1、- 1 -第二章 随机变量及其分布 复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量，a，b 是常数.则 ba也是一个随机变量.一般地，若 是随机变量， )(xf是连续函数或单调函数，则 )(f也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3、
2、分布列：设离散型随机变量 可能取的值为： ,21ix 取每一个值 ),21(ix的概率 iipxP)(，则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.x iP 1p2p 有性质 ,0i； 121 i.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 5,0即 可以取 05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数.典型例题：1、随机变量 的分布列为 则(),12,3()cPkk， P(13)_2、袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取两个球都是白球的概率为 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一7球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用
3、表示取球的次数。 （1）求 的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5 封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求 X 的分布列。4、为 了 解 某 班 学 生 喜 爱 打 篮 球 是 否 与 性 别 有 关 ， 对 本 班 50 人 进 行 了 问 卷 调 查 得 到 了 如 下 的 列 联 表 ：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 5女生 10合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 3（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有 99.5的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜
4、爱打篮球的 10 位女生中， 12345,A， ， 还喜欢打羽毛球， 123B， ， 还喜欢打乒乓球， 12C， 还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查，求 1B和 C不全被选中的概率下面的临界值表供参考： 2()pKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828- 2 -(参考公式：22()(nadbcK，其中 nabcd)二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性（1）B|A 与 AB 的区别：_（2）P(B|A)的
5、计算公式_,注意分子分母事件的性质相同（3）P(AB)的计算公式_ 注意三点：前提，目标，一般情况_（4）P（A+B）的计算公式_注意三点：前提，目标，一般情况_典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占 70%，乙厂产品占 30%，甲厂产品的合格率是 95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克 52 张随即均分给赵钱孙李四家，A=赵家得到六章草花，B=孙家得到 3 张草花，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任取两张，将其中 1 张在验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率。4、有外形相同的球分装在三
6、个盒子，每个盒子 10 个，其中第一个盒子 7 球标有字母 A，3 个球标有字母B；第二个盒子中五个红球五个白球；第三个盒子八个红球，两个白球；在如下规则下：先在第一个盒子取一个球，若是 A 球，则在第二个盒子取球；如果第一次取出的是 B 球，则在第三个盒子中取球，如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。5、在图所示的电路中，5 只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是_6、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 次，甲射中的概率为 ，乙射中的概率为 ，求：10.80.9（1） 人都射中目标的概率； （2） 人中恰有 人射中目标的
7、概率；21（3） 人至少有 人射中目标的概率； （4） 人至多有 人射中目标的概率？1三、几种分布1. 独立重复试验与二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是： knqpCk)P(其中 pqn1,0 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B（np） ，其中 n，p 为参数，并记 nb;qpCkn.二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有- 3 -两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变
8、量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.2. 几何分布：“ k”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 kA，事 A 不发生记为 q)P(A,，那么 )AP(k)(k121 .根据相互独立事件的概率乘法分式： )(P)(k121 ,31p于是得到随机变量 的概率分布列.1 2 3 k P q qp 2 pq1我们称 服从几何分布，并记 q)g(,1k，其中 3,2.q3. 超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（MN）件次品，今抽取 )Nn(件
9、，则其中的次品数 是一离散型随机变量，分布列为 Mk,0k(C)P(nk .分子是从 M 件次品中取 k 件，从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定 m r时 Cr，则 k 的范围可以写为k=0，1，n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件（1na+b） ，则次品数 的分布列为 n.,01kCk)P(nba.超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数 服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 ba个产品编号，则抽取 n 次共有 nba)(个可能结果，等可
10、能： k)(含 kn个结果，故 ,012k,)ba(1)C)(k)P(knkn ，即 banB.我们先为 k 个次品选定位置，共 n种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， )P()(，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.典型例题：1、某气象站天气预报的准确率为 ，计算（结果保留两个有效数字）：80%（1）5 次预报中恰有 4 次准确的概率；（2）5 次预报中至少有 4 次准确的概率 奎 屯王 新 敞新 疆2、在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计
11、厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记 X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量 X的数学期望 E。3、A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中两只服用 A，两只服用 B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 2/3，服用 B 有效的概率为 1/2.（1）求一个试验组为甲类组的概率。（2）观察 3 个试验组，用 表示 3 个试验组中甲类组的个数，求 分布列- 4 -4. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为 p（04）=_6、某厂生产的零件直径 dN(4,0.25)，从该厂生产的 1000 个零件中随机抽取一件，测得它的直径为 5.7，试问该厂生产这批零件是否合格？
