1、习 题 及 解 答 （ 全 ）习 题 一1-1 r 与 r 有 无 不 同 ? tddr 和 tddr 有 无 不 同 ? tddv 和 tddv 有 无 不 同 ?其 不 同 在 哪 里 ?试举 例 说 明 解 ： （ 1） r 是 位 移 的 模 ， r 是 位 矢 的 模 的 增 量 ， 即 r 12 rr ， 12 rrr ；（ 2） tddr 是 速 度 的 模 ， 即 tddr v tsdd .trdd 只 是 速 度 在 径 向 上 的 分 量 . 有 rr r （ 式 中 r 叫 做 单 位 矢 ） ， 则 trtrt dddddd rrr 式 中 trdd 就 是 速 度 径
2、 向 上 的 分 量 ， trt dddd 与r 不 同 如 题 1-1图 所 示 .题 1-1图(3) tddv 表 示 加 速 度 的 模 ， 即 tva dd ， tvdd 是 加 速 度 a在 切 向 上 的 分 量 . 有 (vv 表 轨 道 节 线 方 向 单 位 矢 ） ， 所 以 tvtvtv dddddd 式 中 dtdv 就 是 加 速 度 的 切 向 分 量 .( ttr dddd 与 的 运 算 较 复 杂 ， 超 出 教 材 规 定 ， 故 不 予 讨 论 )1-2 设 质 点 的 运 动 方 程 为 x=x(t)， y = y (t)， 在 计 算 质 点 的 速
3、度 和 加 速 度 时 ， 有 人 先 求出 r 22 yx ， 然 后 根 据 v= trdd ， 及 a 22ddtr 而 求 得 结 果 ； 又 有 人 先 计 算 速 度 和 加 速 度的 分 量 ， 再 合 成 求 得 结 果 ， 即v= 22 dddd tytx 及 a= 222222 dddd tytx你 认 为 两 种 方 法 哪 一 种 正 确 ？ 为 什 么 ？ 两 者 差 别 何 在 ？解 ： 后 一 种 方 法 正 确 .因 为 速 度 与 加 速 度 都 是 矢 量 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 有 jyixr ，jtyitxtra jtyitxtrv
4、222222 dddddd dddddd 故 它 们 的 模 即 为 22222222 2222 dddd dddd tytxaaa tytxvvv yx yx而 前 一 种 方 法 的 错 误 可 能 有 两 点 ， 其 一 是 概 念 上 的 错 误 ， 即 误 把 速 度 、 加 速 度 定 义 作22dddd tratrv 其 二 ， 可 能 是 将 22dddd trtr 与 误 作 速 度 与 加 速 度 的 模 。 在 1-1 题 中 已 说 明 trdd 不 是 速 度 的 模 ，而 只 是 速 度 在 径 向 上 的 分 量 ， 同 样 ， 22ddtr 也 不 是 加 速
5、度 的 模 ， 它 只 是 加 速 度 在 径 向 分 量 中的 一 部 分 222 dddd trtra 径 。 或 者 概 括 性 地 说 ， 前 一 种 方 法 只 考 虑 了 位 矢 r在 径 向 （ 即量 值 ） 方 面 随 时 间 的 变 化 率 ， 而 没 有 考 虑 位 矢 r及 速 度 v 的 方 向 随 间 的 变 化 率 对 速 度 、 加 速度 的 贡 献 。1-3 一 质 点 在 xOy平 面 上 运 动 ， 运 动 方 程 为x=3t+5, y =21 t2+3t-4.式 中 t以 s 计 ， x, y 以 m 计 (1)以 时 间 t为 变 量 ， 写 出 质 点
6、 位 置 矢 量 的 表 示 式 ； (2)求 出 t=1s 时 刻 和 t 2s 时 刻 的 位 置 矢 量 ， 计 算 这 1秒 内 质 点 的 位 移 ； (3)计 算 t 0 s 时 刻 到 t 4s时 刻 内 的 平 均 速 度 ； (4)求 出 质 点 速 度 矢 量 表 示 式 ， 计 算 t 4s 时 质 点 的 速 度 ； (5)计 算 t0s 到 t 4s 内 质 点 的 平 均 加 速 度 ； (6)求 出 质 点 加 速 度 矢 量 的 表 示 式 ， 计 算 t 4s 时 质 点的 加 速 度 (请 把 位 置 矢 量 、 位 移 、 平 均 速 度 、 瞬 时 速
