（新课标）2017版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数题组 文（打包7套）.zip

- 1 -题组层级快练(十七)1．tan 的值为( )8π3A. B．－33 33C. D．－3 3答案 D解析 tan ＝tan(2π＋ )＝tan ＝－ .8π3 2π3 2π3 32．(2014·新课标全国Ⅰ文)若 tanα0，则( )A．sin2α0 B．cosα0C．sinα0 D．cos2α0答案 A解析 ∵tanα0，∴角 α 终边落在第一或第三象限，故 B，C 错；sin2α＝2sinαcosα0，A 正确；同理 D 错，故选 A.3．已知 sinα＝ ，cosα＝ ，则角 2α 的终边所在的象限是( )45 35A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 B解析 由 sinα＝ ，cosα＝ ，知45 352kπ＋ 0，又 cosα＝ ＝－ ，所以 m＝ .－ 8m（ － 8m） 2＋ 9 45 126．已知圆 O：x 2＋y 2＝4 与 y 轴正半轴的交点为 M，点 M 沿圆 O 顺时针运动 弧长到达点 N，π 2以 ON 为终边的角记为 α，则 tanα＝( )A．－1 B．1C．－2 D．2答案 B解析 圆的半径为 2， 的弧长对应的圆心角为 ，故以 ON 为终边的角为π 2 π 4{α|α＝2kπ＋ ，k∈Z}，故 tanα＝1.π 47．集合{α|kπ＋ ≤α≤kπ＋ ，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )π 4 π 2答案 C解析 当 k＝2n 时，2nπ＋ ≤α≤2nπ＋ (n∈Z)，此时 α 的终边和 ≤α≤ 的终边π 4 π 2 π 4 π 2一样．当 k＝2n＋1 时，2nπ＋π＋ ≤α≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时 α 的终边和π 4 π 2π＋ ≤α≤π＋ 的终边一样．π 4 π 2- 3 -8．(2016·沧州七校联考)已知角 x 的终边上一点坐标为(sin ，cos )，则角 x 的最小5π6 5π6正值为( )A. B.5π6 5π3C. D.11π6 2π3答案 B解析 因为 sinx＝cos ＝－ ，cosx＝sin ＝ ，所以 x＝－ ＋2kπ(k∈Z)，当 k＝15π6 32 5π6 12 π 3时，x＝ ，即角 x 的最小正值为 ，故选 B.5π3 5π39．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A. B.π 3 2π3C. D.3 2答案 C解析 设圆的半径为 R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为 R，∴圆弧长为 R.∴该3 3圆弧所对圆心角的弧度数为 ＝ .3RR 310．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P(－ ，y)，则 sinα·tanα＝( )12A．－ B．±33 33C．－ D．±32 32答案 C11．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则cos2θ＝( )A．－ B．－45 35C. D.35 45答案 B解析 由角 θ 的终边在直线 y＝2x 上可得 tanθ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝＝ ＝－ .cos2θ － sin2θcos2θ ＋ sin2θ 1－ tan2θ1＋ tan2θ 3512．sin 2·cos 3·tan 4 的值( )- 4 -A．小于 0 B．大于 0C．等于 0 D．不存在答案 A解析 ∵ 0，cos30.∴sin2·cos3·tan40，cosα0；对于②，因为π＝2π＋ π，则 π 是第三象限角，所以 tan π0，sin π0，故 0；对于④，∵－3712 sin4tan4－1－ ，∴sin(－1)0，综上，②③④为负数．π 2 π 44．如图所示，角 α 终边上一点 P 的坐标是(3，4)，将 OP 绕原点旋转 45°到 OP′的位置，试求点 P′的坐标．答案 P′(－ ， )22 722解析 设 P′(x，y)，sinα＝ ，cosα＝ ，45 35∴sin(α＋45°)＝ ，cos(α＋45°)＝－ .7210 210∴x＝5cos(α＋45°)＝－ ，y＝5sin(α＋45°)＝ .22 722∴P′(－ ， )．22 722- 1 -题组层级快练(十八)1．下列各数中与 sin2 016°的值最接近的是( )A. B.12 32C．－ D．