、C、B、D的交比【2】性质l线束的交比与所截直线无关定义2 交比为一l，即筹=一面AD的线束称为调和线束，点列称为调和点列显然，调和线柬与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束性质2
3、调和点列常见变形(0为边CD中点)：(1)磊=历1+丽1；(2)DC2=OBOA；(3)ACAD=ABAO；(4)ABOD=ACBD性质3一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四条线平行定义3如图3，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF。C、BD、EF称为其对角线(一般的四条直线即交H F图3|成完全四边形)【3J性质4完全四边形对角线互相调和分割，即A、G、C、H，B、G、D、J，E、日、，、，分别构成调和点列定理1 在完全四边形ABCDEF中触泐、ABF、肋C、肋C这四个三角万方数据2011年第3期 7形的外接圆共点，称为完全四边形的密克(Miquel)点定理2
4、如图4，到两定点A、B距离之比为定值k (k0，且k1)的点的轨迹为圆，称为阿波罗尼斯(Apolloniu8)圆P图4D性质5如下三个条件中由其中两个可推得第三个：(1)尸c(或eD)为么APB内(外)角平分线；(2)CPLPD；(3)A、C、B、D构成调和点列定义4设A、B关于00互为反演点过B作DA的垂线f称为点A对00的极线；A称为Z的极点【4】性质6若点A的极线为Z，过A的圆的割线ACD与Z交于点曰，则A、C、B、D为调和点列定理3(配极原则)若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A一般称A、D互为共轭点性质7 A、B、C、D是oD上四点，直线AB与CD、AC与BD、AD与BC分别
5、交于点P、Q、R则三点中任意两点的连线的极点是第三点性质8若A、D互为共轭点，则A矿=A的幂+D的幂(对0D)2例题选讲例1如图5。在完全四边形ABcDEF中。GJ L EF千氮上则么BJA=么DJCj H F l网5(2002，中国围家集训队选拔考试)证明由性质4及性质5有么BJC,=么DJG么G=么C见则么BJA=么DJC例2如图6，ABC内角平分线BE与CF交于点，口上EF与BC交于点P，且IP=21Q求证：么BAC=60。C罔6证明如图6，作AX上EF与BC交于点L由性质4知A、D、，、D为调和点列故罴=舄=篇=易又IP=21Q，则从=XY，即EF为AY的中垂线由正弦定理得塑 一兰8i
6、n么FYCsin么l一旦一一一sin么2一sin么FAC。则A、，、Y、C四点共圆同理，A、E、Y、B四点共圆故么BYF=么BAC=么CYE=么EYF所以么BAC=600例3如图7，P为oD外一点，PA、PB为00的两条切线，PCD为任意一条割线，CFPA且与AB交于点E求证：CE=EF(2006。IMO中国国家集训队培训) 网7万方数据8 中等数学证明由性质6及性质3即得例4如图8，ABC内切圆切边BC于点D，AD与圆交于点E，作CF=CDCF s BE B交于点G求证：GF=FCL61图8(2008，IMO中国国家队选拔考试)证明如图8，设另两切点为日、，琊与BD交于点，联结JE由性质6知
7、A、E、K、D为调和点列，由定理3知AD的极点在脚上又AD极点在BD上，则_，为AD极点故肛为切线，层、D、C、J为调和点列由CF=CD，且JD=JE，知cr瓜由性质3知GF=FC例5如图9。在圆内接完全四边形ABCDEF中。AC与BD交于点G则E、，、G、D构成垂心组(即任意一点是其余三点的垂心) 图9证明由定理3、性质7知E、G，F、C为两组共轭点由性质8知EG2一FG2=(E的幂+G的幂)一(，的幂+G的幂)=E的幂一F的幂=E02一F02则0C上EF其余垂直同理可证【注】本题结论优美深刻，这在文献7】中已有介绍，它涉及到调和点列、完全四边形、密克点、极线、阿波罗尼斯圆、垂心组等几何内容
