1、 1.1 选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径 ),( yxr 的端点处，其速度大小为 (A)dtdr (B) dtrd (C) dtrd | (D) 22 )()(dtdydtdx 答案： D (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度 smv /2 ，瞬时加速度 2/2 sma ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于 -2m/s (C)等于 2m/s (D)不能确定。 答案： D (3) 一质点沿半径为 R 的圆周作匀速率运动，每 t 秒转一圈，在 2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) tRtR 2,2 (B) tR2,0 (C) 0,0 (D) 0
2、,2tR 答案 ： B 1.2 填空题 (1) 一质点，以 1sm 的匀速率作半径为 5m 的圆周运动，则该质点在 5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 答案 ： 10m； 5m (2) 一质点沿 x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为 a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度 v0为 5ms-1，则当 t 为 3s 时，质点的速度 v= 。 答案 ： 23ms-1 (3) 轮船在水上以相对于水的速度 1V 航行，水流速度为 2V ，一人相对于甲板以速度 3V 行走。如人相对于岸静止，则 1V 、 2V 和 3V 的关系是 。 答案 ： 0321 VVV 1.3 一个物体能否被看
3、作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （ 1） x=4t-3；（ 2） x=-4t3+3t2+6；（ 3） x=-2t2+8t+4；（ 4） x=2/t2-4/t。 给出这个匀变速直线运动在 t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（ x 单位为 m， t 单位为 s） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又
4、是位移对时间的两阶导数。于是可得（ 3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 22484dxvtdtdxadt t=3s 时的速度和加速度分别为 v=20m/s， a=4m/s2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？ (1) 匀速直线运动； (2) 匀速曲线运动； (3) 变速直线运动； (4) 变速曲线运动。 解： (1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为
5、零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 r 与 r 有无不同 ?tddr和 ddrt有无不同 ? tddv和tddv有无不同 ?其不同在哪里 ?试举例说明 解： （ 1） r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即 r 12 rr ， 12 rrr ； （ 2）tddr是速度的模，即tddr v tsdd. trdd 只是速度在径向上的分量 . 有 rr r （式中 r 叫做单位矢），则 trtrt dddddd rrr 式中 trdd 就是速度在径向上的分量， trt dddd 与r不同如题 1.6图所示 . 题 1
6、.6图 (3)tddv表示加速度的模，即tva dd ， tvdd 是加速度 a 在切向上的分量 . 有 (vv 表轨道节线方向单位矢），所以 tvtvtv dddddd 式中 dtdv 就是加速度的切向分量 . ( ttr dddd 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论 ) 1.7 设质点的运动方程为 x =x (t )， y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r 22 yx ，然后根据 v = trdd 及 a 22ddtr 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的v = 22dddd tytx， a = 222222dddd t yt x你认为两种方法哪一种正确
7、？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确 .因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 jyixr ， jt yit xt rajtyitxtrv222222dddddddddddd故它们的模即为 222222222222ddddddddtytxaaatytxvvvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22dddd t ratrv 其二，可能是将22dddd trtr与 误作速度与加速度的模。在 1.6 题中已说明 trdd 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22ddtr 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分 2
8、22dddd trt ra 径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r 及速度 v 的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。 1.8 一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y =21 t 2+3t -4. 式中 t 以 s计， x ,y 以 m计 (1)以时间 t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出 t =1 s 时刻和 t 2s 时刻的位置矢量，计算这 1秒内质点的位移； (3)计算 t 0 s时刻到 t 4s时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式，计算 t 4 s 时质点的速度； (
