1、平方根算术平方根 立方根三说王峰一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数 x 的平方等于 a（即 ），那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根），记作： ，这里 a 是 x 的平方数，故 a 必是一个非负数即 ；例如 16 的平方根是 4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根只有一个 0，即为它本身。正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，表示为 ，例如 16 的算术平方根是 ，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性： ； 。2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：定义不同；个数不同
2、；表示方法不同；取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。联系：它们之间具有包含关系；它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；0 的平方根以及算术平方根均为 0。3. 立方根的定义与性质如果一个数 x 的立方等于 a（即 ），那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根），记作： 。立方根的性质：正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。二、解题中常见的错误剖析例 1. 求 的平方根。错解：的平方根是剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而 是一个正数，故它的平方根应有两个即3。例 2. 求 的算术平方根。错解：的算术平方根是 3
3、剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求 9 的算术平方根，因而导致误解，事实上本题 就是表示的 9 的算术平方根，而整个题目的意义是让求 9 的算术平方根的算术平方根。，而 3 的算术平方根为 ，故 的算术平方根应为 。仿此你能给出 的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例 3. 已知： 是 算数平方根， 是 立方根，求 的平方根。分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立解方程组，得：代入已知条件得：所以故 MN 的平方根是 。例 4. 已知 ，求 的算术平方根与立方根。分析：由已知得联立解方程组，得：所以因而 的算术平方根与立方根分别为 。例 5. 若一个正数 a 的两个平方
4、根分别为 和 ，求 的值。分析：由平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，因而可构造方程，解得从而评注：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出 a，解法可谓简捷明了，令人耳目一新。事实上方程思想是初中阶段一种重要的数学思想方法，应引起同学们高度重视。例 6. 比较 的大小。分析：要比较 的大小，必须搞清 a 的取值范围，由 知 ，由知 ，综合得 ，此时仍无法比较，为此可将 a 的取值分别为 ； ；三种情况进行讨论，各个击破。当 时，取则 ，显然有当 时，当 时，仿 取特殊值可得评注：本题的解答用到了分类讨论的思想，所谓分类思想就是根据问题的需要将涉及的
5、对象按一定的标准分成若干类，然后再逐类讨论求解的思维方法。分类要遵循三条原则：标准统一；任何两种情况不重复；每一种情况都不能遗漏。例 7. 已知有理数 a 满足 ，求 的值。分析：观察表达式 中的隐含条件，被开方数应为非负数即，亦即 ，故原已知式可化为：例 8. 若 x、y、m 适合关系式，试求 m 的值。分析：观察等式的右边的两个表达式的被开方数互为相反数，再结合只有非负数才有算术平方根，因而必有所以 。原已知式可化为：再变形得：将 代入（*）得：由算术平方根的非负性，再根据“若干个非负数的和为零，则其中每一个非负数均为零”，可得解这个方程组得：评注：抓住题目中隐含的算术平方根具有双重非负性
6、： ；是解决此类问题的关键。例 9. 有理数 a、b、c 在数轴对应点如下图所示，化简。分析：根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的数大可知：再结合算术平方根应为非负数，因而原式评注：本例借助以形（数轴）辅数（确定 的符号）的方法解题的，是数形结合思想的具体体现。所谓数形结合思想就是在已知条件下建立数和形之间的关系，以形辅数，以数定形，利用数、形的相互关系来解题的思维方法。例 10. 借助计算器计算下列各题：（1）（2）（3）（4）仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？分析：利用计算器计算得：（1）（2）（3）（4）观察上述各式的结果，容易猜想其中的规律为：
7、个 1 与 n 个 2 组成的数的差的算术平方根等于 n 个 3 组成的数。即解释理由如下：实数练习题（一、填空题1.9 的算术平方根是 ；平方根是 . 2. 的平方根是 ； 的算术平方根是 . 4925813.3 的算术平方根是 ； 的平方根 ； -4 立方根是 .64.若一个数的平方根等于 ，则这个数的立方根是 . 275.一个的算术平方根是 8，则这个的立方根的相反数是 . 6.若 ，则 .642xx37.若无理数 a 满足：1a4,请写出两个你熟悉的无理数： , .8.如果 = 0 那么“ ”内应填的实数是 .9. - 的相反数是 ；绝对值是 .2310.化简(1) = ； (2) =
