1、12012 年北京市各区二模试题汇编-导数及其应用一填空选择（2012 年东城二模理科） （8）定义： 0y,x)y,(F，已知数列 na满足：n,Fan2()N，若对任意正整数 n，都有 kna()N成立，则 k的值为（A） 1 （B ） 2 （C） 89 （D） 98 （2012 年海淀二模文理科）8、点 是曲线 上的一个动点，曲线(,)Pxy1:(0)yx=在点 处的切线与 轴、 轴分别交于 两点，点 是坐标原点. 给出三个命题：CPxABO ； 的面积为定值；曲线 上存在两点 ，使得 为等AB=OAC,MNO腰直角三角形其中真命题的个数是 （A） （B） （C） （D）（2012 年丰
2、台二模文科）5函数 ()sin()fxxR(A) 是偶函数，且在 上是减函数(,+(B) 是偶函数，且在 上是增函数(,+)(C) 是奇函数，且在 上是减函数)(D) 是奇函数，且在 上是增函数（2012 年丰台二模理科）3由曲线 与 y=x，x=4 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积1是(A) 12(B) 236(C) ln4(D) ln41（2012 年房山二模文科）8已知 ()fx是定义在 R上的偶函数，当 0x时，2()0xff，且 (20f，则不等式 ()0fx的解集是( ) (A) (,) , (B) (,2) , (C) 20 () (D) (02二解答题（2012 年东城二模文
3、科） （18） （本小题共 13 分）已知函数 .21()exfxa（）若 ，求 在 处的切线方程；af（）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围)(xfRa（18） （共 13 分）3解：（）由 ， ， ， 1 分1a2()exfx3(1)e2f所以 . 3 分x又 ，()ef所以所求切线方程为 即 . 5 分3(e)(1)2yx2(1e)10xy（）由已知 ，得 .1()xfxafa因为函数 在 上是增函数，R所以 恒成立，即不等式 恒成立.9()0fx2e0xa分整理得 .2exa令11 分(),xg3().exg的变化情况如下表：,x(,3)3(3,)()gx0+极小值由此得 的取值范
4、围是 . 13 分3()eaga=， 即 3,e（2012 年东城二模理科） （19） （本小题共 13 分）已知函数 1()lnfxx（ 1） （）试讨论 在区间 0,上的单调性；（）当 3,a时，曲线 ()yf上总存在相异两点 1(,)Pxf，2(,)Qxf，使得曲线 x在点 P， Q处的切线互相平行，求证： 1265x. （19） （共 13 分）（）解：由已知 0x， 22 2111()()()aaxaxfx. 2 分4由 ()0fx，得 1a， 2x. 4 分因为 a，所以 ,且 1所以在区间 (,)上， ()0fx；在区间 (,)a上， ()0fx.故 )fx在 10a上单调递减，
5、在 ,1上单调递增 6 分（）证明：由题意可得，当 3,时， 2()fxf（ 12,x，且 12x）.即 2211aaxx，所以 1212， 3,. 8 分因为 12,0x，且 x，所以 212()x恒成立，所以 21214()，又 120，所以 12xa12x，整理得 124xa. 11 分令 ()g4a，因为 3,，所以 ()g在 3,上单调递减，所以 ()1在 ,上的最大值为 6()5， 所以 1265x. 13 分（2012 年西城二模理科）19 （本小题满分 14 分）已知函数 ，其中 21()axfaR（）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；（）求 的单调区间；1()yfx )(x
6、f5（）若 在 上存在最大值和最小值，求 的取值范围)(xf0,)a19.（本小题满分 14 分）（）解：当 时， ， 21a2()1xf2(1)xf分由 ， 得曲线 在原点处的切线方程是 3(0)2f ()yfx0xy分 （）解： 42)1()xaf分 当 时， 0a2()fx所以 在 单调递增，在 单调递减 5()fx,(,0)6分当 ， 0a21()()xaf 当 时，令 ，得 ， ， 与 的情况如下：0f121xa()fxf故 的单调减区间是 ， ；单调增区间是 7)(xf(,)a1(,)1(,)a分 当 时， 与 的情况如下：0a)fxf所 以的()fx 单调增区间是 ；单调减区间是
7、 ， 9 分1,)a1(,)a(,)（）解：由（）得， 时不合题意 100分当 时，由（）得， 在 单调递增，在 单调递减，所以0)(xf,a1(,)a在 上存在最大值 )(xf,)210设 为 的零点，易知 ，且 从而 时， ；0(xf0xa01x0x()fx时， x)f若 在 上存在最小值，必有 ，解得 (0,(0)f1a所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围a)(xf0,)是 12 分(0,1当 时，由（）得， 在 单调递减，在 单调递增，所以)(xf,)a(,)ax1(,)x1(,)22,)()f 00 ()fx 2()fx2(,2x21(,)x11(,)x()fx00
