1、1哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2015 年高三第二次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷( 非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 l20 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不
2、要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第 I 卷( 选择题共 60 分)一、选择题(本大题共 l2 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合 M= ，则集合 M 的真子集个数为2|30,xxZA8 B7 C4 D32命题“若 x1，则 x0”的否命题是 A若 xl，则 x0 B若 xl，则 x0C若 x1，则 x0 D若 x0，b0 的左、右焦点分别为 F1、F 2，以 F1F2 为直径的圆被直线21xyab截得的弦长为 a，则双曲线的离心率为1xyab6A3 B2 C D3212若函数 在区间(0， )上是增函数，则实数 a 的取值
3、范围是sincosyxA(一 ，一 l B 一 1，+) C(一，0) D(0，+)第卷( 非选择题共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分第 l3 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22 题一第 24 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分)13 的展开式中含 项的系数为 。1)(2x3x14设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量 (单位为：元) ，经统计得 N(520 ， 14400)，从该城市私家车中随机选取容量为 l0000 的样本，其中每月汽油费用在(400，640)之间的私家车估计有 辆3(附：若 N( ， )，则
4、 P( )=06826，P( )2-22=09544，P( )=09974)315 ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，且 a，b，c 成等比数列，若sinB= ，cosB= ，则 a+c 的值为 512ac16在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 O： ，点 P(2，2)，M，N 是圆 O 上相异两点，216xy且 PM PN，若 ，则 的取值范围是 QMPN|Q三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知数列a n前 n 项和为 Sn，满足 Sn=2an-2n(nN*) (I)证明： an+2是等比数列，并求 an的通项公式
5、；()数列b n满足 bn=log2(an+2)，T n 为数列 的前 n 项和，若 对正整数 a 都成立，求1nbnTa 的取值范围18(本小题满分 12 分)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在 20 岁至 60 岁的微信用户进行有关调查发现，有 的用户平均每天使用微信时间不超过 1 小时，其他人都在 1 小时以上；若将这些微13信用户按年龄分成青年人(20 岁至 40 岁) 和中年人(40 岁至 60 岁)两个阶段，那么其中 是青年人；34若规定：平均每天使用微信时间在 1 小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有 是青年2人。(I)现对该市微信用户进行“经常使用微
6、信与年龄关系 ”的调查，采用随机抽样的方法选取容 量为l80 的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出 22 列联表青年人 中年人 合计经常使用微信不经常使用微信合计()由列表中的数据，是否有 999的把握认为“经常使用微信与年龄有关 ”?(III)从该城市微信用户中任取 3 人，其中经常使用微信的中年人人数为 X，求出 X 的期望附：22()(nadbcK4P(K2k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.82819(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为正三角形，点
7、 M 在棱BB1 上，AB=4，AA 1=5，平面 A1MC 平面 ACC1A1(I)求证： M 是棱 BB1 的中点；()求平面 A1MC 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值20(本小题满分 12 分)设 F 是抛物线 C： 的焦点P 是 C 上一点，斜率为-l 的直线 l 交 C 于不同两点 A，B(l 不24yx过 P 点)，且 PAB 重心的纵坐标为 23(I)记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2求 k1+k2 的值；(II)求 的最大值1|FA|B21(本小题满分 12 分)已知函数 ， 143(6xafe21()(1)gxax(I)曲线 在 x=1 处的切线与直线 垂直
8、，求实数 a 的值；) 0y(II)当 时，求证： 在(1 ，+)上单调递增；34a()fx(III)当 x1 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围()fg请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上，CA 切圆 O 于点A，CD 是 ACB 的平分线，交 AE 于点 F，交 AB 于点 D(I)求证： CE AB=AE AC；A()若 AD：DB=1：2，求证：CF=DF23(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知点 P 的
9、直角坐标是(x ， y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点 P 的极坐标是( ， )，点 Q 的极坐标是( ， + )，其中 是常数设点005Q 的平面直角坐标是(m，n) (I)用 x，y， 表示 m，n；0()若 m，n 满足 mn=1，且 = ，求点 P 的直角坐标(x，y) 满足的方程0424(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 a，b，c0 ，a+b+c=1求证：(I) ；3c(II) .11326三校联考二模理科数学答案 2015.41选择题：BABBA DCDBB DA2填空题：13. 16 14. 6826 15. 16.