－12 32答案 C解析 2 016°＝5×360°＋180°＋36°，∴sin2 016°＝－sin36°和－sin30°接近，选 C.2．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1 的值为( )A．1 B．2sin 2αC．0 D．2答案 D3．tan(5π＋α)＝m，则 的值为( )sin（ α － 3π ） ＋ cos（ π － α ）sin（ － α ） － cos（ π ＋ a）A. B.m＋ 1m－ 1 m－ 1m＋ 1C．－1 D．1答案 A解析 由 tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m原式＝ ＝ ＝－ sinα － cosα－ sinα ＋ cosα sinα ＋ cosαsinα － cosα m＋ 1m－ 1∴选 A.4. 化简的结果是( )1＋ 2sin（ π － 3） cos（ π ＋ 3）A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，∴ ＝ ＝|sin3－cos3|.1－ 2sin3·cos3 （ sin3－ cos3） 2∵ 0，cos30，∴cosA－sinA0，∴sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝－ .π 2 75∴sinα·cosα＝－ ，sinα－cosα＝－ .1225 75- 1 -题组层级快练(十九)1．(2015·新课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )A．－ B.32 32C．－ D.12 12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝ .122．(2014·重庆文) ＝( )sin47°－ sin17°cos30°cos17°A．－ B．－32 12C. D.12 32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝ ＝sin30°＝ .sin30°cos17°cos17° 123．(2016·武汉调研)已知 tan95°＝k，则 tan35°＝( )A. B.3－ k1＋ 3 k－ 31＋ 3kC. D.k＋ 31－ 3 k＋ 31＋ 3答案 B解析 ∵tan95°＝tan(60°＋35°)＝ ，∴tan35°＝ .3＋ tan35°1－ 3tan35° k－ 31＋ 3k4．已知 sinα＝ ，cosβ＝ ，且 α 是第二象限角，β 是第四象限角，那么 sin(α－β)1213 45等于( )A. B.3365 6365C．－ D．－1665 5665答案 A- 2 -解析 因为 α 是第二象限角，且 sinα＝ ，1213所以 cosα＝－ ＝－ .1－ 144169 513又因为 β 是第四象限角，cosβ＝ ，45所以 sinβ＝－ ＝－ .1－ 1625 35sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ × －(－ )×(－ )＝ ＝ .1213 45 513 35 48－ 1565 33655．在△ABC 中，tanA＋tanB＋ ＝ tanAtanB，则 C 等于( )3 3A. B.π 3 2π3C. D.π 6 π 4答案 A解析 由已知得 tanA＋tanB＝－ (1－tanAtanB)，3∴ ＝－ ，即 tan(A＋B)＝－ .tanA＋ tanB1－ tanAtanB 3 3又 tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝ ，0ca.62 27．在△ABC 中，C＝120°，tanA＋tanB＝ ，则 cosAcosB＝( )233A. B.14 34C. D．－12 14答案 B- 3 -解析 tanA＋tanB＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝sinAcosA sinBcosB sinAcosB＋ cosAsinBcosAcosB sin（ A＋ B）cosAcosB sin60°cosAcosB＝ ，∴cosAcosB＝ .32cosAcosB 233 348．已知 cos(α－ )＋sinα＝ ，则 sin(α＋ )的值为( )π 6 435 7π6A. B.12 32C．－ D．－45 12答案 C解析 ∵cos(α－ )＋sinα＝ cosα＋ sinα＝ ，π 6 32 32 435∴ cosα＋ sinα＝ .12 32 45∴sin(α＋ )＝－sin(α＋ )7π6 π 6＝－( sinα＋ cosα)＝－ .32 12 459．(2016·太原模拟)设 α，β 均为锐角，且 cos(α＋β)＝sin(α－β)，则 tanα 的值为( )A．