1、第二章 矩阵及其运算1教学目的和要求：(1) 使学生了解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算.(2) 掌握可逆矩阵的求法(3) 熟练掌握矩阵的初等变换与秩的求法2教学重点：(1) 矩阵的基本运算 .(2) 逆矩阵的求法(3) 矩阵的初等变换与初等矩阵3教学难点：分块矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵.4本章结构： 通过实例引出矩阵的概念，并介绍矩阵的基本运算，包括逆矩阵的有关性质及求法，重点介绍矩阵的初等变换，并提出初等矩阵的概念，以及两者之间的联系。最后介绍了矩阵的秩的定义及其求法。5教学内容：2.1 矩阵一、线性变换与矩阵在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外一些变量来线性表示。设变量 my,
2、21能用变量 nx,21 线性表示，即nmmmnxaxay 2122121（1）其中 ija为常数（ i,1 ； nj, ）。这种从变量 nx,21 到变量my,21的变换称为线性变换。线性变换（1）中的系数可以排成 行 列的数表： mnmnaa 212112而线性方程组 mnmnbxaxa 21 222 121的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。定义 1 由 nm个数 ij（ ,； j,1 ）排成 行 n列的数表mnmnaaA 212112（2）称为 m行 n列矩阵，简称 n矩阵。这 个数称为矩阵 A的元素， ija表示矩阵 A的第 i行第 j列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，
3、元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都是指实矩阵。（2）式也可简记为 nmijaA)(或 )(ijaA 或 nm二、几种特殊的矩阵（1）当 n时， 称为 阶方阵。（2）只有一行的矩阵 naa21称为行矩阵；只有一列的矩阵 mbB21称为列矩阵。（3）当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。（4）若 )(ijaA与 )(ijbB是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即ij（ i,21； nj,21）则称矩阵 与 相等，记作 A.（5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O. 注意不同型的零矩阵是不同的。（6）上三角矩阵：当 ji时， 0ija. mnnaA 0221
4、1（7）对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。 naaA 021（8）数量矩阵：主对角线上的元素都相等的对角矩阵。 0A（9）单位矩阵：主对角线上的元素都是 1 的数量矩阵。 10 nE给定了线性变换（1），它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩阵作为某个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。例 1 线性变换 nxy 21叫做恒等变换。它所对应的矩阵是 阶单位矩阵 10 nE即 )(ij例 2 线性变换 nxy 21所对应的 n阶方阵是 n阶对角阵。2.2 矩阵的基本运算同阶
5、矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵矩阵相等：设 nmijaA)(, nmijbB)(, 若ijijb)21;21 , 称 BA.1. 线性运算： nij)(, nij)(加法： mnmnmijij babaaBA 11数乘： mnmnij kk 1)(负矩阵： nijaA)(减法： mnmnmijij babbB 11(算律：设 C,为同阶矩阵 , lk为常数, 则有(1) A (5) A(2) )()(CBA (6) )()(Alkl(3) O (7) (4) (8) B例 1 设 53402, 43628满足 XBA, 求 解 1)(X2.矩阵乘法： 特殊情形 nnppP21, nqQ21q
6、Q2一般情形 smijaA)(, nsijbB)(isiiij aac21jjb21 sjijiji ba21msAB 11 sn mnc 11注 的列数 = 的行数的行数 = 的行数； AB的列数 = 的列数与 的先后次序不能改变例 2 013A, 012, 101362注 B无意 义例 3 , 1A, 0A注 B； O, , 但是 OBA算律：(1) )()(Clnsm(2) sAns(3) )()(kBABAknsm(4) E, Enm验证(1) 设 sija), sijb, lnijcC, 则 njjkikiij cbaCAB 111( tjtskicba1nttjsnttjisiij
