线性代数教案 第二章 矩阵及其运算.doc

1、教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 21 页 授课章节 第二章 矩阵及其运算 1 矩阵 2 矩阵的运算目的要求 理解矩阵的概念重点难点 矩阵的乘法及伴随矩阵复习3 分钟1 矩阵定义 1 由 mn 个数 aij（i = 1, 2, , m ，j = 1, 2, , n ） ，排成 m 行 n 列的数表：12212nmma 称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵。为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。记做或 ，121212nmmnaa A121212nmmna A也可简记 。切记不允许使用 。ijna 1212nmmaa 矩阵的横向

2、称行，纵向称列。矩阵中的每个数 aij 称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。本课中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。几种特殊得矩阵：（）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量，（）只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。（）所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做 。（）当 时，矩阵 称为方阵。即ijmnaA，这里 的位置称为矩阵的主对角线。注意：121212nnnaa A12,na不是方阵没有主对角线。在方阵中，教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 22 页 上三角矩阵： （主对角线以下均为零） ；12120nnaa A下三角矩阵：

3、（主对角线以上均为零） ；1210nnaa 对角矩阵： （既是上三角又是下三角） ，记作 20naa A.12,ndiag单位矩阵：对角元素为 1 的对角矩阵，记作 或 （ 阶） ，即n。01 E当 时，即 ，此时矩阵退化为一个数 。1nm1aA1a矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。例如 含有 n 个未知数 ，m 个方程的线性方程组nx,21 121212nmmnaaxbx 把 和 按原顺序可以组成一个 矩阵：ijaib)(121212nmmnaab 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次

4、 第 23 页 例 1 已知某方程组对应于下列矩阵 。那么该方程组就是：2130。1230x同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。矩阵相等 若同型矩阵 和 在对应位置上的元素都相等，即 ijmnaAijmnbB则称矩阵 A 与 B 相等，记做 A = B 。,1;,jibaijij 注意，不同型的矩阵是不能比较相等的。同型矩阵也不能比较大小。42 分钟2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义 2 设 和 是 的矩阵， A 与 B 的加法（或称和） ，ijaAijbBnm记作 A + B ，定义为一个 的矩阵：n。11212 212 nij mmnmaabcb C例 2 设 , ，计算

5、 。205A40BBA负矩阵 设 ，称矩阵 为矩阵 A 的负矩阵。矩阵的减法：ijmnaija11212 212() nmmnmbbaa AB二、数与矩阵相乘定义 3 （矩阵数乘） 数 与矩阵 的乘积（称之为数乘） ，记作 或nijAA教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 24 页 ，定义为一个 的矩阵 Anm。121212()() nijnijmnmmnaaa 以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：（1） 交换律 AB（2） 结合律 )()(C（3） OA（4） （5） 数对矩阵的分配律 BA)(（6） 矩阵对数的分配律 （7） 结合律 (例 3 设 ，

6、且 求矩阵 X 。125743A541922,解：由 得 。2XB3-1(-)=2A三、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换：，其系数矩阵 ；11232yaxx 1213aA，其系数矩阵 112233btx123bB从而可得从 到 的线性变换： 21,t2,y，其系数矩阵，记113112121322122yababtabt做 C 则。1121312121322ababab 教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 25 页 显然，矩阵 C 是由矩阵 A、B 产生的，把这种运算称为矩阵与矩阵的乘积。定义 4 （矩阵乘法） 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，ijasmijbBnsA

7、 与 B 的乘法，记作 AB，定义为一个 的矩阵 ，其中nijmcCAskjijisjijiij babac121.),;,( njmi 由定义，不难看出（强调）：（1） 只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时，才能定义乘法 AB；（2） 矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数，列数则是 B 的列数；（3） 矩阵 C=AB 在 位置上的元素等于 A 的第 行元素与 B 的第 列对),(ji ij应元素的乘积之和。例 4 设矩阵 ， ，求 AB 和 BA1032A41032B(BA 无意义 )。例 5 设矩阵 , 求 AB 和 BA 。4,121例 6 设 A 是 的矩阵（行向量） ，

