1、第六章模糊规则,Company Logo,目录,由数值变量到语言变量语言限定词模糊IF-THEN规则模糊规则库,Company Logo,由数值变量到语言变量,在日常生活中，变量常用词语来描述，如，当说今天热，或者说今天的气温高时，就是用词语高来描述变量今天的气温。也就是说，变量今天的气温取值为高。当 然，变量今天的气温也可以取值为 25 0C、 190C等。当一个变量取数值时，己经有一个完善 的数学体系对其进行描述。而当一个变量取语言值时，在经典数学理论中并没有一个正式 的体系可对其进行描述。为了提供这样一种正式体系，引入了语言变量的概念。粗略地讲， 如果一个变量取自然语言中的词语为值，则称
2、其为语言变量。现在，问题是怎样用数学术语 来描述这些词语。这里用模糊集来描述这些词语。于是，有下面的定义: 定义6.1 如果一个变量能够取普通语言中 的词语为值，则称该变量为语言变量。这里，词语由定义在论域上的模糊集合来描述，变量也是在论域上定义的。,Company Logo,由数值变量到语言变量,例 6.1汽车速度是一个变量 ，其取值范围为区间忡 ，V 缸 ，这里，V 缸是汽车的最快速度。在0 ，V ov 内定义如图 6. 1 所示的三个模糊集慢速、中速、快速。如果把 x 看作一个语言变量，则它可取慢速、中速和快速为值，即x 为慢速、x 为中速、x 为快速。当然， 图 6. 1汽车的速度作为
3、一个语言变量也可取区间 0，VmaJ 上的数值为值，如 x =50mph ，35mph 等。 图 6.1,Company Logo,由数值变量到语言变量,定义 6.2语言变量可表征为四元组 (X，T，U，M)，其中X为语言变量名称;在例 6. 1 中，X指汽车的速度。 T 为语言变量 X 取值的术语集合;在例 6. 1 中，T 慢速，中速，快速。 U 是语言变量 X 取值的论域;在例 6. 1 中，U=O ，Vmax 。 M 是研究 X 取值的语义规则，即将 T 中的每个语言值和 U 中的模糊集连接起来的语义规则;在例 6. 1 中，M 将慢速、中速、快速同图 6. 1 中的隶属度函数连 接起
4、来。,Company Logo,由数值变量到语言变量,比较定义 6. 1 和定义 6.2 ，可以看出，这两种定义实际上是等价的。定义6. 1 更直观些，而定义 6.2 则更正式些。由定义可以看出，语言变量某种意义上是数值变量的一种扩展，即允许语言变量取模糊集为值(见图 6.2) 。 由数值变量到语言变量,Company Logo,由数值变量到语言变量,为什么语言变量的概念重要呢?这是因为，语言变量是人类知识表达中最基本的元素， 当用传感器测量一个变量时，传感器会给出一个数值;而当征求专家对一个变量的评价时， 专家会给出语言。例如，当使用雷达枪来测量汽车速度时，雷达枪会给出诸如39mph ， 4
5、2mph 等数字;而当让某个人告诉我们汽车速度时，他/她通常会说如它开得慢、它开得 快等话语。因此，引入语言变量的概念就会使自然语言的模糊描述形成精确的数学描述， 这是人类知识系统有效地嵌入工程系统的第一步。,Company Logo,目录,由数值变量到语言变量语言限定词模糊IF-THEN规则模糊规则库,Company Logo,语言限定词,根据语言变量的概念，我们可以将词语赋给语言变量。在日常生活中，我们常用一个单 词以上的词语来描述一个变量。例如，如果将汽车速度看做一个语言变量，则它的值可能为 “不慢”，“非常慢”，“稍快”，“差不多中速”等等。一般说来，一个语言变量的取值是一个合 成术语
6、 X = X1，X 2 ,xn，即为元辞X1，X 2 ,xn 串接。这些元辞可以分成三类: 基本术语，它是模糊集的说明性短语;如例6. 1 中，基本术语就是慢速、中速和快速。 连接词，非、且和或。 限定词，如非常、稍微、差不多等等。,Company Logo,语言限定词,定义6.3 令A为 U 上的一个模糊集合，则非常 A也是一个 U 上的模糊集合，它可用如 下隶属度函数未定义: 非常A() = A() (6.1)差不多A 也是 U 上的一个模糊集合，它可用如下隶属度函数未定义: 差不多() = A(X) (6.2) 例 6.2 令 U =1，2 ，引，则模糊集合小可定义为 小=1/1 +0.