8、2()fx 1()fx7在 上存在最小值 )(xf0,)()1fa若 在 上存在最大值，必有 ，解得 ，或 01a所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是a)(xf0,)(,1综上， 的取值范围是 14 分(,1(,（2012 年海淀二模文科）18、 （本小题满分 13 分）已知函数 （ ， ）.2()3xaf0aR（）求函数 的单调区间；（）当 时，若对任意 ，有 成立，求实数 的1a12,)x12()fxfm最小值.818、 （本小题满分 13 分）解： .令 ，解得 或 . 2 分22()3)xaf()0fxxa3（）当 时， ， 随着 的变化如下表0()ffx,3a3a(
9、3,)aa(,)a()f 00x 极小值 极大值 函数 的单调递增区间是 ，函数 的单调递减区间是 ，()f (3,)a()fx(,3)a.4 分(,a9当 时， ， 随着 的变化如下表0a()fxfxx,aa(,3)a3a(3,)a()f 00x 极小值 极大值 函数 的单调递增区间是 ，函数 的单调递减区间是 ，()f (,3)a()fx(,)a.6 分3,a（）当 时，由（）得 是 上的增函数，是 上的减函数.1()fx,1)(1,)又当 时， . 8 分x2()03f所以 在 上的最小值为 ，最大值为 .10 分f,()6f()2f所以 对任意 ， .12)x12(13xf所以 对任意
10、 ，使 恒成立的实数 的最小值为 .,3,()fm313 分（2012 年海淀二模理科）(19)（本小题满分 14 分）已知函数 .21()ln()(0)fxaxa（）求 的单调区间；（）若 ，求证：函数 只有一个零点 ，且 ；12(l1)()fx0x012ax（）当 时，记函数 的零点为 ，若对任意 且 都45a(fx012,2,有 成立，求实数 的最大值.21()fxfm（本题可参考数据： ）9ln20.7,l8,ln.59410(19)（本小题满分 14 分）（）解： 的定义域为 .()fx(,)a. 121 1axf分令 ， 或 . ()0fx+xa当 时， ，函数 与 随 的变化情况
11、如下表：1a1()ffxx(,)0,11a(1,)a()f0 0 xA极小值 A极大值 A所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和()fx(,1)a+(,)a11.(1,)a+3 分当 时， . 所以，函数 的单调递减区间是 .=-2()01xf()fx(1,)-+4 分当 时， ，函数 与 随 的变化情况如下表：1a+()fxfx(,)1a(1,0)a0 (0,)()f0 0 xA极小值 A极大值 A所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和()fx(1,0)a+(,1)a+.(0,)+5 分（）证明：当 时，由（）知， 的极小值为 ，极大值12(ln1)0a()fx(0)
12、f为 .()fa因为 ， ，且0l()f221()(1)()()faaa在 上是减函数，()fx1,a+所以 至多有一个零点 . 7()f分又因为 ，21(2)ln2(ln1)0faaa所以 函数 只有一个零点 ，且 .x0x0x9 分（）解：因为 ，412(ln1)5所以 对任意 且 由() 可知： ，20,x21,x10,)xa，且 . 1020(,xa2分因为 函数 在 上是增函数，在 上是减函数，()fx,1)a+(1,)a+12所以 ， . 11 分1()fx0f2()fx1f所以 .2-当 时， = 0. 45a()ln()12af491ln5所以 . 13 分12(0fxf-所以
13、 的最小值为 .1)f()l4f所以 使得 恒成立的 的最大值为 .2()xm91n5214 分（2012 年朝阳二模理科）18. （本小题满分 14 分）已知函数 2()ln(0)afxx（）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；yf1,f 20xya（）讨论函数 的单调性；()x（）当 时，记函数 的最小值为 ，求证： ,0a()fx()ga21()eg1318. （本小题满分 14 分）解：（I） 的定义域为 . .fx|0x210afxx根据题意，有 ，所以 ，解得 或 . 3 分12f23a32（II） . 222()0axaxafx x （1）当 时，因为 ，00由 得