8、 是 的矩阵（列向量） ，即 nB1n， ， 求 AB 和 BA 。12naaA12nbB上述几个例子显示，当 AB 有意义时，BA 不一定有意义（例 4） ；即使 AB 和 BA都有意义（例 5、6） ，但不一定有相同的阶数（例 6） ，即便有相同的阶数，也不一定相等（例 5） 。例 5 还说明，如果 AB = O，不是一定有 A = O 或 B = O。一般情况而言矩阵乘法不满足交换律。特殊的，若两个矩阵 A 和 B 满足 ，则称矩阵 A 和 B 是可交换的。例 7 设 是一般矩阵， 和 分别是 m 和 n 阶单位阵，则 和mnmEn mnE 。如果 A 是方阵时，有nAEAE = EA

9、= A ，E 相当于数 1 的作用。这就是称 E 为单位阵的原因。矩阵乘法满足以下运算律：教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 26 页 （1） 结合律 。)()(BCA（2） 数乘结合律 。)(（3） 分配律 ； 。CAB矩阵的幂 设 是 阶矩阵，定义：n,)(, 121 kkA其中， 是正整数；特别规定 . 由于乘法成立分配律结合律，有k0E， ，lklkkllk)(但由于不成立交换律，故一般 。B)(例 8 设矩阵 、 是上（下）三角矩阵，则 亦是上（下）三角矩阵；且 ABAAB的对角元素等于 、 对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。例 9 用矩阵表

10、示线性方程组 。121212nmmnaxaxb 解：令 ，称 A 为系数矩阵；12212nmmnaa A，称 b 为常数项矩阵； ，称 X 为未知数矩阵；则原方程组可表示12mb12nx为 AX = b 。四、矩阵的转置定义 5 (转置矩阵) 设 ， 是将 A 的行和列对应互换得到121212nmmnaa A121212mnmna 的 矩阵，称它为 A 的转置矩阵， 记作 。nT如 ，则 。4032T40312矩阵的转置满足下列运算法则：教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 27 页 （1） ；AT)(（2） ；TB（3） 是数；,)(（4） .)(T例 10 设 ，

11、 ，求 。2013A714230()TAB解：解法 1 ，143270B所以 。07()431TA解法 2 。42107()7034TB定义 6 (对称矩阵) 设 是 阶矩阵。如果 ，则称 A 为对称阵。ijnaA=T显然，其元素满足： ； ,ij如果 ，则称 A 为反对称阵。显然，其元素满足： 。T ,ijjiaj例如 是一个对称矩阵，而 是一个反对称矩阵。显然，对1001B=角矩阵一定是对称矩阵。五、方阵的行列式定义 7 (方阵的行列式) 由 n 阶方阵 的元素，不改变它的位置构成一个 nnijaA阶行列式，称此行列式为矩阵 A 所对应的行列式，记做 | A | 或 det ( ，即 )。

12、nnnaa 212112|A注意：矩阵的行列式与矩阵是两个不同的概念，前者是一个数，后者是一个数表。矩阵的行列式满足以下运算律，设 A、B 都是方阵，则 （1） （由行列式性质） 。|AT教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 28 页 （2） ，n 是矩阵 A 的阶。|A（3） 。B定义 8 ( 伴随矩阵 ) 设 是 n 阶方阵，由行列式 | | 中的每个元素 aij 的代ijaA数余子式 所构成的矩阵ij，1212*12nnn A称之为矩阵 的伴随矩阵。A注意，伴随矩阵 在位置 上的元素是矩阵 在位置 上的代数余子式。*),(jiA),(ij例如， 的伴随矩阵是 。

13、43211324*定理 1 设 A 是 n 阶方阵，A* 是 A 的伴随矩阵，则 E|*证明 记 ，由矩阵的乘法，展开定理 1.3 及推论 1.3，得*Bijaabjnijijiij ,0|21 。EA|*例 11 求矩阵 的伴随矩阵。341242 分钟内容小结:矩阵运算思考题:任何矩阵都有伴随矩阵吗 ?作业题:P53 3, 4(4), 5 备注:3 分钟教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 29 页 授课章节 3 逆矩阵目的要求 掌握逆矩阵的算法重点难点 求逆阵复习3 分钟3 逆矩阵知识点：逆矩阵的定义，逆矩阵存在的充分必要条件。定义 9（逆矩阵） 设 是 阶矩阵，