7、度 、 平 均 加 速 度 、 瞬 时 加 速 度 都 表 示 成直 角 坐 标 系 中 的 矢 量 式 )解 ： （ 1） jttitr )4321()53( 2 m(2)将 1t , 2t 代 入 上 式 即 有 jir 5.081 mjjr 4112 m jjrrr 5.4312 m(3) jirjjr 1617,45 40 104 sm534201204 jijirrtrv (4) 1sm)3(3dd jtitrv 则 jiv 734 1sm (5) jivjiv 73,33 40 204 sm1444 jvvtva (6) 2sm1dd jtva 这 说 明 该 点 只 有 y 方
8、向 的 加 速 度 ， 且 为 恒 量 。1-4 在 离 水 面 高 h米 的 岸 上 ， 有 人 用 绳 子 拉 船 靠 岸 ， 船 在 离 岸 S处 ， 如 题 1-4 图 所 示 当 人以 0v (m 1s )的 速 率 收 绳 时 ， 试 求 船 运 动 的 速 度 和 加 速 度 的 大 小 图 1-4解 ： 设 人 到 船 之 间 绳 的 长 度 为 l， 此 时 绳 与 水 面 成 角 ， 由 图 可 知222 shl 将 上 式 对 时 间 t求 导 ， 得tsstll dd2dd2 题 1-4 图根 据 速 度 的 定 义 ， 并 注 意 到 l,s是 随 t减 少 的 ，
9、tsvvtlv dd,dd 0 船绳即 cosdddd 00 vvsltlsltsv 船或 s vshslvv 02/1220 )( 船将 船v 再 对 t求 导 ， 即 得 船 的 加 速 度3 2022 202 02002)( dddddd svhs vsls vs lvsvvs tsltlstva 船船1-5 质 点 沿 x轴 运 动 ， 其 加 速 度 和 位 置 的 关 系 为 a 2+6 2x ， a的 单 位 为 2sm ， x的 单 位为 m. 质 点 在 x 0 处 ， 速 度 为 10 1sm ,试 求 质 点 在 任 何 坐 标 处 的 速 度 值 解 ： xvvtxxv
10、tva dddddddd 分 离 变 量 ： xxadx d)62(d 2两 边 积 分 得 cxxv 32 2221由 题 知 ， 0x 时 ， 100 v , 50c 13 sm252 xxv1-6 已 知 一 质 点 作 直 线 运 动 ， 其 加 速 度 为 a 4+3t 2sm ， 开 始 运 动 时 ， x 5 m， v=0，求 该 质 点 在 t 10s 时 的 速 度 和 位 置 解 ： ttva 34dd 分 离 变 量 ， 得 ttv d)34(d 积 分 ， 得 12234 cttv 由 题 知 ， 0t , 00 v , 01 c故 2234 ttv 又 因 为 223
11、4dd tttxv 分 离 变 量 ， tttx d)234(d 2积 分 得 232 212 cttx 由 题 知 0t , 50 x , 52 c故 5212 32 ttx所 以 s10t 时 m70551021102 sm1901023104 3210 1210 xv1-7 一 质 点 沿 半 径 为 1 m 的 圆 周 运 动 ， 运 动 方 程 为 =2+3 3t ， 式 中 以 弧 度 计 ， t以 秒计 ， 求 ： (1) t 2 s 时 ， 质 点 的 切 向 和 法 向 加 速 度 ； (2)当 加 速 度 的 方 向 和 半 径 成 45 角时 ， 其 角 位 移 是 多