2 B. 3C．1 D.22答案 C解析 由 cos(α＋β)＝sin(α－β)得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即 cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为 β 为锐角，所以 cosβ＋sinβ≠0，所以 cosα＝sinα，所以 tanα＝1.10．(2016·成都一诊)若 sin2α＝ ，sin(β－α)＝ ，且 α∈[ ，π]，β∈[π，55 1010 π 4]，则 α＋β 的值是( )3π2A. B.7π4 9π4C. 或 D. 或5π4 7π4 5π4 9π4- 4 -答案 A解析 因为 α∈[ ，π]，故 2α∈[ ，2π]，又 sin2α＝ ，故 2α∈[ ，π]，α∈[π 4 π 2 55 π 2， ]，∴cos2α＝－ ，β∈[π， ]，故 β－α∈[ ， ]，于是 cos(β－α)π 4 π 2 255 3π2 π 2 5π4＝－ ，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)31010－sin2αsin(β－α)＝－ ×(－ )－ × ＝ ，且 α＋β∈[ ，2π]，故255 31010 55 1010 22 5π4α＋β＝ .7π411．(2015·重庆理)若 tanα＝2tan ，则 ＝( )π 5cos（ α － 3π10）sin（ α － π 5）A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析 ＝ ＝ ＝ ＝cos（ α － 3π10）sin（ α － π 5）sin（ α － 3π10＋ π 2）sin（ α － π 5）sin（ α ＋ π 5）sin（ α － π 5）sinα cosπ 5＋ cosα sinπ 5sinα cosπ 5－ cosα sinπ 5＝ ＝ ＝3，故选 C.sinαcosα cosπ 5＋ sinπ 5sinαcosα cosπ 5－ sinπ 52·sinπ 5cosπ 5cosπ 5＋ sinπ 52·sinπ 5cosπ 5cosπ 5－ sinπ 5 3sinπ 5sinπ 512．(2013·新课标全国Ⅱ理)设 θ 为第二象限角，若 tan(θ＋ )＝ ，则π 4 12sinθ＋cosθ＝________．答案 －105解析 由 tan(θ＋ )＝ ＝ ，得 tanθ＝－ ，即 sinθ＝－ cosθ.π 4 1＋ tanθ1－ tanθ 12 13 13将其代入 sin2θ＋cos 2θ＝1，得 cos2θ＝1.109- 5 -因为 θ 为第二象限角，所以 cosθ＝－ ，sinθ＝ .所以 sinθ＋cosθ＝－ .31010 1010 10513．化简： ＋ ＝________.sin（ 3α － π ）sinα cos（ 3α － π ）cosα答案 －4cos2α解析 原式＝ ＋－ sin3αsinα － cos3αcosα＝－ ＝－sin3α cosα ＋ cos3α sinαsinα cosα sin4αsinα cosα＝－ ＝－4cos2α.4sinα cosα ·cos2αsinα cosα14．求值：(1) － ＝________；1sin10° 3sin80°(2) ＝________．3－ sin70°2－ cos210°答案 (1)4 (2)2解析 (1)原式＝cos10°－ 3sin10°sin10°cos10°＝2（ 12cos10°－ 32sin10°）sin10°cos10°＝4（ sin30°cos10°－ cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝ ＝4.4sin（ 30°－ 10°）sin20°(2) ＝ ＝3－ sin70°2－ cos210°3－ cos20°2－ cos210°3－ （ 2cos210°－ 1）2－ cos210°＝ ＝2.4－ 2cos210°2－ cos210°15．(2015·东北三校模拟)若 cos(α＋ )－sinα＝ ，则 sin(α＋ )＝________．π 6 335 5π6答案 35解析 ∵cos(α＋ )－sinα＝ ，π 6 335∴ cosα－ sinα－sinα＝ .32 12 335即 cosα－ sinα＝ ，得 cosα－ sinα＝ .32 32 335 3 65- 6 -∴sin(α＋ )＝sinαcos ＋cosαsin ＝－ sinα＋ cosα＝ (cosα－ sinα)＝5π6 5π6 5π6 32 12 12 3× ＝ .12 65 3516．已知 cos(α＋β)cos(α－β)＝ ，则 cos2α－sin 2β＝________．