7、 cba111)( sknttjkicba1tjntski1 ijCAB)(),(ji应用：mnmnaaA 212121, nx21, mb21, y21线性方程组的矩阵形式 A线性变换的矩阵形式 y3. 方阵的幂：nA, lk为正整数1, ),21(1k算律：(1) lkl(2) k)(例 4 102A, 求 ),32(kA解法 1 1010223223A可以验证： 10kk解法 2 CBA 01210CBkkkB1)(Ok012121kk 120kk例 5 求证 cosinicosini证 （采用数学归纳法）（1）当 n时 ，等式 显然成立。（2）假设当 k时等式成立，即 cosinikc
8、osini则当 1n时， 1cosiniksiicoksiincoisiskisconisincoincokkk s(1)s(1)ik即当 时等式也成立。综合（1）、（2）可知，等式对 nN都成立。4. 矩阵的转置： mnmnaaA 212112, mnnmaaA 212121T算律：(1) T)( (2) TT)(BAmn(3) k (4) Bs验证(4) smijaA)(, nsijbB)(nijcC, mnijdDA)(Tij左sijijsiijjji baba 111ij右 jijsijijsjiiij cabd 111故 ),2;,2(mncdij ，即 T)(AB对称矩阵：指 A满
9、足 T，即 ),2,njijij 反对称矩阵：指 n满足 A，即 1ji例 5 已知 是对称矩阵 ，B是反对称矩阵，即 T， T，求证：（1）2B是 对称矩阵 ；（2） 是反对称矩阵。证 （1）因为 2()()TTB，所以 2是对称矩阵。（2）因为()TTAA()ABA所以 是反对称矩阵。例 6 设列矩阵 12,nXx 满足 1X，且 2THEX（ 为n阶单位矩阵），证明 H是 对称矩阵，且 THE.证 (2)()TTE2T，故 是对称矩阵。又 24()T4()TTXX4TX5. 方阵的行列式：指 nijaA的元素按照原来的相对位置构成的行列式, 记作 det, 或者 A算律：(1) tdet
10、T (2) lndet)t(3) )t()(B (4) kk注 方 阵是数表, 而行列式是数值ABn, 而 )(dettA.6. 伴随矩阵： nija)(, 中元素 ija的代数余子式为 ijnnaa 212112， nnnA 212121*重要性质： EAA)det(*7. 共轭矩阵：复矩阵 mij的共轭矩阵记作 mija)(算律：(1) BA)( (2) Ak)(3) (4) HT记 作作业册：第二章 第 8 至 10 页2.3 可逆矩阵定义：对于 nA, 若有 nB满足 EA, 则称 为可逆矩阵, 且 为 的逆矩阵, 记作 1定理 1 若 为可逆矩阵, 则 的逆矩阵唯一证 设 与 C都是
11、 的逆矩阵, 则有E, CEBAB)(定理 2 nA为可逆矩阵 0det；为可逆矩阵*1证 必要性已知 1存在，则有0detet1AAE充分性已知 0det，则有)(t* Et*由定义知 为可逆矩阵，且*1de注 0detA时, 亦称 为非奇异矩阵；时, 亦称 为奇异矩阵推论 1 对于 n, 若有 nB满足 EA, 则 可逆, 且 BA1证 EB0det1et可逆B )()1推论 2 对于 nA, 若有 n满足 , 则 可逆, 且 1算律：(1) 可逆 1可逆, 且 A1)(对于 , 取 B, 有 E(2) A可逆 , 0k可逆, 且11)(k对于 , 取1, 有 EAB1)(3) n与 B都
12、可逆 A可逆, 且 1)对于 , 取 1C, 有EA1()()( (4) A可逆 T可逆, 且 T1T)()(A对于 , 取 1B, 有 EABT11)(5) 可逆 dett(6) n与 都可逆 *)(证 )det()( 11* AAetBet*AB负幂： 可逆, 定义 E0, ,2)1kk , 则有lklk, ll)( ( ,l为整数)例 1 求方阵1230A的逆矩阵。解 因为 12|3050132590所以 1A存在。下面依次计算12 214A 316 23 3 5于是得到 *416325A所以 1*419|325A例 2 已知矩阵 101B， 13402C且满足 1()TAECE，求矩
13、阵 A.解 由已知可得 ()T，于是1()TACB10022314例 3 已知 234， 2153， 3201C求矩阵 X，使得 AB.解 若 1、 都存在， 则用 1A左乘上式、 B右乘上式，得到111AC，即 1X.经计算知， |20，|，所以 、 都可逆。且164352A， 1352B故 1643502231XCB 104例 4 设 A、 均为 n阶方阵，已知 |B， AE可逆，且()()TAE求证 可逆。证 由于 E可逆，于是有 1()()T()TBTTB即 ()TAE上式两边取行列式可得 |B又由于 AE可逆，于是 0，且已知 0，从而可得 |0A，故 可逆。例 5 设方阵 满足 2
14、AE，证明 和 2E都可逆，并求 1和1(2).解 由已知可得 2，从而有1()，于是可知 A可逆，且1()AE.又由已知推得 2A，从而 2|0AEA，于是 2E可逆，且1(2)AE212()A2()4E1(3)A例 6 设 为 n阶方阵，且 0m， 为正整数，求证 可逆，并求 1.解 由于 121()m mmCCE121mm 移项得 121AA即 3( )mmmCCE故 A可逆，且 1121例 7 设 为 3 阶方阵， |3A，则1*(4)3A_.解 由于11(4)，*1|，于是4131()|4A3()|A3()86例 8 设 A、B均为 n阶方阵，且满足 TE， TB，|0B，证明 为奇