12、少 ?解 ： tttt 18dd,9dd 2 (1) s2t 时 ， 2sm362181 Ra)sin( sin 2cos2sin200 tRtR Rtv Rtvx 2222 sm1296)29(1 Ran(2)当 加 速 度 方 向 与 半 径 成 45 角 时 ， 有 145tan naa即 RR 2 亦 即 tt 18)9( 22 则 解 得 923 t 于 是 角 位 移 为 rad67.2923232 3 t1-8 质 点 沿 半 径 为 R的 圆 周 按 s 20 21bttv 的 规 律 运 动 ， 式 中 s为 质 点 离 圆 周 上 某 点 的 弧长 , 0v ， b都 是
13、常 量 ， 求 ： (1)t时 刻 质 点 的 加 速 度 ； (2) t为 何 值 时 ， 加 速 度 在 数 值 上 等 于 b解 ： （ 1） btvtsv 0dd RbtvRva btvan 202 )(dd 则 2 40222 )( Rbtvbaaa n 加 速 度 与 半 径 的 夹 角 为 20 )(arctan btv Rbaan (2)由 题 意 应 有 2 402 )( Rbtvbba 即 0)(,)( 402 4022 btvRbtvbb 当 bvt 0 时 ， ba 1-9 半 径 为 R的 轮 子 ， 以 匀 速 0v 沿 水 平 线 向 前 滚 动 ： (1)证 明
14、 轮 缘 上 任 意 点 B的 运 动 方 程 为x R )sin( tt ， y R )cos1( t ， 式 中 0v /R是 轮 子 滚 动 的 角 速 度 ， 当 B与水 平 线 接 触 的 瞬 间 开 始 计 时 此 时 B所 在 的 位 置 为 原 点 ， 轮 子 前 进 方 向 为 x轴 正 方 向 ； (2)求 B点 速 度 和 加 速 度 的 分 量 表 示 式 解 ： 依 题 意 作 出 下 图 ， 由 图 可 知题 1-9 图(1)cos1()cos1( 2sin2sin2 tRRRy (2) )sindd )cos1(dd tRtyv tRtxvyx tvtRa tvt
15、Ra yy xx ddcos ddsin22 1-10 以 初 速 度 0v 20 1sm 抛 出 一 小 球 ， 抛 出 方 向 与 水 平 面 成 幔 60 的 夹 角 ，求 ： (1)球 轨 道 最 高 点 的 曲 率 半 径 1R ； (2)落 地 处 的 曲 率 半 径 2R (提 示 ： 利 用 曲 率 半 径 与 法 向 加 速 度 之 间 的 关 系 )解 ： 设 小 球 所 作 抛 物 线 轨 道 如 题 1-10 图 所 示 题 1-10 图(1)在 最 高 点 ， o01 60cosvvv x 21 sm10 gan又 1211 van m10 10 )60cos20(
16、2211 1 nav(2)在 落 地 点 ， 2002 vv 1sm ,而 o60cos2 gan m8060cos10 )20( 2222 2 nav1-11 飞 轮 半 径 为 0.4 m， 自 静 止 启 动 ， 其 角 加 速 度 为 =0.2 rad 2s ， 求 t 2s 时 边 缘上 各 点 的 速 度 、 法 向 加 速 度 、 切 向 加 速 度 和 合 加 速 度 解 ： 当 s2t 时 ， 4.022.0 t 1srad 则 16.04.04.0 Rv 1sm 064.0)4.0(4.0 22 Ran 2sm 08.02.04.0 Ra 2sm 22222 sm102.0
17、)08.0()064.0( aaa n1-12 如 题 1-12图 ， 物 体 A以 相 对 B的 速 度 v gy2 沿 斜 面 滑 动 ， y 为 纵 坐 标 ， 开 始 时A在 斜 面 顶 端 高 为 h处 ， B物 体 以 u匀 速 向 右 运 动 ， 求 A物 滑 到 地 面 时 的 速 度 解 ： 当 滑 至 斜 面 底 时 ， hy ， 则 ghvA 2 , A物 运 动 过 程 中 又 受 到 B的 牵 连 运 动 影 响 ，因 此 ， A对 地 的 速 度 为 jghighu vuv AA )sin2()cos2( 地题 1-12图1-13 一 船 以 速 率 1v 30km