13答案 13解析 ∵(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝ ，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝ .13 13∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝ .13∴cos 2α－sin 2β＝ .1317．(2015·广东文)已知 tanα＝2.(1)求 tan(α＋ )的值；π 4(2)求 的值．sin2αsin2α ＋ sinα cosα － cos2α － 1答案 (1)－3 (2) 1解析 (1)tan(α＋ )＝ ＝ ＝－3.π 4tanα ＋ tanπ 41－ tanα tanπ 4 2＋ 11－ 2×1(2)sin2αsin2α ＋ sinα cosα － cos2α － 1＝2sinα cosαsin2α ＋ sinα cosα － （ 2cos2α － 1） － 1＝2sinα cosαsin2α ＋ sinα cosα － 2cos2α＝2tanαtan2α ＋ tanα － 2＝ ＝1.2×222＋ 2－ 218．已知 α，β∈(0， )，且 sinα＝ ，tan(α－β)＝－ .π 2 35 13(1)求 sin(α－β)的值．(2)求 cosβ 的值．- 7 -答案 (1)－ (2)1010 91050解析 (1)∵α，β∈(0， )，π 2从而－ 0，sin(α－β)0.π 2∴α－β∈(0， )，得 α－β＋α＝ ，即 2α－β＝ ，故选 C.π 2 π 2 π 24.如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE＝1，连接 EC，ED，则sin∠CED＝( )A. B.31010 1010C. D.510 515答案 B- 9 -解析 因为四边形 ABCD 是正方形，且 AE＝AD＝1，所以∠AED＝ .π 4在 Rt△EBC 中，EB＝2，BC＝1，所以 sin∠BEC＝ ，cos∠BEC＝ .55 255sin∠CED＝sin( －∠BEC)π 4＝ cos∠BEC－ sin∠BEC＝ ( － )＝ .22 22 22 255 55 10105．已知 f(x)＝sinx－cosx，则 f( )的值是( )π12A．－ B.62 12C．－ D.22 22答案 C解析 因为 f(x)＝sinx－cosx＝ sin(x－ )，所以 f( )＝ sin( － )＝ sin(－ )2π 4 π12 2 π12 π 4 2 π 6＝－ .226．已知 tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则 tanα·tanβ＝________．答案 12解析 tanα·tanβ＝1－ ＝1－ ＝ .故填 .tanα ＋ tanβtan（ α ＋ β ） 24 12 127．若 cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝ ，则 tanα·tanβ＝________．15 35答案 12解析 由已知得∴tanα·tanβ＝ ＝ .sinα sinβcosα cosβ 128．已知 3cosα－ sinα＝2 cos(α＋φ)，其中－πφπ.则 φ＝________．3 3答案 π 69．已知 0α βπ，tan ＝ ，cos(β－α)＝ .π 2 α 2 12 210- 10 -(1)求 sinα 的值；(2)求 β 的值．答案 (1) (2)45 3π4解析 (1)方法一：sinα＝2sin cos ＝α 2 α 2＝ ＝ .2sinα 2cosα 2sin2α 2＋ cos2α 22tanα 21＋ tan2α 2 45方法二：因为 tanα＝ ＝ ，所以 ＝ .2tanα 21－ tan2α 2 43 sinαcosα 43又因为 sin2α＋cos 2α＝1，解得 sinα＝ .45(2)因为 0α βπ，所以 0β－απ.π 2因为 cos(β－α)＝ ，所以 sin(β－α)＝ .210 7210所以 sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝ × ＋ × ＝ .7210 35 210 45 22因为 β∈( ，π)，所以 β＝ .π 2 3π410．