7、8/2 +0.6/3 +0.4/4 +0.2/5 (6.3)然后，由式 (5. 1)和式(5.2) ，可得 非常小 =1/1 +0.64/2 +0.36/3 +0.16/4 +0.04/5 (6.4) 非常非常小=非常(非常小) = 1/1 + 0.4096/2 + O. 1296/3 + 0.0256/4 + 0.0016/5 (6.5) 差不多小= 1/1 + 0.8944/2 + 0.7746/3 + 0.6325/4 + 0.4472/5 (6.6),2,1/2,Company Logo,目录,由数值变量到语言变量语言限定词模糊IF-THEN规则模糊规则库,Company Logo,模
8、糊 IF-THEN规则,在模糊系统与模糊控制中，人类知识可以用模糊IF THEN 规则来表 述。一条模糊 IF -THEN 规则就是一个条件陈述句，它可以表述为IF 模糊命题) ，THEN 模糊命题)因此，要想理解模糊 IF -THEN 规则，就必须先知道什么是模糊命题。,Company Logo,模糊命题,有两种类型的模糊命题(Fuzzy Propositions): 子模糊命题和复合模糊命题。子模糊命 题是一个单独的陈述句 x 为 A (6.8) 这里， 是语言变量 ，A是语言变量 x的值(即 4 是一个定义在 x的论域上的模糊集 合)。子模糊命题通过连接词且、或、非连接起来而构成的命题叫
9、做复合模糊命题， 这里且、或、非分别表示模糊交、模糊并和模糊补。如例 5. 1 中，如果用 x 表示汽车 的速度，则有以下模糊命题(前三个为子模糊命题，后三个为复合模糊命题) : x 为 s (6.9) x 为 M (6. 10) x 为 F (6. 11) x 为 5 或 x 非 M (6. 12) x 非 S 或 x 非 F (6.13) (x 为 5 且 x 非 F) 或 x 为 M (6. 14) 这里， 5、M 和 F 分别表示模糊集慢速、中速和快速。,Company Logo,模糊命题,应注意，在一个复合模糊命题中，子模糊命题是独立的。即，对于命题(6.12)命题(6.14) 中的
10、同一个变量 x 而言 ，X 的取值可能是不同的。实际上，在复合模糊命题中的语言 变量一般也是不同的。例如，令 表示汽车速度 ，y = x表示汽车的加速度，如果将加速度取 值为模糊集合大 (L) ，则有如下复合模糊命题: x 为 F 且 y 为 L 所以，复合模糊命题应该被理解为一种模糊关系。那么，怎样确定这些模糊关系的隶属度函数呢?,Company Logo,模糊命题,用模糊交表示连接词且。具体地讲，令 x 和 y 分别为定义域 U 和 V 上的语言变 量 ，A 和 B 分别为 U 和 V 上的模糊集合，则下面的复合模糊命题 x 为 A 且 y 为 B (6.15) 可以解释为 UxV 中的模
11、糊关系 AB ，其隶属度函数为 AB(x ，y) =t A(x) ， B(y) (6. 16) 其中 ，t:0 ，1 x0,10，1 是任意 t-范数。用模糊并表示连接词或。具体地讲，下面的复合模糊命题 x 为 A 或 y 为 B (6.17) 可以解释为 UxV 中的模糊关系 AUB ，其隶属度函数为 AUB(x ，y) =s A(x) ， B(y) (6. 18) 其中 ， s:0 ，1 x0,10，1 是任意 s-范数用模糊补表示连接词非。即，把非A用 A 来替代,_,Company Logo,模糊命题,例 6.3模糊命题 (6.14) ，即 FP = (X为 5 且 x 非 F) 或
12、x 为 M (6.19) 是乘积空间 0，Vmax 中的一个模糊关系，其隶属度函数为 FP( x1,x2,x3 )= s tS(x1) ，c(F(x2) ,M(x3) (6. 20) 其中 ，s 、t 和 c 分别表示 s-范数、 t-范数和模糊补算子，模糊集(其定义见图 5.1)5= 慢 速 ，M = 中速，F = 快速 ，x1=x2=x3=x解释形如式 (6.7) 的模糊 IF -THEN 规则的准备工作己经就绪。,3,Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,由于模糊命题是用模糊关系未解释的，所以剩下的关键问题是怎样解释 IF -THEN 的运 算。在经典命题运算中，表