18、 h-1沿 直 线 向 东 行 驶 ， 另 一 小 艇 在 其 前 方 以 速 率 2v 40km h-1沿 直 线 向 北 行 驶 ， 问 在 船 上 看 小 艇 的 速 度 为 何 ?在 艇 上 看 船 的 速 度 又 为 何 ?解 ： (1)大 船 看 小 艇 ， 则 有 1221 vvv ， 依 题 意 作 速 度 矢 量 图 如 题 1-13图 (a)题 1-13 图由 图 可 知 1222121 hkm50 vvv方 向 北 偏 西 87.3643arctanarctan 21vv(2)小 船 看 大 船 ， 则 有 2112 vvv ， 依 题 意 作 出 速 度 矢 量 图 如
19、 题 1-13 图 (b)， 同 上 法 ， 得5012 v 1hkm 方 向 南 偏 东 o87.361-14 当 一 轮 船 在 雨 中 航 行 时 ， 它 的 雨 篷 遮 着 篷 的 垂 直 投 影 后 2 m的 甲 板 上 ， 篷 高 4 m 但当 轮 船 停 航 时 ， 甲 板 上 干 湿 两 部 分 的 分 界 线 却 在 篷 前 3 m ， 如 雨 滴 的 速 度 大 小 为 8 m s-1，求 轮 船 的 速 率 解 ： 依 题 意 作 出 矢 量 图 如 题 1-14所 示 题 1-14图 船雨雨 船 vvv 船雨 船雨 vvv 由 图 中 比 例 关 系 可 知 1sm8
20、雨船 vv 习 题 二2-1 一 细 绳 跨 过 一 定 滑 轮 ， 绳 的 一 边 悬 有 一 质 量 为 1m 的 物 体 ， 另 一 边 穿 在 质 量 为 2m 的 圆柱 体 的 竖 直 细 孔 中 ， 圆 柱 可 沿 绳 子 滑 动 今 看 到 绳 子 从 圆 柱 细 孔 中 加 速 上 升 ， 柱 体 相 对 于 绳子 以 匀 加 速 度 a下 滑 ， 求 1m ， 2m 相 对 于 地 面 的 加 速 度 、 绳 的 张 力 及 柱 体 与 绳 子 间 的 摩 擦力 (绳 轻 且 不 可 伸 长 ， 滑 轮 的 质 量 及 轮 与 轴 间 的 摩 擦 不 计 )解 ： 因 绳 不
21、 可 伸 长 ， 故 滑 轮 两 边 绳 子 的 加 速 度 均 为 1a ， 其 对 于 2m 则 为 牵 连 加 速 度 ， 又 知 2m对 绳 子 的 相 对 加 速 度 为 a， 故 2m 对 地 加 速 度 ， 由 图 (b)可 知 ， 为aaa 12 又 因 绳 的 质 量 不 计 ， 所 以 圆 柱 体 受 到 的 摩 擦 力 f 在 数 值 上 等 于 绳 的 张 力 T ， 由 牛 顿 定 律 ，有 111 amTgm 222 amgmT 联 立 、 、 式 ， 得 2121 21 1212 21 2211 )2()( )( mm agmmTf mm amgmma mm am
22、gmma 讨 论 (1)若 0a ， 则 21 aa 表 示 柱 体 与 绳 之 间 无 相 对 滑 动 (2)若 ga 2 ， 则 0 fT ， 表 示 柱 体 与 绳 之 间 无 任 何 作 用 力 ， 此 时 1m , 2m 均 作 自 由落 体 运 动 题 2-1 图2-2 一 个 质 量 为 P的 质 点 ， 在 光 滑 的 固 定 斜 面 （ 倾 角 为 ） 上 以 初 速 度 0v 运 动 ， 0v 的 方 向与 斜 面 底 边 的 水 平 线 AB平 行 ， 如 图 所 示 ， 求 这 质 点 的 运 动 轨 道 解 : 物 体 置 于 斜 面 上 受 到 重 力 mg ， 斜