8、本文开头提到的2010年联赛题为本题的逆命题解题者在熟悉上述内容的情况下，采用反证法也就在情理之中了证明如图1，假设点D不在00上令AD与00交于点E，CE与AB交于点P，BE与AC交于点Q由例5得PQMN由性质4得MN、AD调和分割曰C同理，尸Q亦然则PQMNBC从而，K为边BC的中点，矛盾故A、B、D、C四点共圆其实本题也可直接证明另证如图lO，由例l得么l=么2图lO又K不是边BC的中点，类似例2证明可得D、B、，、c四点共圆故么MJB=么MC1=么BOC=么BAc二由定理l得，为完全四边形ABDCMN的密克点则么BDM=么剧射=么BAN故A、B、D、C四点共圆以例5为背景的赛题层出不穷
9、，再举几例例6设D是A ABC的边BC上一点。满足么CAD=么CBA00经过点曰、D，并分别与线段AB、AD交于点E、F，BF与DE交于点G，肘是AG的中点求证：CM上0【。l(2009，IMO中国国家队选拔考试)万方数据2011年第3期 9证明如图11，设EF与BC交于点上C 图11由性质3得A、K、G、L为调和点列由性质2(4)有LKGM=LGKA又么CAD=么ABD=么JFD。则E1C久故铬=筹=器，i JGffCM而由例5有粥上OA故CM上AO例7 如图12，设O 0的外切四边形ABCD对边交于点E、F。AC与BD交于点G则OG上E，图12证明如图12，设oD与其外切四边形ABCD的四
10、边切点分别为A、B、C、D，AC与BD交于点G，AB与CD交于点E，AD与曰C交于点E由性质7知BD、AC的极点E、F在EF上则点G与G重合由例5即得OGJ-E，例8如图13，四边形ABCD为00的外切四边形，OE J-AC于点E则BEC=DEc圈13证明如图13。作出辅助线由例7知FI、GH、BD三线共点于肘，且为AC的极点从而，OE也过点肘，且B、D、朋构成调和点列由性质5得么BEC=么舾C最后再看一道伊朗试题及其推广例9ABC内切圆o，切BC于点D，AD与o，交于点K，BK、CK与o，交于点E、F求证：BF、AD、CE三线共点【分析】本题一般思路为塞瓦定理计算，计算量较大有人将其推广为对
11、AD上任意一点K，都有本结论成立(如图14)对推广证明如下么旋。 蕊：k图14证明如图14。设另两个切点为肘、。MN与BC交于点上由例4得曰、D、C、，为调和点列，故对AD上的点K，由性质l知EF必过点_，：由性质4对完全四边形BE眦必有CE、BF、ilK三线共点万方数据10 中等数学一个函数的最小值单蹲(南京师范大学数学系210097)中图分类号：0174 文献标识码：A 文章编号i 10056416(2011)03-0010一在0口、b、cl时，a、b、c的函数fCa，b。c)a b c2万1 Tb再+万1了C忑+订1 i再b+ +C + +口 +口+(1一a)(16)(1一c)的最大值为
12、1这是一道美国的数学竞赛题，难度不大，解题者很自然地会想到确定它的最小值1不难猜测，当n=b=c：时，最小值为收稿日期：201012一眈练习题1H是锐角ABC的垂心，以BC为直径作圆，自A作切线AS、AT求证：S、日、r三点共线(1996，中国数学奥林匹克)提示：本题为性质7特例2求证：在完全四边形ABCDEF中，过AC与BD的交点作AB平行线被CD、EF平分提示：由性质4及性质3即得3在ABC中，AD上BC，H为AD上一点，BH、CH分别与对边交于点E、F，EF与AD交于点K，任意作过K的直线与卯、CE、CD交于点jI，、N、Q，都有么MDF=么NDE(2003，保加利亚数学奥林匹克)提示：
13、由性质4类比例l即得400经过ABC的两个顶点A、C。且与边AB、BC分别交于两个不同的点K、，又吾但证明并不容易，本文将给出一个证明1几种特殊情形下面给出几种特殊情形，每一种情形本身也都是一个有趣的不等式问题(1)当a=b=c时，问题化为g(t)=高+(卜t)3(of1) ABC和船的外接圆交于点B及另一点胍求证：么D枷为直角(第22届IMO)提示：由性质3及例5即得参考文献：1】2010年全国高中数学联合竞赛J】中等数学，2010(12)2梅向明等高等几何M】北京：高等教育出版社，19883 粱绍鸿初等数学复习及研究(平面几何)【M】哈尔滨工业大学出版社2008【4 冯克勤射影几何趣谈【M】上海教育出版杜，1983【5】2002年IMO中国国家队选拔考试J】中等数学2003(I)6】2008年IMO中国国家集训队教练组走向IMO致学奥林匹克试题集锦M】上海：华东师范大学出版社。20087】单博译近代欧氏几何M】上海教育出版社1999【8】2009年IMO中国国家队选拔考试【J】中等效学，2009(7)万方数据