13、达式 IF p THEN q 可以写成 pq ，可以看做是由表 6. 1 所定义 的一种连接，这里 p 和 q 都是命题变量，其值为真( T)或为假( F) 。 表6.1,Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,如果 p 和 q 的值都为真或都为假，则 pq 为真;如果 p 的值为真 ，q 的值为假，则 pq 为假;如果 p 的值为假 ，q 的值为真，则pq 为真。因此，认为 pq等价于 pVq (6.21) 和 (p q) V p (6.22)即式(6.21)和式(6.22 )与 pq 都符合真值表(表6. 1)的规律，这里-、 V 和别代表(经典)逻辑运算符非、或和与。
14、,_,_,Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,由于模糊 IF -THEN 规则可以解释为用模糊命题取代了 p 和 q ，所以，模糊 IF -THEN 规则 也可以解释为用模糊补、模糊并和模糊交来分别取代式 (6.21)和式(6.22 )中的-, 和算 子。因为模糊补、模糊并和模糊交算子有很多种，所以文献中提出的模糊 IF -THEN 规则也 就有很多种不同的解释。下面列举了其中的一部分。将式 (6.7) 重写为 IF THEN ，用FP1和 FP 2 来分别取代式 (6.21) 和式 (6.22 )中的 p 和 q ，这里 FP1和 FP 2 都是模糊命题。假设 FP1
15、是一个定义在 U = U1 Un 上的模糊关系 ，FP 2 是一个定义在 V= V1 Vm 上的模糊关系， 和 y 分别是 U 和 V 上的 语言变量(向量)。,Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,Dienes-Rescher 含义:把式 (6.2 1)中的逻辑运算符和 V 分别用基本模糊补和基本模糊并未取代，就可得到 Dienes -Rescher 含义。具体地讲，模 糊 IF -THEN 规则 IF THEN ，可以解释为UxV 中的一个模糊关系。D 其隶属度函数为 QD(x,y)=max1- FP1(x) ，FP2(y) (6.23) Lukasiewicz 含义
16、:。具体地讲，模 糊 IF -THEN 规则 IF THEN ，可以解释为UxV中的一个模糊关系，其隶属度函数为 QZ(x,y)=max1- FP1(x) ，min(FP1(x) ,FP2(y) ( 6. 24 ) Zadeh 含义:这里的模糊 IF -THEN 规则 IFTHEN 可以解释为 UxV中的一个模糊关系。z 其隶属度函数为 QZ(X ，y) =maxmin( FP1 () ，FP2 ( y) ) ，1 一 FP1() (6.25),Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,Gdel 含义: Gdel 含义是经典逻辑中一个众所周知的含义公式。通过将其推广至 模糊命
17、题，得到的模糊 IF -THEN 规则 IF THEN 可以解释为 UxV 中 的一个模糊关系QG，其隶属度函数为 QG（x,y）= (5.26),1 FP1(x) FP1(x),FP1(y) 其他,Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,Mamdani 含义:模糊 IF -THEN 规则IF THEN 可以解释为 UV 中的一个模糊关系QMM 或 QMP 其隶属度函数为QMM （x,y）= minFPl(x) ，FP2(y) (5.27)QMP(x.y) =FPl(x)FP2(y) (5.28)Mamdani 含义是在模糊系统与模糊控制中使用最广泛的含义。其成立的论据是，
18、模糊 IF -THEN 规则为局部含义。尽管，也许有一些人不同意这一观点。如，有人可能认为，当说 速度快则阻力很大时，其内在含义是速度慢则阻力小。从这个意义上讲，模糊IF - THEN 规则又是非局部的。这种争论表明，当用模糊 IF -THEN 规则来表述人类的知识时，不 同的人会有不同的解释。因此，要求用不同的含义来处理不同的问题。例如，如果专家认为 其规则是局部的，则会使用 Mamdani 含义;否则就会考虑全局含义式 (5.23)式 (5.26 ),Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,例令 U =1，2 ，3 ，4 ，V =1，2 ，3 。假设己知 xU 是 y