23、 面 支 持 力 N .建 立 坐 标 ： 取 0v 方 向 为 X 轴 ， 平 行 斜面 与 X 轴 垂 直 方 向 为 Y 轴 .如 图 2-2.题 2-2图X 方 向 ： 0xF tvx 0 Y 方 向 ： yy mamgF sin 0t 时 0y 0yv 2sin21 tgy 由 、 式 消 去 t， 得 220 sin21 xgvy 2-3 质 量 为 16 kg 的 质 点 在 xOy平 面 内 运 动 ， 受 一 恒 力 作 用 ， 力 的 分 量 为 xf 6 N， yf -7 N， 当 t 0 时 ， yx 0， xv -2 m s-1， yv 0 求当 t 2 s 时 质
24、点 的 (1)位 矢 ； (2)速 度 解 ： 2sm83166 mfa xx 2sm167 mfa yy(1) 20 10 1200 sm872167 sm452832dtavv dtavv yyy xxx于 是 质 点 在 s2 时 的 速 度 1sm8745 jiv (2) m87413 4)167(21)4832122( 21)21( 220 ji ji jtaitatvr yx 2-4 质 点 在 流 体 中 作 直 线 运 动 ， 受 与 速 度 成 正 比 的 阻 力 kv(k为 常 数 )作 用 ， t=0时 质 点 的速 度 为 0v ， 证 明 (1) t时 刻 的 速 度
25、 为 v tmkev )(0 ； (2) 由 0 到 t的 时 间 内 经 过 的 距 离 为x ( kmv0 ) 1- tmke )( ； (3)停 止 运 动 前 经 过 的 距 离 为 )(0 kmv ； (4)证 明 当 kmt 时 速度 减 至 0v 的 e1 ， 式 中 m 为 质 点 的 质 量 答 : (1) tvmkva dd分 离 变 量 ， 得m tkvv dd 即 vv t m tkvv0 0 dd mktevv lnln 0 tmkevv 0(2) t tt mkmk ekmvtevtvx 0 00 )1(dd(3)质 点 停 止 运 动 时 速 度 为 零 ， 即
26、t ，故 有 0 00 d kmvtevx tmk(4)当 t= km 时 ， 其 速 度 为 evevevv kmmk 0100 即 速 度 减 至 0v 的 e1.2-5 升 降 机 内 有 两 物 体 ， 质 量 分 别 为 1m ， 2m ， 且 2m 2 1m 用 细 绳 连 接 ， 跨 过 滑 轮 ,绳 子不 可 伸 长 ， 滑 轮 质 量 及 一 切 摩 擦 都 忽 略 不 计 ， 当 升 降 机 以 匀 加 速 a 21 g 上 升 时 ， 求 ： (1)1m和 2m 相 对 升 降 机 的 加 速 度 (2)在 地 面 上 观 察 1m ， 2m 的 加 速 度 各 为 多
27、少 ?解 : 分 别 以 1m , 2m 为 研 究 对 象 ， 其 受 力 图 如 图 (b)所 示 (1)设 2m 相 对 滑 轮 (即 升 降 机 )的 加 速 度 为 a， 则 2m 对 地 加 速 度 aaa 2 ； 因 绳 不 可 伸 长 ，故 1m 对 滑 轮 的 加 速 度 亦 为 a， 又 1m 在 水 平 方 向 上 没 有 受 牵 连 运 动 的 影 响 ， 所 以 1m 在 水 平方 向 对 地 加 速 度 亦 为 a， 由 牛 顿 定 律 ， 有 )(22 aamTgm amT 1题 2-5 图联 立 ， 解 得 ga 方 向 向 下(2) 2m 对 地 加 速 度
28、为22 gaaa 方 向 向 上1m 在 水 面 方 向 有 相 对 加 速 度 ， 竖 直 方 向 有 牵 连 加 速 度 ， 即 牵相绝 aaa gggaaa 25422221 aaarctan o6.2621arctan ， 左 偏 上 2-6一 质 量 为 m的 质 点 以 与 地 的 仰 角 =30 的 初 速 0v 从 地 面 抛 出 ， 若 忽 略 空 气 阻 力 ， 求 质点 落 地 时 相 对 抛 射 时 的 动 量 的 增 量 解 : 依 题 意 作 出 示 意 图 如 题 2-6图题 2-6图在 忽 略 空 气 阻 力 情 况 下 ， 抛 体 落 地 瞬 时 的 末 速
