1、3.5 线性系统的稳定性分析,3.5 线性系统的稳定性分析,3.5.1 稳定性的概念,稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。,定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。,3.5.2 稳定的充要条件,系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部， 或所有闭环特征根均位于左半s平面。,根据系统稳定的定义，若 ,则系统是稳定的。,必要性：,充分性：,脉冲响应,3.5 线性系统的稳定性分析（3）,3.5.3 稳定判据,(1)
2、必要条件,说明：,例1,不稳定,不稳定,可能稳定,3.5 线性系统的稳定性分析（4）,(2) 劳斯（Routh）判据,劳斯表,劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数,3.5 线性系统的稳定性分析（5）,10,10,例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0,某行第一列元素为0,0,例3：D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半平面的极点数。,(3) 劳斯判据特殊情况处理,某行第一列元素为0，而该行元素不全为0时: 将此0改为e ， 继续运算。,D(s) = (sj5) (s+1) (s+1j2) =0,出现全零行时：
3、 用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次， 用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。,出现全零行时,s5 s4 s3 s2 s1 s0,5,25,0,0,10,25,0,列辅助方程：,例4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0,出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号 相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。,3.5 线性系统的稳定性分析（8）,s5 s4 s3 s2 s1 s0,0,-2,16 /e,0,8,-2,0,列辅助方程：,例5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0,e,第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定,=(s+2)(s
4、+1)(s-1)(s+j5)(s-j5),劳斯判据的应用,例6 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。,解 依题意有,系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系,例 系统结构图如右，(1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围;(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。,解.,(1),(2)当 x=2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。,当 x=2 时，进行平移变换：,问题讨论：,(1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。,(2) 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。,闭环零点影响系数Ci ，只会改变动态性能。,闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。,(3) 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。,课程小结,3.5.1 稳定性的概念,3.5.2 稳定的充要条件,3.5.3 稳定判据,（1）判定稳定的必要条件,（2）劳斯判据 （3）劳斯判据特殊情况的处理 （4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）,系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部 或所有闭环特征根均位于左半s平面,