9、5)计算 t 0s 到 t 4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t 4s 时质点的加速度 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式 ) 解：（ 1） jttitr )4321()53( 2 m (2)将 1t , 2t 代入上式即有 jir 5.081 m 2 11 4r i jm 21 3 4 .5r r r i j m (3) 045 4 , 1 7 1 6r i j r i j 104 sm534 201204 jijirrtrv (4) 1sm)3(3dd jtitrv 则 jiv 734 1sm (5
10、) jivjiv 73,33 40 240 4 1 m s44vvvjajt (6) 2sm1dd jtva 这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a 2+6 2x ， a 的单位为 2sm ， x 的单位为 m. 质点在 x 0处，速度为 10 1sm ,试求质点在任何坐标处的速度值 解： xvvtxxvtva dddddddd 分离变量： 2d ( 2 6 )dv v a d x x x 两边积分得 cxxv 32 2221 由题知， 0x 时， 100v , 50c 13 sm252 xxv 1.10 已知一质点作直线运动，其加
11、速度为 a 4+3t 2sm ， 开始运动时， x 5 m， v =0，求该质点在 t 10s 时的速度和位置 解： ttva 34dd 分离变量，得 ttv d)34(d 积分，得 12234 cttv 由题知， 0t , 00v , 01c 故 2234 ttv 又因为 2234dd tttxv 分离变量， tttx d)234(d 2 积分得 232 212 cttx 由题知 0t , 50x , 52c 故 5212 32 ttx 所以 s10t 时 m70551021102sm190102310432101210 xv1.11 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3
12、3t ， 式中 以弧度计， t 以秒计，求： (1) t 2 s时，质点的切向和法向加速度； (2)当加速度的方向和半径成 45角时，其角位移是多少 ? 解： tttt 18dd,9dd 2 (1) s2t 时， 2sm362181 Ra 2222 sm1296)29(1 Ra n(2)当加速度方向与半径成 45 角时，有 145tan naa 即 RR 2 亦即 tt 18)9( 22 则解得 923t 于是角位移为 3 22 3 2 3 2 . 6 7 r a d9t 1.12 质点沿半径为 R 的圆周按 s 20 21bttv 的规律运动，式中 s 为质点离圆周上某点的弧长 ,0v ，
13、b 都是常量，求： (1)t 时刻质点的加速度； (2) t 为何值时，加速度在数值上等于 b 解：（ 1） btvtsv 0ddRbtvRvabtvan202 )(dd则 240222 )(R btvbaaa n 加速度与半径的夹角为 20 )(a r c t a n btv Rbaa n (2)由题意应有 2402 )(R btvbba 即 0)(,)( 4024022 btvR btvbb 当 bvt 0 时， ba 1.13 飞轮半径为 0.4 m =70.2 rad 2s ，求 t 2s时边缘解：当 s2t 时， 4.022.0 t 1srad 则 16.04.04.0 Rv 1sm
14、 064.0)4.0(4.0 22 Ra n 2sm 08.02.04.0 Ra 2sm 22222 sm102.0)08.0()064.0( aaa n 1.14 一船以速率 1v 30km h-1沿直线向东行驶 ， 另一小艇在其前方以速率 2v 40km h-1 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少 ?在艇上看船的速度又为多少 ? 解： (1)大船看小艇，则有 1221 vvv ，依题意作速度矢量图如题 1.14图 (a) 题 1.14图 由图可知 1222121 hkm50 vvv 方向北偏西 87.3643a r c t a na r c t a n 21vv(2)小艇看大船，则
15、有 2112 vvv ，依题意作出速度矢量图如题 1.14图 (b)，同上法，得 5012v 1hkm 方向南偏东 o87.36 . 习题 2 2.1 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 答案 ： C (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 答案 ： C (3) 对功的概念有以下几种说法： 保守力作正功时，系统内相应的势能
16、增加。 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)、是正确的。 (B)、是正确的。 (C)只有是正确的。 (D)只有是正确的。 答案 ： C 2.2 填空题 (1) 某质点在力 ixF )54( （ SI）的作用下沿 x 轴作直线运动。在从 x=0 移动到 x=10m的过程中，力 F 所做功为 。 答案 ： 290J (2) 质量为 m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为 v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离 s 后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与水平面间的摩擦系数为 。 答
17、案 ： 22;vvs gs (3) 在光滑的水平面内有两个物体 A 和 B，已知 mA=2mB。（ a）物体 A 以一定的动能 Ek与静止的物体 B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（ b）物体 A以一定的动能 Ek 与静止的物体 B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。 答案 ： 2; 3kkEE 2.3 在下列情况下，说明质点所受合力的特点： （ 1）质点作匀速直线运动； （ 2）质点作匀减速直线运动； （ 3）质点作匀速圆周运动； （ 4）质点作匀加速圆周运动。 解：（ 1）所受合力为零； （ 2）所受合力为大小、方向均保持不变的力，其方向与运动方向相反； （