(2016·衡水调研卷)已知函数 f(x)＝sin(x＋ )＋cos(x－ )，x∈R.7π4 3π4(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知 cos(β－α)＝ ，cos(β＋α)＝－ ，0αβ≤ ，求证：[f(β)] 2－2＝0.45 45 π 2答案 (1)T＝2π，最小值为－2 (2)略解析 (1)∵f(x)＝sin(x＋ －2π)＋sin(x－ ＋ )＝sin(x－ )＋sin(x－ )7π4 3π4 π 2 π 4 π 4＝2sin(x－ )，π 4∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)∵cos(β－α)＝ ，cos(β＋α)＝－ ，45 45- 11 -∴cosβcosα＋sinβsinα＝ ，cosβcosα－sinβsinα＝－ ，45 45两式相加，得 2cosβcosα＝0.∵0αβ≤ ，∴β＝ .π 2 π 2由(1)知 f(x)＝2sin(x－ )，π 4∴[f(β)] 2－2＝4sin 2 －2＝4×( )2－2＝0.π 4 22- 1 -题组层级快练(二十)1．cos 4 －sin 4 等于( )π8 π8A．0 B.22C．1 D．－22答案 B2．tan15°＋ ＝( )1tan15°A．2 B．2＋ 3C．4 D.433答案 C解析 方法一：tan15°＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝4.1tan15°sin15°cos15°cos15°sin15° 1cos15°sin15° 2sin30°方法二：tan15°＋ ＝ ＋1tan15°1－ cos30°sin30° 1sin30°1＋ cos30°＝ ＋ ＝ ＝4.1－ cos30°sin30° 1＋ cos30°sin30° 2sin30°3．已知 sinα＝ ，则 cos(π－2α)＝( )23A．－ B．－53 19C. D.19 53答案 B解析 依题意得 cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝2×( )2－1＝－ ，选 B.23 194．设 sin( ＋θ)＝ ，则 sin2θ＝( )π4 13A．－ B．－79 19C. D.19 79答案 A- 2 -解析 sin2θ＝－cos( ＋2θ)＝2sin 2( ＋θ)－1＝2×( )2－1＝－ .π2 π4 13 795．已知 f(x)＝2tanx－ ，则 f( )的值为( )2sin2x2－ 1sinx2cosx2 π12A．4 B.3833C．4 D．8答案 D解析 ∵f(x)＝2(tanx＋ )＝2×( ＋ )cosxsinx sinxcosx cosxsinx＝2× ＝ ，1cosx·sinx 4sin2x∴f( )＝ ＝8.π12 4sinπ66．计算 的值为( )tan（ π4＋ α ） ·cos2α2cos2（ π4－ α ）A．－2 B．2C．－1 D．1答案 D解析 ＝ ＝tan（ π4＋ α ） ·cos2α2cos2（ π4－ α ）sin（ π4＋ α ） ·cos2α2sin2（ π4＋ α ） cos（ π4＋ α ）＝ ＝ ＝ ＝1，选 D.cos2α2sin（ π4＋ α ） cos（ π4＋ α ）cos2αsin2（ π4＋ α ）cos2αsin（ π2＋ 2α ） cos2αcos2α7．若 tanα＋ ＝ ，α∈( ， )，则 sin(2α＋ )的值为( )1tanα 103 π4 π2 π4A．－ B.210 210C. D.3210 7210答案 A解析 由 tanα＋ ＝ ，得 ＋ ＝ .1tanα 103 sinαcosα cosαsinα 103- 3 -∴ ＝ ，∴sin2α＝ .1sinα cosα 103 35∵α∈( ， )，∴2α∈( ，π)．π4 π2 π2∴cos2α＝－ .45∴sin(2α＋ )＝sin2αcos ＋cos2αsinπ4 π4 π4＝ ×( － )＝－ .22 35 45 2108．(2016·长沙雅礼中学模拟)已知 sin2α＝ ，则 cos2(α＋ )＝( )23 π4A. B.16 13C. D.12 23答案 A解析 方法一：cos 2(α＋ )＝ [1＋cos(2α＋ )]＝ (1－sin2α)＝ .π4 12 π2 12 16方法二：cos(α＋ )＝ cosα－ sinα，所以 cos2(α＋ )＝ (cosα－sinα)π4 22 22 π4 122＝ (1－2sinαcosα)＝ (1－sin2α)＝ .12 12 169．设 f(sinx)＝cos2x，那么 f( )等于________．32答案 －1210．已知 tanα＝2，则 ＝________．2sin2α ＋ 1sin2α答案 134解析 ＝ ＝ ＝ .2sin2α ＋ 1sin2α 3sin2α ＋ cos2α2sinα cosα 3tan2α ＋ 12tanα 13411．若 sin(x－ π)cos(x－ )＝－ ，则 cos4x＝________．34 π4 14答案 12解析 ∵sin(x－ π)＝－cos( ＋x－ π)＝－cos(x－ )，34 π2 34 π4- 4 -∴cos 2(x－ )＝ ，∴ ＝ .