1、 东北三省三校 2014 年高三第二次联合模拟考试（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）数学理试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120分钟。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1. 若 7,63,218,7654,321BAU， ，则 =()UCABA. 4,8 B. 2,4,6,8 C. 1,3,5,7 D. 1,2,3,5,6,72. 已知复数 iz，则 |zA. i231B. i231C. i231D. i2313. 设随机变量 服从正态分布
2、)9,(N，若 )(cP= )(，则 c 的值是A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知 1:xqkp， ，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围是A. ),2B. ),2(C. ),D. 1,(5. 已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且 BCAabsini，则B=A. 6B. 4C. 3D. 46. 已知函数 )1ln()2xf的值域为 2,10，则满足这样条件的函数的个数为A. 8 B. 9 C. 26 D. 277. 已知ABC 中， 6ACB， ，D 为边 BC 的中点，则 AD等于A. 6 B. 5 C. 4 D. 38. 函数
3、)2sin()(xh的图象与函数 )(xf的图象关于点 )1,0(对称，则函数)(xf可由 )(h经过 的变换得到A. 向上平移 2 个单位，向右平移 4个单位B. 向上平移 2 个单位，向左平移 的单位C. 向下平移 2 个单位，向右平移 4个单位D. 向下平移 2 个单位，向左平移 的单位9. 一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和 10 环的成绩，未击中 9 环或 10 环就以 0 环记。该运动员在练习时击中 10 环的概率为 a，击中 9 环的概率为 b，既未击中 9 环也未击中 10 环的概率为 c（a，b，c )1,0） ，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为 9 环，则当
4、910取最小值时，c 的值为A. B. 12C. 15D. 010. 已知某算法的流程图如图所示，输入的数 x 和 y 为自然数，若已知输出的有序数对为 )14,3(，则开始输入的有序数对 ),(yx可能为A. )7,6(B. )6,(C. 5,4D. )4,5(11. 已知双曲线 12byax)0(ba， 的焦点 0,1cF、 )0(,2c，过 F2的直线 l 交双曲线于 A，D 两点，交渐近线于 B，C 两点。设 mCB1，nFA1，则下列各式成立的是A. |nmB. |nC. 0|nmD. 0|nm12. 已知方程 kxcos在 ),0(上有两个不同的解 、 )(，则下列的四个命题正确的
5、是A. sin2=2cos2 B. cos2=2sin2C. sin2=-2sin2 D. cos2=-2sina2第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13. 观察下列等式： 231， 23， 23361， 2331041，根据上述规律，第 n 个等式为 14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为 15. 在区间 2,0和 1,分别取一个数，记为 x、y，则 x2的概率为 。16. P 为正方体
6、ABCD-A1B1C1D1 对角线 BD1 上的一点，且 BP=BD1（ ),0(） 。下面结论：A 1DC 1P；若 BD1平面 PAC，则 3；若PAC 为钝角三角形，则 )21,0(；若 )1,32(，则PAC 为锐角三角形。其中正确的结论为 。 （写出所有正确结论的序号）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）17. （本小题满分 12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an=5Sn+1 成立。（）求数列a n的通项公式；（）设 |log4ab，求数列 12nb前 n 项和 Tn。18. （本小题满分 12 分）某个团购网站为了更好地满足
7、消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是 10 分。上个月该网站共卖出了 100 份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组0 ，2） ，第二组2 ，4） ，第三组 4，6） ，第四组6，8） ，第五组8，10，得到的频率分布直方图如图所示。（）分别求第三，四，五组的频率；（）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品。已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买，设第 4 组中有 X 个产品被购
8、买，求 X的分布列和数学期望。19. （本小题满分 12 分）已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ACBD=O，AA 1=23，BD A 1A，BAD=A 1AC=60，点 M 是棱 AA1 的中点。（）求证：A 1C平面 BMD； （）求证：A 1O平面 ABCD；（）求直线 BM 与平面 BC1D 所成角的正弦值。20. （本小题满分 1 2 分）已知圆 )(:yxM，直线 1:yl，动圆 P 与圆 M 相外切，且与直线 l 相切。设动圆圆心 P 的轨迹为 E。（）求 E 的方程； （）定点 A（4，2） ，B，C 为 E 上的两个动点，若直线