14、 ，解得 ；()fx()axxa由 得 ，解得 .20所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.()fx,（2）当 时，因为 ，0a0由 得 ，解得 ；()f()2a2xa由 得 ，解得 .xx0所以函数 在 上单调递减，在 上 单调递增. 9 分()f0, ,（III）由（）知，当 时，函数 的最小值为 ，()a()fx()ga且 .2()2)lnln23agf， 令 ，得 .来源:l3l()aaA()0ga 21e学科网 ZXXK当 变化时， ， 的变化情况如下表：ga21(,e)21e21(e,0) 0 gA极大值 A是 在 上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是 的最大值21e()a,
15、0)()ga点.14所以 222211(e)ln(e)3()最 大 值ga.2213eln所以，当 时， 成立. 14 分(,0)2()ega（2012 年丰台二模文科）20.（本小题共 13 分）已知函数 f(x)=lnx， ，两函数图象的交点在 x 轴上，且在该点处切线相()bgax同（）求 a，b 的值；（）求证：当 x1 时，f(x ) 0 可得 x 2 或 x 1，由 f (x) 0 可得 1 x 2 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ ) ，单调递减区间为 (1 , 2 ) 9 分() 由()可知函数 f (x)在(0，1) 单调递增，在(1，2)单
16、调递减，在(2 ，+) 单调递增且当 x =1 或 x =2 时，f (x) = 0 10 分 f (x) 的极大值为 11 分 561ln4bf (x)的极小值为 12 分 f 82ln42)(由题意可知 则 14 分 08ln4)(51bf l5b（2012 年昌平二模理科）18 （本小题满分 13 分）已知函数 R .axxaf ,ln)1()(（）当 时，求 的单调区间;1f（）若 在 上的最小值为 ，求 的值.)(fe,22418 （本小题满分 13 分）解：（）f (x)的定义域为x | 1 分.0x3 分222 )(1)(1( xaaa1a令 ，即 ，0)(xf ax或得 1,0
17、)(2 的增区间为（0，1） ， 4 分a令 ，即 ，)(xf xx,)(2得 的减区间为 5 分,（）当 时， 在 上恒成立， 1a0)(f1e,在 恒为增函数. 6 分)(xfe,，得 7 分 2)(minf .(3舍 去 ）a当 时，令 ，得 .ea10)(xf1或当 时， 在 上为减函数；xf),(当 时， 在 上为增函数；e)(xxfea，得（舍） 10 分2)ln(1)(min afxf当 时， 在 上恒成立，ea0)(x,e此时 在 恒为减函数.f,25，得 12 分2)1()()(min aefxf .ea综上可知 13 分.a（2012 年怀柔二模理科）18 （本小题满分 1
18、3 分）已知 xgexaxf ln)(,0,ln)( ，其中 e是自然常数， Ra（）讨论 1时， ()f的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下， 1()2f；（）是否存在实数 a，使 x的最小值是 3，若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由2618 （本小题满分 13 分）解：（） xfln)(， xf1)(当 10x时， /()0fx，此时 x单调递减，当 e1时， /()0f，此时()f单调递增 f的极小值为 1f-4 分（） ()x的极小值为 1，即 ()x在 ,0e上的最小值为 1， )(xf，min()1f5 分令 2ln)(xgh， xhln)(， 当 ex0时， 0， ()
19、在 ,e上单调递增 minma |)(|11)()( f在（1）的条件下， ()2fxg-8 分（）假设存在实数 a，使 afln（ ,0(ex）有最小值 3， /1()fxax1 当 0a时， )(f在 ,0e上单调递减， 31)()(minaefxf ， e4（舍去） ，所以，此时 x无最小值. 当 ea1时， )(f在 1,a上单调递减，在 ,1(ea上单调递增3ln)()(minfxf， 2e，满足条件. 当 ea1时， xf在 ,0(上单调递减， 31)()(minaefxf ， e4（舍去），所以，此时 )无最小值. 综上，存在实数 2ea，使得当 ,0(e时 ()f有最小值 3.
20、-13 分（2012 年房山二模理科）18已知函数 2()exafx，其中 为常数.（）若 1a，求曲线 ()yfx在点 0,处的切线方程;（II）求函数 ()fx的单调区间.2718解：（I）当 1a时， xexf2)(xeexf 22当 0时， f， 0f所以曲线 ()yfx在点 )(,处的切线方程 021xy，即 12 4 分（II） )(xf的定义域为 R，则 5 分aexeafx122 axe27 分（1）当 0时， 120， 02，则ax2或 xe10， 02a，则xa228故 ()fx的增区间为 ,2,a，减区间为 a2, 10 分（2 ）当 0时， axe10， 02a，则ax2ea120， 02x，则x或 a故 ()f的增区间为 2,，减区间为 , 13 分