29、度 大 小 与 初 速 度 大 小 相 同 ， 与 轨 道 相 切 斜 向 下 ,而 抛 物 线 具 有 对 y 轴 对 称 性 ， 故 末 速 度 与 x轴 夹 角 亦 为 o30 ， 则 动 量 的 增 量 为0vmvmp 由 矢 量 图 知 ， 动 量 增 量 大 小 为 0vm ， 方 向 竖 直 向 下 2-7 一 质 量 为 m的 小 球 从 某 一 高 度 处 水 平 抛 出 ， 落 在 水 平 桌 面 上 发 生 弹 性 碰 撞 并 在 抛 出1 s， 跳 回 到 原 高 度 ， 速 度 仍 是 水 平 方 向 ， 速 度 大 小 也 与 抛 出 时 相 等 求 小 球 与 桌
30、 面 碰 撞 过程 中 ， 桌 面 给 予 小 球 的 冲 量 的 大 小 和 方 向 并 回 答 在 碰 撞 过 程 中 ， 小 球 的 动 量 是 否 守 恒 ?解 : 由 题 知 ， 小 球 落 地 时 间 为 s5.0 因 小 球 为 平 抛 运 动 ， 故 小 球 落 地 的 瞬 时 向 下 的 速 度 大小 为 ggtv 5.01 ， 小 球 上 跳 速 度 的 大 小 亦 为 gv 5.02 设 向 上 为 y 轴 正 向 ， 则 动 量 的增 量 12 vmvmp 方 向 竖 直 向 上 ，大 小 mgmvmvp )( 12碰 撞 过 程 中 动 量 不 守 恒 这 是 因 为
31、 在 碰 撞 过 程 中 ， 小 球 受 到 地 面 给 予 的 冲 力 作 用 另 外 ， 碰撞 前 初 动 量 方 向 斜 向 下 ， 碰 后 末 动 量 方 向 斜 向 上 ， 这 也 说 明 动 量 不 守 恒 2-8 作 用 在 质 量 为 10kg 的 物 体 上 的 力 为 itF )210( N， 式 中 t的 单 位 是 s， (1)求 4s 后 ，这 物 体 的 动 量 和 速 度 的 变 化 ， 以 及 力 给 予 物 体 的 冲 量 (2)为 了 使 这 力 的 冲 量 为 200 N s，该 力 应 在 这 物 体 上 作 用 多 久 ， 试 就 一 原 来 静 止
32、的 物 体 和 一 个 具 有 初 速 度 j6 m s-1的 物 体 ,回 答 这 两 个 问 题 解 : (1)若 物 体 原 来 静 止 ， 则 itittFp t 10 401 smkg56d)210(d ,沿 x轴 正 向 ，ipI impv 111 111 smkg56 sm6.5 若 物 体 原 来 具 有 6 1sm 初 速 ， 则 tt tFvmtmFvmpvmp 000000 d)d(, 于 是 t ptFppp 0 102 d ,同 理 ， 12 vv , 12 II 这 说 明 ， 只 要 力 函 数 不 变 ， 作 用 时 间 相 同 ， 则 不 管 物 体 有 无
33、初 动 量 ， 也 不 管 初 动 量 有 多 大 ，那 么 物 体 获 得 的 动 量 的 增 量 (亦 即 冲 量 )就 一 定 相 同 ， 这 就 是 动 量 定 理 (2)同 上 理 ， 两 种 情 况 中 的 作 用 时 间 相 同 ， 即 t ttttI 0 210d)210(亦 即 0200102 tt解 得 s10t ， ( s20t 舍 去 )2-9 一 质 量 为 m的 质 点 在 xOy平 面 上 运 动 ， 其 位 置 矢 量 为jtbitar sincos 求 质 点 的 动 量 及 t 0 到 2t 时 间 内 质 点 所 受 的 合 力 的 冲 量 和 质 点 动