18、3）所受合力为大小保持不变、方向不断改变总是指向圆心的力； （ 4）所受合力为大小和方向均不断变化的力，其切向力的方向与运动方向相同，大小恒定；法向力方向指向圆心。 2.4 举例说明以下两种说法是不正确的： （ 1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反； （ 2）摩擦力总是阻碍物体运动的。 解：（ 1）人走路时，所受地面的摩擦力与人的运动方向相同； （ 2）车作加速运动时，放在车上的物体受到车子对它的摩擦力，该摩擦力是引起物体相对地面运动的原因。 2.5 质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？ 解：质点系动量守恒的条件是质点系所受合外力
19、为零。当系统只受有限大小的外力作用，且作用时间很短时，有限大小外力的冲量可忽略，故也可用动量守恒定律近似求解。 2.6 在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？ 解：在经典力学中，动量 、动能、势能、功与参考系的选取有关。 2.7 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 1m 的物体，另一边穿在质量为 2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 a 下滑，求 1m ， 2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力 (绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计 ) 解：因绳不可伸
20、长，故滑轮两边绳子的加速度均为 1a ，其对于 2m 则为牵连加速度，又知 2m对绳子的相对加速度为 a ，故 2m 对地加速度， 题 2.7图 由图 (b)可知，为 aaa 12 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在数值上等于绳的张力 T ，由牛顿定律，有 111 amTgm 222 amgmT 联立、式，得 2121211212212211)2()()(mmagmmTfmmamgmmammamgmma讨论 (1)若 0a ，则 21 aa 表示柱体与绳之间无相对滑动 (2)若 ga 2 ，则 0fT ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 1m , 2m 均作自由落体运动 2.8
21、 一个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v 运动， 0v 的方向与斜面底边的水平线 AB 解 : 物体置于斜面上受到重力 mg ，斜面支持力 N .建立坐标：取 0v 方向为 X 轴，平行斜面与 X 轴垂直方向为 Y 轴 .如题 2.8图 . 题 2.8图 X 方向： 0xF tvx 0 Y 方向： yy mamgF sin 0t 时 0y 0yv 2sin21 tgy 由 、式消去 t ，得 220 sin21 xgvy 2.9 质量为 16 kg 的质点在 xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 xf 6 N， yf -7 N，当 t 0时， yx 0，
22、xv -2 m s-1， yv 0求当 t 2 s时质点的 (1)位矢； (2)解： 2sm83166 mfa xx2sm167 mfa yy (1) 2 102 1035 2 2 m s8477 2 m s1 6 8x x xy y yv v a d tv v a d t 于是质点在 s2 时的速度 1sm8745 jiv (2) 2211()221 3 1 7( 2 2 4 ) ( ) 42 8 2 1 61 3 7 m48x x yr v t a t i a t jijij 2.10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv (k 为常数 )作用， t =0时质点的速度为 0v
23、 ，证明 (1) t 时刻的速度为 v tmkev )(0 ； (2) 由 0到 t 的时间内经过的距离为 x ( kmv0 ) 1- tmke )( ； (3)停止运动前经过的距离为 )(0 kmv ； (4)当 kmt 时速度减至 0v 的 e1 ，式中 m为质点的质量 答 : (1) tvmkva dd 分离变量，得 mtkvv dd 即 vvt m tkvv0 0dd mktevv lnln0 tmkevv 0 (2) t ttmkmk ekmvtevtvx 0 00 )1(dd(3)质点停止运动时速度为零，即 t， 故有 0 00 d kmvtevx tmk (4)当 t=km 时，
24、其速度为 evevevv kmmk 0100 即速度减至 0v 的 e1 . 2.11 一质量为 m 的质点以与地的仰角 =30的初速 0v 从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量 解 : 依题意作出示意图如题 2.11图 题 2.11图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下 , 而抛物线具有对 y 轴对称性，故末速度与 x 轴夹角亦为 o30 ，则动量的增量为 0vmvmp 由矢量图知，动量增量大小为 0vm ，方向竖直向下 2.12 一质量为 m 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛出1 s后，跳回
25、到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒 ? 解 : 由题知，小球落地时间为 s5.0 因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为 ggtv 5.01 ，小球上跳速度的大小亦为 gv 5.02 设向上为 y 轴正向，则动量的增量 12 vmvmp 方向竖直向上， 大小 mgmvmvp )( 12 碰撞过程中动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒 2.13 作用在质量为 10 kg的物体上的力为 i
26、tF )210( N，式中 t 的单位是 s， (1)求 4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量 (2)为了使这力的冲量为 200 N s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j6 m s-1的物体 ,回答这两个问题 解 : (1)若物体原来静止，则 itittFp t 10 401 smkg56d)210(d ,沿 x 轴正向， ipIimpv111111smkg56sm6.5 若物体原来具有 6 1sm 初速，则 tt tFvmtmFvmpvmp 000000 d)d(, 于是 t ptFppp 0 102 d , 同理， 12 vv , 12