19、V 的逆命题。 为描述这 一知识，可以使用下面的模糊 IF -THEN 规则: 如果 x 为大，则 y 为小 (1) 这里，模糊集大和小的定义如下:大 =0/1+0.1/2+0.5/3+1/4 (2)小 =1/1+0.5/2+0.1/3 (3)如果使用 Dienes -Rescher 含义 ，则模糊IF -THEN 规则 (1)就可以表述为如下 UxV 中的模糊关系QDQD =1/( 1，1) +1/( 1， 2) +1/( 1， 3) +1/(2 ，1+) 0.9/(2 ，2) +0.9/(2 ，3) +1/(3 ， 1)+0.5/(3 ，2) +0.5/(3 ，3) +1/(4 ，1+)
20、0.5/(4 ，2) +0.1/(4 ，3) (4),Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,如果使用 Lukasiewicz 含义，则规则(1 )就变成了QL =1/( 1，1) +1/( 1， 2) +1/( 1， 3) +1/(2,1+)1/(2,2) +1/(2,3) +1/(3,1) +1/(3,2) +0.6/(3,3) +1/(4 ,1) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3) (5)如果使用 Zadeh 含义 和 Gdel 含义 ，则有Qz=l/(1,1) +1/( 1, 2) +1/( 1,3) +0.9/(2,1) +0.9/(2,2)+0.9/(2
21、,3) +0.5/(3,1) + 0.5/(3,2) +0.5/(3,3) +1/(4,1) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3) (6)QG=l/(1，1) +1/( 1， 2) +1/( 1， 3) +1/(2 ，1+) 1/(2 ，2) +1/(2 ，3) +1/(3 ，1) + 1/(3，2) +0.1/(3 ，3) +1/(4 ，1) +0.5/(4 ，2) +0.1/(4 ，3) (7) 最后，如果使用 Mamdani 含义，则模糊IF -THEN 规则 (1 )就变成了QMM=0/( 1,1) +0/( 1,2)+0/( 1,3) +0.1/(2,1) +0.1/(2,2)
22、+0.1/(2,3)+0.5/(3 ,1) + 0.5/(3,2) +0.1/(3,3) +1/(4,1) +0.5/(4,2) +0.1/(4,3) (8) QMP=0/(1,1) +0/( 1， 2) +0/( 1， 3) +0.1/(2 ，1) +0.05/(2 ，2) +0.01/(2 ，3) + 0.5/(3 ，1+)0.25/(3 ，2) +0.05/(3 ，3) +1/(4 ，1) +0.5/(4 ，2) +0.1/(4 ,3) (9),Company Logo,模糊 IF-THEN 规则的解释,由式(4) 式( 9) 可以看出，对于不包含在规则式 (1 )之内的数据对，即(1，
23、 1)，(1， 2) 和(1， 3)( 因为 大(1) =0)，QD， QL ，Qz 和 Qc 给出的隶属度值是1，而 QMM 和 QMP 给出的隶属度值是 0 。这同前面的结论，Dienes -Rescher 含义、 Lukasiewicz 含义， Zadeh 含义 以及 Gdel 含义为全局含义，而 Mamdani 含义为局部含义的结论是一致的。,Company Logo,目录,由数值变量到语言变量语言限定词模糊IF-THEN规则模糊规则库,Company Logo,模糊规则库-结构,模糊规则库是由模糊 IF -THEN 规则集合组成的。它是模糊系统的核心，从这个意义上讲，模糊系统的其他组
24、成部分都是以一种合理而有效的方式来执行这些规则的。具体地讲， 模糊规则库是由以下模糊 IF -THEN 规则组成的:R:如果 X1为 A1;且且xn为An，则y 为 B (7. 1)其中，Ai; 和 B 分别是 Ui C R 和 V C R 上的模糊集合 ，X = (x1，x2，X n ) U 和 yV 分别是 模糊系统的输入和输出(语言)变量。令 M 为模糊规则库式( 7. 1)中的规则数目，即 l= 1， 2 ，M 。将形如式(7. 1)的规则叫做标准模糊 IF -THEN 规则，因为正如下面的引理所表明 的那样，它包含了许多其他类型的模糊规则及特殊的模糊命题。,（l）,l,l,l,l,l