34、 量 的 改 变 量 解 : 质 点 的 动 量 为 )cossin( jtbitamvmp 将 0t 和 2t 分 别 代 入 上 式 ， 得 jbmp 1 , iamp 2 ,则 动 量 的 增 量 亦 即 质 点 所 受 外 力 的 冲 量 为 )(12 jbiampppI 2-10 一 颗 子 弹 由 枪 口 射 出 时 速 率 为 10 sm v ， 当 子 弹 在 枪 筒 内 被 加 速 时 ， 它 所 受 的 合 力 为F =( bta )N( ba, 为 常 数 )， 其 中 t以 秒 为 单 位 ： (1)假 设 子 弹 运 行 到 枪 口 处 合 力 刚 好 为 零 ，试
35、计 算 子 弹 走 完 枪 筒 全 长 所 需 时 间 ； (2)求 子 弹 所 受 的 冲 量 (3)求 子 弹 的 质 量 解 : (1)由 题 意 ， 子 弹 到 枪 口 时 ， 有 0)( btaF,得 bat (2)子 弹 所 受 的 冲 量 t btattbtaI 0 221d)(将 bat 代 入 ， 得 baI 22(3)由 动 量 定 理 可 求 得 子 弹 的 质 量 020 2bvavIm 2-11 一 炮 弹 质 量 为 m， 以 速 率 v飞 行 ， 其 内 部 炸 药 使 此 炮 弹 分 裂 为 两 块 ， 爆 炸 后 由 于 炸 药使 弹 片 增 加 的 动 能
36、为 T ， 且 一 块 的 质 量 为 另 一 块 质 量 的 k倍 ， 如 两 者 仍 沿 原 方 向 飞 行 ， 试 证其 速 率 分 别 为 v+ mkT2 , v- kmT2证 明 : 设 一 块 为 1m ， 则 另 一 块 为 2m ， 21 kmm 及 mmm 21于 是 得 1,1 21 kmmkkmm 又 设 1m 的 速 度 为 1v , 2m 的 速 度 为 2v ， 则 有 2222211 212121 mvvmvmT 2211 vmvmmv 联 立 、 解 得 12 )1( kvvkv 将 代 入 ， 并 整 理 得 21 )(2 vvkmT 于 是 有 kmTvv
37、21 将 其 代 入 式 ， 有 mkTvv 22 又 ， 题 述 爆 炸 后 ， 两 弹 片 仍 沿 原 方 向 飞 行 ， 故 只 能 取 kmTvvmkTvv 2,2 21 证 毕 2-12 设 N67 jiF 合 (1) 当 一 质 点 从 原 点 运 动 到 m1643 kjir 时 ， 求 F 所 作的 功 (2)如 果 质 点 到 r 处 时 需 0.6s， 试 求 平 均 功 率 (3)如 果 质 点 的 质 量 为 1kg， 试 求 动 能的 变 化 解 : (1)由 题 知 ， 合F 为 恒 力 ， )1643()67( kjijirFA 合 J452421 (2) w75
38、6.045 tAP(3)由 动 能 定 理 ， J45 AEk2-13 以 铁 锤 将 一 铁 钉 击 入 木 板 ， 设 木 板 对 铁 钉 的 阻 力 与 铁 钉 进 入 木 板 内 的 深 度 成 正 比 ， 在铁 锤 击 第 一 次 时 ， 能 将 小 钉 击 入 木 板 内 1 cm， 问 击 第 二 次 时 能 击 入 多 深 ， 假 定 铁 锤 两 次 打击 铁 钉 时 的 速 度 相 同 解 : 以 木 板 上 界 面 为 坐 标 原 点 ， 向 内 为 y 坐 标 正 向 ， 如 题 2-13图 ， 则 铁 钉 所 受 阻 力 为题 2-13图kyf 第 一 锤 外 力 的
39、功 为 1A ss kykyyfyfA 101 2ddd 式 中 f 是 铁 锤 作 用 于 钉 上 的 力 ， f 是 木 板 作 用 于 钉 上 的 力 ， 在 0d t 时 ， f f 设 第 二 锤 外 力 的 功 为 2A ， 则 同 理 ， 有 21 222 221dy kkyykyA 由 题 意 ， 有 2)21( 212 kmvAA 即 2221 22 kkky 所 以 ， 22 y于 是 钉 子 第 二 次 能 进 入 的 深 度 为 cm414.01212 yyy2-14 设 已 知 一 质 点 (质 量 为 m)在 其 保 守 力 场 中 位 矢 为 r点 的 势 能 为
