1、求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o例 1 在数列 na中， 31, )1(1nan，求通项公式 na.解：原递推式可化为： 1n则 ,22 3123a434a， na1逐项相加得： nan1.故 n4.二、作商求和法例 2 设数列 na是首项为 1 的正项数列，且 0)1(12nnnaa（n=1,2,3） ，则它的通项公式是 na=（2000 年高考 15 题）解：原递推式可化为：)()1(1nnaan=0 na10， 1
2、na则 ,43,2,312， n1 逐项相乘得： 1，即 na= .三、换元法例 3 已知数列 na，其中 913,421a，且当 n3 时， )(312nnaa，求通项公式 na（1986 年高考文科第八题改编）.解：设 11nnb，原递推式可化为：,32是一个等比数列， 9134121ab，公比为 3.故 nnnnb)31(9)31(221 .故nna)(1.由逐差法可得： nna)3(. 例 4 已知数列 na，其中 ,21，且当 n3 时， 221nna，求通项公式 na。解 由 1221nna得：)()(211n，令 1nnb，则上式为 b，因此 nb是一个等差数列， 1b，公差为1
3、.故 b.。由于 112312121 nnn aaa又 )(b所以 2an，即 )(2n四、积差相消法例 5（1993 年全国数学联赛题一试第五题）设正数列 0a， 1， n， a，满足 2na21n= 1a )2(n且 10a，求 n的通项公式.解 将递推式两边同除以 21na整理得： 121nna设 nb= 1a，则 01b=1， 1nb，故有2 23 1nb( 1n)由 2+ 3 +( ) 02得 121nnb =2，即 1na=2.逐项相乘得： na= 2)1(2)( ，考虑到 0a，故 222)1()(nn )1(n . 五、取倒数法例 6 已知数列 na中，其中 ,1，且当 n2
4、时， 12na，求通项公式 na。解 将 21n两边取倒数得： 1n，这说明 n是一个等差数列，首项是 1a，公差为 2，所以)1(nan，即 a.六、取对数法例 7 若数列 na中， 1=3 且 21na（n 是正整数） ，则它的通项公式是 na=（2002 年上海高考题）.解 由题意知 n0，将 21n两边取对数得 nnalg2l1，即 2l1n，所以数列 lgna是以 1l= 3g为首项，公比为 2 的等比数列， 1213lgllgnna ，即 13n.七、平方（开方）法例 8 若数列 na中， 1=2 且 213nna（n ） ，求它的通项公式是 na.解 将 两边平方整理得 321n
5、a。数列 2是以 21a=4 为首项，3 为公差的等差数列。3)(21an。因为 n0，所以 3n。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、 BAann（A、B 为常数）型，可化为 1na=A（ n）的形式.例 9 若数列 n中， 1=1， nS是数列 n的前 项之和，且 nnS431（n 1） ，求数列 na的通项公式是 na.解 递推式 nnS431可变形为 413nnS （1）设（1）式可化为 )(1nnS （2）比较（1）式与（2）式的系数可得 2，则有 )1(31nnS。故数列 21nS是以 31为首项，
6、3 为公比的等比数列。 nS= n31。所以 3nS。当 n 2， 1238211 nnnna 。数列 n的通项公式是 1382nn)( 。2、 BAann1nC（A、B、C 为常数，下同）型，可化为 11nnCa= nnaA(）的形式.例 10 在数列 中， ,342,11nna求通项公式 。解：原递推式可化为： )3(2311nnnaa比较系数得 =-4，式即是： )34(23411nnna.则数列 41n是一个等比数列，其首项 51，公比是 2. 253na即 11n.3、 nnnaBA12型，可化为 )()112 nnn aAa的形式。例 11 在数列 中， ,2，当 N， n652
7、求通项公式 na.解：式可化为： )(5112 nnn aa比较系数得 =-3 或 =-2，不妨取 =-2.式可化为：)2(3112nnn则 a是一个等比数列，首项 12a=2-2（-1）=4，公比为 3. 114nn.利用上题结果有：253.4、 CBnAan1型，可化为 )1(221 naAna的形式。例 12 在数列 中， 231， n=6 3 求通项公式 n.解 式可化为： 2121 )()(2naann 比较系数可得：=-6， 9， 式为 1bnb是一个等比数列，首项 296，公比为 1. 1)2(n即 nna)(96故 )(n.九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递
8、推式求出 123,a，然后猜想出满足递推式的一个通项公式 na，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例 13 在各项均为正数的数列 na中， nS为数列 n的前 n 项和， nS= (+ 1)na，求其通项公式。 求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如 21(,nnapqa是常数）的数列形如 121, (,nnmpqa是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 na，其特征方程为2xq若有二异根 ,，则可令 1212(,ncc是待定常数）若有二重根 ，则可令 ()nna是待定常数）再利用 12,am可求得 12,c，进而求得 na例 1已知数列 n满足 *1221,3()nnaN，求数列
9、na的通项 n解：其特征方程为 2x，解得 1,x，令 12nac，由 12243ac，得12c， 1nn例 2已知数列 na满足 *1221,4()nnaaN，求数列 na的通项 n解：其特征方程为 241x，解得 12x，令 12nnac，由122()14ac，得 1246c， 132n二、形如 2nnAaBCD的数列对于数列 2nn， *1,(,amnNABCD是常数且 0,ADBC）其特征方程为 AxBC，变形为 2)xx若有二异根 ,，则可令 1nnac（其中 c是待定常数） ，代入 12,a的值可求得 c值这样数列 na是首项为 1a，公比为 的等比数列，于是这样可求得 n若有二重
10、根 ，则可令 1nnc（其中 是待定常数） ，代入 12,a的值可求得 c值这样数列 1na是首项为 na，公差为 的等差数列，于是这样可求得 n此方法又称不动点法例 3已知数列 na满足 1122,()na，求数列 na的通项 n解：其特征方程为 x，化简得 20x，解得 12,x，令 1nnac由 12,a得 45，可得 13c，数列 n是以 1a为首项，以 为公比的等比数列，13nna， 3(1)na例 4已知数列 na满足 *112,()46nnaN，求数列 na的通项 n解：其特征方程为 246x，即 20x，解得 12x，令 12nnca由 1,a得 23，求得 1c，数列 2n是以 125a为首项，以 为公差的等差数列， 13(1)552nna，13506a
