1、高等数学强化教案1第一讲 极限综述：定义与性质，函数极限的计算，数列极限的计算，应用一、定义与性质1、极限的定义及其考法考法例：证明：若单调数列x n的某一子数列x n收敛于 A，则该数列x n必收敛于 A.2、性质及其考法局部有界性M .高等数学强化教案2局部保号性A.取最大值 B.取极大值 C. 为拐点二、函数极限的计算综述：（1）化简先行（变量替换，恒等变形等） ；（2）判别类型;（3）使用工具（洛必达公式，泰勒公式） ；（4 ）注意事项（学会总结）例：求下列极限.高等数学强化教案3三、数列极限的计算(1)通项已知且易于连续化，用归结原则.(2) 通项已知但不易于连续化，用夹逼准则（定积
2、分定义，级数求和等）.高等数学强化教案4(3) 通项由递推式给出的 ,用单调有界准则 .4、极限的应用1. 用于无穷小比阶.求 a,b,k .重要结论:2. 用于判别连续与间断.高等数学强化教案5第二讲 一元函数微积分学综述: 1.定义 2.计算(求导数,求积分) 3.应用(几何应用,物理应用, 经济应用) 4.逻辑推理(中值问题,不等式问题,零点问题)1、定义1、导数定义及其考法;考法: 1)具体型问题 (易); 2)半具体半抽象型问题( 中 ); 3)抽象问题(难) .在.高等数学强化教案62、微分定义 y= f (x)、 例：为0.1 ，3、不定积分.2)原函数存在定理:(c)关于振荡间
3、断点的原函数是否存在问题, 只需具体计算:高等数学强化教案74、定积分.1、例 1 ： 在、 1,2上:高等数学强化教案8A.连续的奇函数 B.连续的偶函数 C. x 0 为间断点的奇函数 D. x 0 为间断点的偶函数高等数学强化教案9(2)周期性(3)有界性5、定积分的精确定义：(1)(2)n 等分、取右端点(3)新颖高等数学强化教案106、变限积分7. 反常积分(2) 判别依据高等数学强化教案11二、计算.1、求导.2、求积分综述:凑微分法,换元法, 分部积分法, 有理函数积分法.高等数学强化教案12三、 应用.高等数学强化教案13几何应用1、导数 (极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性
4、、渐近线)(a) 极值点与单调性1）判别极值的“一阶” 充分条件2）判别极值的“高阶”充分条件(b) 拐点与凹凸性1）判别拐点的“二阶”充分条件2）判别拐点的“更高阶”充分条件高等数学强化教案14(c) 渐近线-求解程序1）找 y(x)的无定义点或定义区间的端点，计算 是否为无穷大，若是，则X=x0 为铅垂渐近线，反之亦反.则转向 3)Y=ax+b 为斜渐近线.（d）最值点比较其值.2、积分(测度 长度,面积，体积) 的应用轴旋转一周所得旋转体体积 V .高等数学强化教案15物理应用 .经济应用4、逻辑推理中值定理“ 不等式证明 方程根 1. 中值定理问题（研究对象的复杂化，区间的复杂化），证
5、明存在不同的2. 方程根问题至多 k+1 个根（罗尔， ， ）高等数学强化教案163.不等式本质：利用导数研究单调性的问题应用：1、物理应用(理工类同学) 静水压力抽水做功质点引力第三讲 多元函数微分学1、概念 2、计算微分法 3、应用极值与最值一、概念1、极限的存在性第一种定义：设二元函数 是 D 的聚点。如果存在常数 A，对于任意给定的正数 ，时，都有 成立，那么就称常数 A 以上是按集合论知识（以点集趋向方式）定义多元极限，通俗来说，只要（x,y)是有定义的，邻高等数学强化教案17域内的无定义点，所以第二种定义：若二元函数 f(x,y)在(x 0,y0)的去心邻域内有定义，且(x,y)以