25、,T,Company Logo,模糊规则库-结构,引理 7形如式 (7. 1)的标准模糊 IF -THEN 规则包含了下列特例:( a) 不完整规则如果x1为 A1; 且且 X m 为 Am ，则 y 为 B (7.2)其中 ，m n( b) 或规则如果x1为 A1; 且且 Xm 为 Am 或Xm+1或Am+1且且 Xn为An，则 y 为 B (7.3),l,l,l,l,l,l,l,l,l,l,Company Logo,模糊规则库-结构,( c)单一模糊陈述y为 B (7.4)(d) 逐级变化规则x 越小，则 y 越大 (7.5)( e)非模糊规则(即传统的扩展规则),l,Company Lo
26、go,模糊规则库-特性,因为模糊规则库是由规则集合组成的，所以这些规则之间的关系及规则整体都蕴涵着 有趣的问题。如，这些规则涵盖了模糊系统所有可能面对的情况了吗?这些规则之间有冲 突吗?为回答这些问题，引入下列概念定义 7.1如果对任意 xU，在模糊规则库中都至少存在一条规则，称之为规则Ru形如规则( 7. 1)，对于所有 i= 1， 2 ， ，n 都满足 Al(xi) 0。则称这个模糊 IF -THEN 规则集合是完备的。直观地讲，一个规则集合的完备性表明，输入空间中的任意点上都至少存在一条可用规 则。也就是说，规则的 IF 部分的隶属度值在这一点上是非零的,(l),Company Logo
27、,模糊规则库-特性,例 7.1 考虑 U = U1x U2=0 ，1Jx0 ，1 和 V=0 ，1上的一个二维输入一维输出模糊系统。在 U1 上定义三个模糊集合同S1，M1 ，L1 ，在U2上定义两个模糊集合 S2，L2 (见图 7.2) 。为了保证模糊规则库的完备性，该模糊规则库必须包含以下六条规则，且六条规则 的 IF 部分应由S1，M1 ，L1 和S2，L2的所有可能的组合组成:如果 X1 为 S1且X2为 S2 ,则 y 为 B如果 X1 为 S1且X2为 L2 ,则 y 为 B如果 X1 为 M1且X2为 S2 ,则 y 为 B如果 X1 为 M1且X2为 L2 ,则 y 为 B如果
28、 X1 为 L1且X2为 S2 ,则 y 为 B如果 X1 为 L1且X2为 L2 ,则 y 为 B,1,2,3,4,5,6,Company Logo,模糊规则库-特性,其中 ，B ( l = 1，2 ，6 )为 V 上的模糊集合。如果这六条规则中缺少任意一条规则，则都会 找到一个点x U ，在这点上，所有余下规则的 IF 部分的命题的隶属度值为零。例如，如果 式 (7.12)中缺少第二条规则，则X =(0 ，1),l,*,*,Company Logo,模糊规则库-特性,由例7.1可以看出，如果图7.2中所示的三角形隶属度函数，则完备模糊规则库的数目就会随输入空间U的纬度的上升而呈指数上升，称
29、该问题为“维度灾难”。,Company Logo,模糊规则库-特性,定义 7.2 如果模糊 IF-THEN 规则集合不存在 IF 部分相同， THEN 部分不同的规则， 则认为这个模糊 IF-THEN 规则集合是一致的。对于非模糊规则来说，一致性是一条重要的要求，因为如果存在冲突规则，则很难继续 搜索。不过后面将会讲到，对于模糊规则来说，一致性并不是关键所在，因为如果存在冲突规则，模糊推理机和解模糊器将会把它们自动平均并输出一个折衷结果。当然，首先最好有 一个一致的模糊规则库。,Company Logo,模糊规则库-特性,定义 7.2 如果模糊 IF-THEN 规则集合不存在 IF 部分相同，
30、 THEN 部分不同的规则， 则认为这个模糊 IF-THEN 规则集合是一致的。对于非模糊规则来说，一致性是一条重要的要求，因为如果存在冲突规则，则很难继续 搜索。不过后面将会讲到，对于模糊规则来说，一致性并不是关键所在，因为如果存在冲突规则，模糊推理机和解模糊器将会把它们自动平均并输出一个折衷结果。当然，首先最好有 一个一致的模糊规则库。,Company Logo,模糊规则库-特性,定义 7.3当邻近规则的 THEN 部分的模糊集的交集不为空集时，称该模糊IF -THEN规则集合是连续的。 直观上讲，连续性表明，模糊系统的输入一输出行为应该是平滑的。对此概念很难再做更详细的解释，因为还一直未能推导出模糊系统的完整公式,