10、 73 26,2三解答题：17.解：() 由题设 ，2naNS1()naS两式相减得 ， 2 分1n即 .12()na又 ，14所以 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 4 分n.12,na6 分1()nn又 ，所以1 *2naN（）因为 ，12log()log()nb8 分1()nn所以 ， 10 分11()23422Tn依题意得： 12 分a718.解：（）由已知可得：下面 列联表：2青年人 中年人 合计经常使用微信 80 40 120不经常使用微信 55 5 60合计 135 45 1804 分（）将列联表中数据代入公式可得： 82.103.40612453)80(2 K所以有 的把
11、握认为经常使用微信与年龄有关. 8 分9（III）从该市微信用户中任取一人，取到经常使用微信的中年人的概率为 921804依题意： 所以： 12 分X)92,3(B329)(XE19.解：（1）取 中点 ,连 .ACO在平面 上过 作 垂线交 于 .1A1CN平面 平面 . 平面BAB如图：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系由已知： 0,2A,30,25,1,32015,01C3 分mM设 为平面 法向量zyxn,C1CA1054,0, zx3232myzyx取 ,4,35即： 2mn又 为平面 法向量0,11AC8依题意： 052mn25为棱 的中点 8 分M1B（2）由（1）知： 为平面
12、法向量34,3MCA1又 为平面 法向量,0aACcos 413625, n平面 与平面 所成锐二面角余弦值为 . 12 分MCA1B4120.解（1）设直线 的方程为： ，将它代入 得： ，yxb2:Cyx22()0bx当 时，令 ，则6(1)0b12(,)(,)A， ，3 分212,xx12(2)4yxb因为. 重心的纵坐标为 所以 ，所以， PAB312py,1pyx，1212112 12()()yxxkx1221()()11212()()0xbxbx所以： 6 分120k（2） ， 8 分1212()xFABx2(3)5b由 得 ，又 不过 点，则 16()0bP9令 ，则 且 3tb
13、2t6则1()(3)5tFABt248()28412ttt当 ，即 ， 时， 的最大值为 12 分8tt3b1FAB2121.解：(1) 2164xaexf依题意得： 123f解得： 3 分49a（2）当 时：3xef121xef对 成立03,1即： 在 上为增函数f,1又 ，故 对 成立xf,在 上为增函数 6 分f,（2） 1x10由 得：xgf03212131 axaaex设 8 分hxex3 1x112xxaex设 1xke当 时： 对 成立 1aoxk),1又 故 即：00xh又 故 10 分hx当 时：由 得1ak1lna当 时：xln,0x又 故： 即：0kkh又 故 这与已知不
14、符1hx综上所述：实数 的取值范围为 12 分a1,22.解：（1）证明：由 ，得 5 分ACEB,CEABEAC（2） 证明： 平分 ， DFD为圆的切线，即 ，所以F=FD， 10 分12CABCCEBO1123.解：（）由题意知： 和,sincoyx).sin(,co0m即 ,icsinco00m所以 5 分.osi,i00yx（）由题意知2,mxyn所以 .22()()2xyxy整理得 . 10 分124.解：（1）证法一： 2()()(3abcbca5 分 3abc证法二：由柯西不等式得: ,22222(1)()(3abcabc3abc（2）证法一：44(1)2(1)4,3aa12同理得 ，443,311bc以上三式相加得，()9()633ababc 10 分1132证法二：由柯西不等式得: 211(31)()(3)39abcabc11332abc欢迎访问“ 高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