40、 nP rkrE /)( , 试 求质 点 所 受 保 守 力 的 大 小 和 方 向 解 : 1d )(d)( nrnkrrErF方 向 与 位 矢 r的 方 向 相 反 ， 即 指 向 力 心 2-15 一 根 劲 度 系 数 为 1k 的 轻 弹 簧 A的 下 端 ， 挂 一 根 劲 度 系 数 为 2k 的 轻 弹 簧 B， B的 下 端一 重 物 C， C的 质 量 为 M ， 如 题 2-15图 求 这 一 系 统 静 止 时 两 弹 簧 的 伸 长 量 之 比 和 弹 性势能 之 比 解 : 弹 簧 BA、 及 重 物 C受 力 如 题 2-15 图 所 示 平 衡 时 ， 有题
41、 2-15图 MgFFBA 又 11 xkFA 22 xkFB 所 以 静 止 时 两 弹 簧 伸 长 量 之 比 为1221 kkxx 弹 性 势 能 之 比 为 12222 2111 21212 kkxk xkEEpp 2-16(1)试 计 算 月 球 和 地 球 对 m物 体 的 引 力 相 抵 消 的 一 点 P， 距 月 球 表 面 的 距 离 是 多 少 ?地球 质 量 5.98 1024 kg， 地 球 中 心 到 月 球 中 心 的 距 离 3.84 108m， 月 球 质 量 7.35 1022kg，月 球 半 径 1.74 106m (2)如 果 一 个 1kg 的 物 体
42、 在 距 月 球 和 地 球 均 为 无 限 远 处 的 势 能 为 零 ，那 么 它 在 P点 的 势 能 为 多 少 ?解 : (1)设 在 距 月 球 中 心 为 r处 地 引月 引 FF ， 由 万 有 引 力 定 律 ， 有 22 rRmMGrmMG 地月经 整 理 ， 得 RMM Mr 月地 月= 2224 22 1035.71098.5 1035.7 81048.3 m1032.38 6则 P点 处 至 月 球 表 面 的 距 离 为 m1066.310)74.132.38( 76 月rrh(2)质 量 为 kg1 的 物 体 在 P点 的 引 力 势 能 为 rRMGrMGEP
43、 地月 7241172211 1083.34.38 1098.51067.61083.3 1035.71067.6 J1028.1 62-17 由 水 平 桌 面 、 光 滑 铅 直 杆 、 不 可 伸 长 的 轻 绳 、 轻 弹 簧 、 理 想 滑 轮 以 及 质 量 为 1m 和 2m的 滑 块 组 成 如 题 2-17 图 所 示 装 置 ， 弹 簧 的 劲 度 系 数 为 k， 自 然 长 度 等 于 水 平 距 离 BC， 2m与 桌 面 间 的 摩 擦 系 数 为 ， 最 初 1m 静 止 于 A点 ， AB BC h， 绳 已 拉 直 ， 现 令 滑 块 落下 1m ,求 它 下
44、 落 到 B处 时 的 速 率 解 : 取 B点 为 重 力 势 能 零 点 ， 弹 簧 原 长 为 弹 性 势 能 零 点 ， 则 由 功 能 原 理 ， 有)(21)(21 212212 lkghmvmmghm 式 中 l 为 弹 簧 在 A点 时 比 原 长 的 伸 长 量 ， 则 hBCACl )12( 联 立 上 述 两 式 ， 得 21 2221 122 mm khghmmv 题 2-17图2-18 如 题 2-18 图 所 示 ， 一 物 体 质 量 为 2kg， 以 初 速 度 0v 3m s-1从 斜 面 A点 处 下 滑 ， 它与 斜 面 的 摩 擦 力 为 8N， 到 达 B点 后 压 缩 弹 簧 20cm 后 停 止 ， 然 后 又 被 弹 回 ， 求 弹 簧 的 劲 度 系数 和 物 体 最 后 能 回 到 的 高 度 解 : 取 木 块 压 缩 弹 簧 至 最 短 处 的 位 置 为 重 力 势 能 零 点 ， 弹 簧 原长 处 为 弹 性 势 能 零 点 。 则 由 功 能 原 理 ， 有 37sin2121 22 mgsmvkxsfr