8、 . 5311.大于- 而 的所有整数的和 . 1712. 在数轴上离原点距离是 的点表示的数是 . 514.比较大小：(1)3 ； (2) ； (3) 10677610；613(4) ； (5) . 5313a3)(a15. 数轴上表示 1， 的对应点分别是 A、B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则 C 点所表2示的数为 . 16.已知坐标平面内一点 A(-2,3),将点 A 先向右平移 个单位,再向下平移 个单位,得23到 A,则 A的坐标为 . (-2+ ,3- )317已知 有意义，则 x 的平方根为 xx118. 在两个连续整数 和 之间， ，那么 、 的值分别是 . 10ab
9、10ba19. 若 与 互为相反数，则 . ab24206()二、选择题20.下列命题中,正确的个数有( )1 的算术平方根是 1;(-1) 2 的算术平方根是-1;一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；-4 没有算术平方根.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 21. 的算术平方根是( )16A.2 B.2 C.4 D.4 22.下列各式中，无意义的是( )A B C D 42)(41223.下列说法错误的是( )A无理数没有平方根； B一个正数有两个平方根；C0 的平方根是 0； D互为相反数的两个数的立方根也互为相反数24. 一个自然数的算术平方根是 x,则下一个自然数
10、的算术平方根是( )A. +1 B. C. D.x+1 x1x21x25. 数轴上的点 A 所表示的数为 ，如图所示，则 的立方根是( )0A B C2 D2 210026.- 、- 、 、- 四个数中,最大的数是( )532A. B.- C.- D.- 23227.下列等式不一定成立的是( )A. B. C. D. 33aa2a3 a3)(28估算 (误差小于 0.1)的大小是( )7A. 6 B. 6.3 C. 6.8 D.6.06.1 29. 如图，数轴上表示 1、 的对应点分别为点 A、点 B若点 B 关于点 A 的对称点为点3C，则点 C 所表示的数为（ ） A B C D 3132
11、33230. 面积为 10 的正方形的边长为 ，那么 的范围是( )xA B C D x4510x10x31. 下列各式估算正确的是( ) A B C D 9036028.274.32. 满足 的整数对（ ）的个数是( ) 75mn,mnA多于 3 个 B3 个 C2 个 D1 个 三、解答题33.求 的算术平方根、平方根、立方根. 1634、求下列各式的值:(1)- ； (2) + ； (3) +2(0.)25360.91.36535.计算：（1） 十 (精确到 0.01) （2）3 2 （保留三个有效数字）1A 12 1 036. 将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列： 6.1,02,5
12、2 37. 比较无理数的大小：（1） 和 ； （2）537和38.已知 为实数，且 ，求 ,mn30nnm39.已知 ,且 ,求 的值. 12yxxyxy由已知 ,有:当 时, ,则 ；当 时, ,则y21321x40.已知 x、y 为实数，且 求 的值49xxyyx41.求下列各式中的（1） （2） （3） （4） .52(1)62(1)6042.小明房间的面积为 10.8 米，房间地面恰由 120 块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？ 0.3 米43.(1) 用一块面积为 400 的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为 300 的长2cm2cm方形纸片,你会怎样剪?(2) 若用
13、上述正方形纸片，沿着边的方向剪出面积为 300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为 3:2,你又怎样剪？(3) 根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?(1)只要剪掉 5 宽的长方形纸片即可；(2)不可能；(3)不一定.c44.在物理学中,用电器中的电阻 R 与电流 I,功率 P之间有如下的一个关系式:P=I 2R,现有一用电器,电阻为 18 欧,该用电器功率为 2400 瓦,求通过用电器的电流 I. I11.55 安培45.自由下落物体的高度 h（米）与下落时间 t（秒）的关系为 有一铁球从 19.629.4th米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 46.某地
14、开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400000 米 2（1）公园它有 1000 米吗？（2）如果要求误差小于 10 米，它的宽大约是多少？（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 米 2，你能估计它的半径吗？（误差小于 1 米） (1)公园的宽大约几百米，没有 1000 米；(2) 大约 440 米或 450 米.因为要求误差小于 10 米，所以 440 与 450 都满足要求；(3) 15 米或 16 米47.有五个实数： 中，请计算其中有理数的和与无理数的积8,2,1332的差. 53.如图，A、B 两点的坐标分别为 ， ，C 点的坐标为（3，3）.)2,1(),4(1) 求ABC 的面积；(2) 将ABC 向下平移 个单位长度,得到ABC,求点 A、 B 、C的坐标；3(3) 求ABC的面积.112342 3 4-1-1-2-3-4-4 -3 -2 OyxCBA