6、任意方式趋向于(x 0,y0) 时， 【注】除洛必达法则、单调有界准则、穷举法可照搬一元函数求极限的方法。如等价无穷小替换无穷小乘以有界=无穷小夹逼准则高等数学强化教案18此外，关于累次极限，要与上边讲到的极限区分开来（变量的趋向是有先后顺序的）：2、连续性【注】：若上式不相等，则称 f (x, y )不连续（间断） ，但多元函数不讨论间断类型。3、偏导数的存在性定义：高等数学强化教案194、可微性 z= f（x，y） 判断可微性的步骤：例题：设连续函数 z f (x, y)满足5、偏导数的连续性设 z f (x, y) ，用定义求用公式求 ，若同时成立，函数在(x0,y0)处偏导数是连续的
7、.高等数学强化教案20逻辑关系： 二、计算（多元微分法）1、链式求导规则2、无论 z 对谁求导，也无论 z 已经求了几阶导，求导后的新函数任然具有与原函数完全相同的复合结构.3、注意书写规范例题 2 已知函数 f(u,v)具有二阶连续偏导数，3、应用极值与最值1、理论依据 z f (x, y )，函数取极值的必要条件【注】 1）适用于三元及以上 2）非充分条件极值点 1）在驻点中找2)在不可偏导点找 函数取极值的充分条件高等数学强化教案2122)1()(yxu 32xy0,yxF 0F【注】此方法不适用于三元及以上条件极值与拉格朗日乘数法问题提法：求目标函数 u 1）构造辅助函数为五个独立变量
8、。根据实际情况必存在最值，所得即所求。2、例题分析例题 1：设f ( x, y)在点(0,0)处取得极小值，求的取值范围。例题 2： 求在约束条 件下的最大值。【注】总的来说，解无定法，观察得之。观察的方法：变量的对称性法（如 x=y,x=-y) 特殊取值试探(如 =0）将中的 消去，得 x，y 的关系,带 入中。第四讲 二重积分综述：一、概念与性质二、计算结构（基础题和技术题）22kx高等数学强化教案221 )sinco(2Ddyxy基础题：直角系、极系技术题：换序、对称性、形心公式的逆用3、综合题一、概念与性质1、概念比较2、对称性 0d 、1）普通对称性 A.0 B. C. D. 其中，
9、D1 为在 D 第一象限的部分. 2）轮换对称性叫轮换对称性.高等数学强化教案232、计算1、基础题1）直角坐标系：2)极坐标 系：2、技术题3）换序4）对称性（见前边）5）形心公式的逆 用若 D 为规则图形，3、综合题分析高等数学强化教案24sec0r提示：点火公式：第五讲 微分方程综述：1、概念及其应用 2、一阶方程的求解 3、高阶方程的求解1、概念及其应用2、阶数方程中 y 的最高阶导数的阶数。 3、通解解中所含独立常数的个数 =方程阶数。二、一阶方程的求解1、变量可分离型高等数学强化教案25)(uf【注】ln*， *不知正负，积分出来一定要加绝对值号， y=1,y=-1 也是解 丢解但
10、不丢分在非线性系统中，通解不等于全部解。y=1,y=-1 是奇解。在线性系统中，通解一定是全部解。2、齐次型 通过变量替换，令，就化为变量可分离型了。3、一阶线性型已知【注】尚有两种类型的方程，貌似二阶，实可降阶。高等数学强化教案26三、高阶 方程的求解1、齐次的：为常数 y+ py+ qy=0 ,p q 为常数则首项系数为 1的该方程为_.2、非齐次的：非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的特解 y* 高等数学强化教案27第六讲 无穷级数综述：1、数项级数的判敛 2、幂级数的收敛域 3、展开与求和引言1、概念（本质）2、分类常数项级数：函数项级数：一、数项级数的判敛高等数学强化教案28例题 1：判别下列级数的敛散性例题 2：判别高等数学强化教案29高等数学强化教案30二、幂级数的收敛域1、幂级数2）目标：）目标：找到所有的收敛点的集合 收敛域2 阿贝尔定理3、求收敛域的程序（统一）三、展开与求和1、展开