9、AB 与直线 AC 垂直，求证：直线 BC 恒过定点。21. （本小题满分 12 分）已知函数 )0(1)(2axbf （）求证： 必有两个极值点，一个是极大值点，个是极小值点；（）设 )(f的极小值点为 ，极大值点为 ， 1)()(ff， ，求 a、b 的值；（）在（）的条件下，设 )(xefg，若对于任意实数 x，2)(mxg恒成立，求实数 m 的取值范围。请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知 PQ 与圆 O 相切于点 A，直线 PBC 交圆于 B，C 两点，D 是圆
10、上一点，且ABCD，DC 的延长线交 PQ 于点 Q。（）求证：AC 2=CQAB；（）若 AQ=2AP，AB= 3，BP=2，求 QD。23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C1 的极坐标方程为 22sin1，直线 l 的极坐标方程为 cosin24。（）写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程； （）设 Q 为曲线 C1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值。24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 ,22cbaRcb， 。（）求证： 3|；（
11、）若不等式 2)(|1cbax对一切实数 a，b，c 恒成立，求实数 x的取值范围。参考答案二模理科数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D C B C B D A A B C C13233(1)4n14 253 15 23 1617 （）解：当 时， 11,4aSa 2 分又 15,5nnaS 15,nn 4 分14na即 数列 na是首项为 14，公比为 4q的等比数列， ()nn 6 分（） nbn)41(log， 8 分所以 21()2n 10 分1 1()3422nTnn 12 分18 （）解：第三组的频率是 0.1502=0.3；第四组的频
12、率是 0.1002=0.2；第五组的频率是 0.0502=0.1 3 分（）由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到 60.5=3 个，而第三组共有1000.3=30 个，所以甲乙两产品同时被选中的概率为1283045CP7 分第四组共有 X 个产品被购买，所以 X 的取值为 0,1,21236(0)5CP；13268()5PC；261()5XC；所以 X 的分布列为01285P10 分81253E12 分19 （）证明: 连结 MO1111/AMOACBDBMD平 面 平 面平 面 3 分（） 1 1ACA,得 面 于是 1OCBDO11116032cos60AAOACBDB 平 面7 分
13、()如图建立直角坐标系， 1(0,3),0)(3,)(0,1,0)ACBD1 1(23,0)(23,0)ACC 33(,)(,1)22MB10,),DB设平面 的法向量为 ()nxyz11200(3,02)3nBnC 9 分9cos,47M11 分所以，直线 B与平面 1D所成角的正弦值为 9728 12 分20（）设 (,)Pxy，则 222()(1)yxy 4 分（）设直线 BC： kxb， 2,BC将直线 代入到 28y中得 280kx，所以 12128,xkxb5分又因为 12(4,),(4,)ABxACy所以 121212121()()()4()()460Cyxkxbkxkbb2 2
14、8()()()b 2163206(1)kk8 分40或 4b 10 分所以恒过定点 (,) 12 分21 （） 2 2 21() 1axaxbbxaf令 2()00fxabx24()0ba 2 分有两实根不妨记为 ,x,()f00x极小 极大 所以， ()f有两个极值点 ，一个极大值点一个极小值点 4 分（） 20axb，由韦达定理得 2ba 221100fa 6 分 0,1,b，所以 2a 7 分()因为 2()1xeg，所以 0m 8 分又因为当 0时，不等式恒成立所以，原问题 2xe对一切 ,0,x恒成立法一、设 2()xu（ ,） 4 322()xxxxeeee设 xxh， ()xxh
15、，()e当 0x时， x，所以 ()0x，当 时， xe，所以 ()0hx，所以 ()h在 R上单调递增，又因为 h所以当 0x时， ()0hx，当 时， ()0hx所以 ()h在 ,上递减， ,递增，所以 () 10分所以当 0x时， ()0ux，当 时， ()0ux所以 ()u在 ,上递减， ,递增，所以 lim()1xh所以 1m 12 分法二不妨设 0x2()he()2xhex， ()2xhe当 1时， xm， 0，所以 在 0,上单调递增，()0所以hx在 ,上单调递增， ()hx，所以当 1m时成立10 分当 1m时 ()得 2 20ln1,ln()mx令当 0， 时 0x所以 (
16、)在 ， 上单调递减， (0hx所以()hx在 ， 上单调递减， h，与条件矛盾，同理 时亦如此综上 1 12 分22 （） 2/ ABCDPAQCACBCQAPOBQ为 圆 切 线 为 圆 切 线5 分（）/ 1133,62,ABCDPABQCPCQA为圆 O 切线 2124A又因为 为圆 O 切线 163ACDQ 10分23（） 21:Cxy， :24lyx 5 分（）设 cos,inQ，则点 Q到直线 l的距离2si()42i4233d8 分当且仅当 2k，即 4k（ Z）时取等 10 分24解：（）由柯西不等式得， 2222()(1)()3abcabc 33abc 所以 的取值范围是 , 5分（）同理， 2222()1()3abc（ 7 分若不等式 |1|()xabc对一切实数 ,恒成立，则 3，解集为 3,)210 分