15、异矩阵。证 要证 为奇异矩阵，即证 0，而()TTTA()TTEBABB()于是得到 ()0A而由 0AB可得 ，再由 TE可得 1A，于是上式变为()220BB解得 ，故 为奇异矩阵。例 9 设 n阶方阵 A的伴随矩阵为 *，证明：（1）若 0，则*； （2）1nA证 由公式 E两边取行列式得，*nA（1）若 ，分两种情况讨论：若 0A，则 *，从而有*0.若 ，则同样有*A. 否则，若*，则 *可逆，于是有*1()AE*1()A*1()EA0这与 0矛盾，故 0.（2）也分两种情况讨论：若 ，由 *n即得 1*nA若 0A，由（ 1）可知同样有 .例 10 设 3()ija， ij为行列式
16、 中元素 ija的代数余子式，且 ijijaA，又 1a，求 .解 由于 ijij，于是可知 1231*3A12313TaA从而有 *T再由例 9 可知，312*A，故2A，即 (1)0A，解得 0A或 . 而由行列式展开定理可得 2211213113aaa故 1.作业册：第二章 第 11 至 14 页2.4 分块矩阵30121A21A30214321B用若干条横线与纵线将矩阵 A划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵为 A的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；同列上的子矩阵有相同的“列数”1. 加法： srsrnmAA 11, srsrnmBB 11
17、srss rrB 11要求： A与 同阶, 且分块方式相同2. 数乘： srsrnmkAk 13. 乘法： ststlA 1, trtrnl BB 11tjijitjjitiij AC 111srsrCAB 11要求： 的列划分方式与 的行划分方式相同例 1 102EAO210214B21B21212ABEA13404. 转置： srsrnm 1, TT1srrsA 特点：“大 转”+“ 小转”5. 准对角矩阵：设 1A, 2, s 都是方阵, 记ss A 2121),(diag性质：(1) )det()(tet21sA(2) A可逆 ,i可逆(3) ),21(si可逆 1121 sA例 2
18、2035AOA 3015121例 3 设 mA与 nB都可逆, mnC, BOM, 求 1解 M)det(det 可逆4321X, nmEXA4321nmEBCOA423114321BCAO111M2.5 矩阵的初等变换1. 初等变换 行变换 列变换 对调 jir jic 数乘 )0(k k k 倍加 ji jinmA经过初等变换得到 nmB, 记作 nmnBA 2. 等价矩阵：若 n有 限 次, 称 与 等价, 记作 nmBA(1) 自反性： A(2) 对称性： nmBAnmA(3) 传递性： , Cnm定理 1 nm Brak证 只需证明 nm次1设 rak, 仅证行变换之(3)的情形：B
19、kAjjirkjij (1) 若 ,minr, 则有)(1BD不含 i： 0)(1)(ArBrDr含 , 不含 j： 0)(1)(Arrk)(1含 i, 且含 j： )(1)(1r倍 加故 中所有的 阶子式 Br rankABjirkank, 于是可得 B(2) 若 m或者 , 构造矩阵)1(1nmO, )1(nmO由(1)可得 1BAjirk 1rakBAa1其余情形类似例 2 41328A, 求 )(Ar解 609行 04613行, 故 2)(Ar行最简形： 0321行AB031行标准形：HA01行 与 列定理 2 若 )(rankrm, 则 0*022111 rriiii bbA行 B：
20、行阶梯形21riii0*100 行AH：行最简形定理 3 若 )0(rankrAm, 则OEAr, 称为 A的等价标准形推论 1 若 满秩, 则 n推论 2 nBBak2.6 矩阵的秩1. 子式：在 m中, 选取 行与 列, 位于交叉处的 2k个数按照原来的相对位置构成 阶行列式, 称为 A的一个 阶子式, 记作 kD对于给定的 k, 不同的 阶子式总共有 nmC个2. 矩阵的秩：在 nmA中，若(1) 有某个 r阶子式 0rD；(2) 所有的 1阶子式 1（如果有 1r阶子式的话）称 的秩为 , 记作 ak, 或者 A)(规定： 0rankO性质：(1) inam(2) 0k时 Ar)(r(3) T(4) 中的一个 0rDrak(5) 中所有的 1n例 1 413228A, 求 )(Ar解 位于 1,2 行与 1,2 列处的一个 2 阶子式03122D计算知, 所有的 3 阶子式 03, 故 )(r注 nmA, 若 rak, 称 为行满秩矩阵；若 , 称 A为列满秩矩阵, 若 , 称 为满秩矩阵（可逆矩 阵, 非奇异矩阵）；若 , 称 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）作业册：第二章 第 15 至 19 页