14、若存在矩阵 ，使得AnB，=AE则称矩阵 是矩阵 的逆矩阵；并称 是可逆矩阵（或称矩阵 是可逆的） 。B A例如 ，则 是 A 的逆矩阵。 20311230B由逆矩阵的定义可知，逆矩阵是互称的，就是如果 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是B 的逆矩阵。关于逆矩阵有两个问题：A 满足什么条件，它存在逆矩阵；如果 A 存在逆矩阵，那么它有几个逆矩阵。首先回答后一个问题，下面的定理给出前一个问题的解答。如果 A 可逆，则它的逆矩阵是唯一的。这是因为，如果 B，C 均是 A 的逆矩阵，即 和 ，则 。=EC=A=E()=E=这说明，A 的逆矩阵 B 由 A 唯一确定，这时可记 B = A-1 。定理

15、矩阵 是可逆的充分必要条件是它的行列式 ；0|且在 时， 。0|*1|证明 必要性，设 A 可逆，则存在 A-1 满足 ，取行列式E1，故 。|11EA0|充分性，设 ，由伴随矩阵得 ，从而，当| |*时，有 ，即 A 可逆，且0|EA)|1()|(*。A|1此定理给出矩阵可逆的充要条件，同时还给出逆矩阵的求法伴随矩阵法。有时称可逆矩阵为非奇矩阵；称不可逆矩阵（即 时）为奇异矩阵。0|A教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 210 页 42 分钟例 12 判断矩阵 是否可逆，如果可逆求它的逆矩阵。3412A例 13 设 、 、 ，求矩阵 X ，使其满足5B1302CA

16、XB = C 。例 14 利用逆矩阵求方程组 03421xx方阵的逆矩阵有下面的性质，（1） 若 A 可逆，则 A-1 亦可逆，并且 。1()A（2） 若 A 可逆， ，则 亦可逆，并且 。011()A（3） 若 A、B 可逆，则 AB 亦可逆，且 。1B（4） 若 A 可逆，则 亦非奇，且 。T()TT（5） 若 A 可逆，则 。1|A（因为 ）|11I（6） 设 A 是方阵，如果存在方阵 B，使得 AB = E（或 BA = E） ，则 B = A-1 。42 分钟内容小结:逆阵思考题:若 AB = E,则矩阵 A、 B 一定是可逆的，这种说法对吗？作业题:P53 11(1)(3)(4),

17、 12(1),13(1)备注:3 分钟教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 211 页 授课章节 4 矩阵分块法（简介）目的要求 分块矩阵运算重点难点 分块矩阵运算复习3 分钟4 矩阵分块法知识点：分块的目的，一些特殊结构矩阵的分块运算。把一个矩阵看成是由一些小矩阵组成的，有时会对一些具有特殊结构的矩阵的运算带来方便，如乘法和求逆等。而在具体运算时，则把这些小矩阵看作数一样（按运算规则）进行运算。这种把一个矩阵划分成一些小矩阵，就是所谓的矩阵分块。 矩阵分块是将矩阵用任意的横线和丛线切开，例如，下面给出它的三种分法，1213423aaA（i） ；令 ， ，121342

18、3aa12aA1342a， 。则 。212A3412（ii） ；令 ， ，1122343aa12aA123a， ， ， 。1432aA1323234教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 212 页 则 。1213A（iii ） 。令 ， ，1213423aa123aA123， ，则 。132aA14231234当然矩阵分块的目的是为了简化矩阵的表示或运算，矩阵分块后的运算法则与普通矩阵运算基本相同，如设 ， ，srsrAA 212112 srsrBB 212112当各个对应的子块是同型矩阵。则； srss rBAABA 21 22 1121。 srss rsrsr 2

19、1211221212设 ， ，则mrmrAA 2121 rsrsBB 21211， 。msmsCB 2121 rjijijiij A21一般地说，将矩阵分块后再运算并不减少计算量，只有特殊的矩阵，利用分块材能减教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 213 页 少计算量，比较典型是分块对角矩阵，如：， ，则mAA 021 sBB 021， 。mBAB 021 11210mAA 例 15 利用逆矩分块法计算 的逆矩阵。1203542 分钟习题课42 分钟内容小结:分块矩阵思考题:分块矩阵运算与矩阵运算的区别与联系作业题:P53 22,29(1) 备注:3 分钟教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 214 页