27、II 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量 (亦即冲量 )就一定相同，这就是动量定理 (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t ttttI 0 210d)210( 亦即 0200102 tt 解得 s10t ， ( s20t 舍去 ) 2.14 一质量为 m 的质点在 xOy 平面上运动，其位置矢量为 jtbitar s inco s 求质点的动量及 t 0 到 2t 解 : 质点的动量为 )c o ss i n( jtbitamvmp 将 0t 和 2t 分别代入上式，得 jbmp 1 , iamp 2 , 则动量的增
28、量亦即质点所受外力的冲量为 )(12 jbiampppI 2.15 一颗子弹由枪口射出时速率为 10 sm v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =( bta )N( ba, 为常数 )，其中 t 以秒为单位： (1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； (2)求子弹所受的冲量 (3)求子弹的质量 解 : (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)( btaF ,得 bat (2)子弹所受的冲量 t btattbtaI 0 221d)( 将 bat 代入，得 baI 22 (3)由动量定理可求得子弹的质量 020 2bvavIm 2.16 一炮弹质量为 m
29、，以速率 v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为 T ，且一块的质量为另一块质量的 k 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证v + mkT2 , v - kmT2 证明 : 设一块为 1m ，则另一块为 2m ， 21 kmm 及 mmm 21 于是得 1,121 k mmkkmm 又设 1m 的速度为 1v , 2m 的速度为 2v ，则有 2222211 212121 mvvmvmT 2211 vmvmmv 联立、解得 12 )1( kvvkv 将代入，并整理得 21 )(2 vvkmT 于是有 kmTvv 21 将其代入式，有 mkTvv 22 又，题述爆炸后
30、，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 1222,T k Tv v v vk m m 证毕 2.17 设 N67 jiF 合 (1) 当一质点从原点运动到 m1643 kjir 时，求 F 所作的功 (2)如果质点到 r 处时需 0.6s，试求平均功率 (3)如果质点的质量为 1kg，试求动能的变化 解 : (1)由题知， 合F 为恒力， )1643()67( kjijirFA 合 J452421 (2) w756.045 tAP (3)由动能定理， J45 AE k 2.18 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内 1 cm，问
31、击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击题 2.18图 解 : 以木板上界面为坐标原点，向内为 y 坐标正向，如题 2.18图，则铁钉所受阻力为 kyf 第一锤外力的功为 1A ss kykyyfyfA 101 2ddd 式中 f 是铁锤作用于钉上的力， f 是木板作用于钉上的力，在 0dt 时， f f 设第二锤外力的功为 2A ，则同理，有 21 222 221dy kkyykyA 由题意，有 2)21( 212 kmvAA 即 2221 22 kkky 所以， 22 y 于是钉子第二次能进入的深度为 cm414.01212 yyy 2.19 设已知一质点 (质量为 m )在其保守力场中位矢
32、为 r 点的势能为 ( ) / nPE r k r , 试求质点所受保守力的大小和方向 解 : 1d ( )() dp nEr nkFr rr 方向与位矢 r 的方向相反，方向指向力心 2.20 一根劲度系数为 1k 的轻弹簧 A 的下端，挂一根劲度系数为 2k 的轻弹簧 B ， B 的下端又挂一重物 C ， C 的质量为 M ，如题 2.20图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比 题 2.20图 解 : 弹簧 BA、 及重物 C 受力如题 2.20图所示平衡时，有 MgFF BA 又 11 xkFA 22 xkFB 所以静止时两弹簧伸长量之比为 1221 kkxx 弹性势能之比为
33、 12222211121212 kkxkxkEEpp 2.21 (1)试计算月球和地球对 m 物体的引力相抵消的一点 P ，距月球表面的距离是多少 ?地球质量 5.98 1024 kg，地球中心到月球中心的距离 3.84 108m，月球质量 7.35 1022kg，月球半径 1.74 106m (2)如果一个 1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在 P 点的势能为多少 ? 解 : (1)设在距月球中心为 r 处 地引月引 FF ，由万有引力定律，有 22 rRmMGrmMG 地月 经整理，得 RMM Mr月地月 =2224221035.71098.5 1035.7 8104
34、8.3 m1032.38 6 则 P 点处至月球表面的距离为 m1066.310)74.132.38( 76 月rrh (2)质量为 kg1 的物体在 P 点的引力势能为 rRMGrMGE P 地月 7241172211 1083.34.38 1098.51067.61083.3 1035.71067.6 J1028.1 6 2.22 如题 2.22图所示，一物体质量为 2kg，以初速度 0v 3m s-1从斜面 A 点处下滑，它与斜面的摩擦力为 8N，到达 B 点后压缩弹簧 20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度 题 2.22图 解 : 取木块压缩弹簧至最短处的
35、位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 22 011 s i n 3 722rf s k x m v m g s 2021 sin 3 72 12rm v m g s f skx 式中 m52.08.4 s ， m2.0x ，再代入有关数据，解得 -11450 N mk 再次运用功能原理，求木块弹回的高度 h 2o 2137s in kxsmgsf r 代入有关数据，得 1.45ms , 则木块弹回高度 osin 3 7 0 .8 7 mhs 2.23 质量为 M 的大木块具有半径为 R 的四分之一弧形槽，如题 2.23图所示质量为 m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木
36、块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度 题 2.23图 解 : m 从 M 上下滑的过程中，机械能守恒，以 m ， M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有 22 2121 MVmvm g R 又下滑过程，动量守恒，以 m 、 M 为系统，则在 m 脱离 M 瞬间，水平方向有 0MVmv 联立以上两式，得 2MgRv mM 2.24 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向证 : 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有 222120 212121 mvmvmv 即 222120 vvv 题 2.24图 (a) 题
37、 2.24图 (b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有 210 vmvmvm 亦即 210 vvv 由可作出矢量三角形如图 (b)，又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以 0v 为斜边，故知 1v 与 2v 是互相垂直的 习题 3 3.1 选择题 (1) 有一半径为 R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为 J，开始时转台以匀角速度 0转动，此时有一质量为 m 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)02 mRJ J(B) 02)( RmJ J(C) 02mRJ(D) 0 答案： (A) (2) 如题 3.1（ 2）图所示，一光滑的
38、内表面半径为 10cm 的半球形碗，以匀角速度 绕其对称轴 OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球 P 相对于碗静止，其位置高于碗底 4cm，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s (a) (b) 题 3.1（ 2）图 答案： (A) (3)如 3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度 在距孔为 R 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 （ A）动能不变，动量改变。 （ B）动量不变，动能改变。 （ C）角动量不变，动量不变。
39、 （ D）角动量改变，动量改变。 （ E）角动量不变，动能、动量都改变。 答案： (E) 3.2 填空题 (1) 半径为 30cm 的飞轮，从静止开始以 0.5rads-2 的匀角加速转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过 240时的切向加速度 a= ，法向加速度an= 。 答案： 0.15; 1.256 (2) 如题 3.2（ 2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的 守恒，原因是 。木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的 守恒。 题 3.2（ 2）
40、图 答案： 对 o 轴的角动量守恒 ， 因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对 o 轴的合外力矩为零，机械能守恒 (3) 两个质量分布均匀的圆盘 A 和 B 的密度分别为 A和 B (AB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为 JA和JB，则有 JA JB 。（填 、 或 =） 答案： 3.3 刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？ 解：刚体平动的特点是：在运动过程中，内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动时刚体上的质元可以作曲线运动。 3.4 刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角
41、速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同？ 解：刚体定轴转动的特点是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点都在作圆周运动，且在同一时间间隔内转过的角度都一样；刚体上各质元的角量相同，而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速度相同，而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。 3.5 刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。 解：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言，形状大小完全相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些，质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。 3.6 刚体所受的合外力为零，其
42、合力矩是否一定为零？相反，刚体受到的合力矩为零，其合外力是否一定为零？ 解：刚体所受的合外力为零，其合力矩不一定为零；刚体受到的合力矩为零，其合外力不一定为零。 3.7 一质量为 m 的质点位于 ( 11,yx )处，速度为 jvivv yx , 质点受到一个沿 x负方向的力 f 的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩 解 : 由题知，质点的位矢为 jyixr 11 作用在质点上的力为 iff 所以，质点对原点的角动量为 vmrL 0 11( ) ( )xyx i y j m v i v j kmvymvx xy )( 11 作用在质点上的力的力矩为 kfyifjyixfrM