π4 14 1＋ cos（ 2x－ π2）2 14∴cos(2x－ )＝－ ，即 sin2x＝－ .π2 12 12∴cos4x＝1－2sin 22x＝ .1212. ＝________．3tan12°－ 3（ 4cos212°－ 2） sin12°答案 －4 3解析 原式＝3sin12°cos12°－ 32（ 2cos212°－ 1） sin12°＝23（ 12sin12°－ 32cos12°）cos12°2cos24°sin12°＝ ＝23sin（ － 48°）2cos24°sin12°cos12° － 23sin48°sin24°cos24°＝ ＝－4 .－ 23sin48°12sin48° 313．若 θ∈[0，π)且 cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则 θ＝________．答案 0 或π414．设 α 为第四象限的角，若 ＝ ，则 tan2α＝________．sin3αsinα 135答案 －34解析 ＝ ＝ ＝ .sin3αsinα sin（ 2α ＋ α ）sinα sin2α cosα ＋ cos2α sinαsinα 135∴2cos 2α＋cos2α＝ ，2cos 2α－1＋cos2α＝ .135 85∴cos2α＝ .45∵2kπ－ 0，∴2α 为第四象限的角．45- 5 -sin2α＝－ ＝－ ，∴tan2α＝－ .1－ cos22α35 3415．已知 sinα＝cos2α，α∈( ，π)，则 tanα＝________．π2答案 －33解析 sinα＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sinα－1＝0.∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈( ，π)，π2∴2sinα－1＝0.∴sinα＝ ，cosα＝－ .12 32∴tanα＝－ .3316．已知 sin( ＋α)＝ ，则 cos( －2α)的值等于________．π6 13 2π3答案 －79解析 ∵ ＋α＋ －α＝ ，∴sin( ＋α)＝cos( －α)＝ ，∴cos( －2α)π6 π3 π2 π6 π3 13 2π3＝cos2( －α)＝2cos 2( －α)－1＝2×( )2－1＝－ .π3 π3 13 7917．已知函数 f(x)＝ cos(x－ )，x∈R.2π12(1)求 f(－ )的值；π6(2)若 cosθ＝ ，θ∈( ，2π)，求 f(2θ＋ )的值．35 3π2 π3答案 (1)1 (2)1725解析 (1)f(－ )＝ cos(－ － )＝ cos(－ )＝1.π6 2 π6 π12 2 π4(2)∵cosθ＝ ，且 θ∈( ，2π)，∴sinθ＝－ .35 3π2 45∴f(2θ＋ )＝ cos(2θ＋ － )＝ cos(2θ＋ )π3 2 π3 π12 2 π4＝cos2θ－sin2θ＝2cos 2θ－1－2sinθcosθ＝ .172518．已知 α∈ ，sinα＝ .(π2， π ) 55- 6 -(1)求 sin 的值；(π4＋ α )(2)求 cos 的值．(5π6－ 2α )答案 (1)－ (2)－1010 4＋ 3310解析 (1)因为 α∈ ，sinα＝ ，(π2， π ) 55所以 cosα＝－ ＝－ .1－ sin2α255故 sin ＝sin cosα＋cos sinα(π4＋ α ) π4 π4＝ × ＋ ×22 (－ 255) 22 55＝－ .1010(2)由(1)知 sin2α＝2sinαcosα＝2× ×(－ )＝－ ，55 255 45cos2α＝1－2sin 2α＝1－2× ＝ ，(55)2 35所以 cos ＝cos cos2α＋sin sin2α(5π6－ 2α ) 5π6 5π6＝ × ＋ × ，(－32) 35 12 (－ 45)＝－ .4＋ 3 3101．(2016·石家庄二中调研)已知 sinα－cosα＝ ，则 cos2( －α)＝( )15 5π4A. B.150 1350C. D.3750 4950答案 D解析 ∵sinα－cosα＝ ，∴两边平方得 1－2sinαcosα＝ ，∴sin2α＝ ，∴cos 2(15 125 2425－α)＝ ＝ ＝ ，故选 D.5π4 1＋ cos（ 5π2－ 2α ）2 1＋ sin2α2 4950- 7 -2．(2016·山东淄博一模)已知 tanα＝2，那么 sin2α 的值是( )A．－ B.45 45C．－ D.32 35答案 B解析 sin2α＝2sinαcosα＝ ＝ ＝ .选 B.2sinα cosαsin2α ＋ cos2α 2tanα1＋ tan2α 453．若 ＝－ ，则 sinα＋cosα 的值为( )cos2αsin（ α － π4） 22A．－ B．－72 12C. D.12 72答案 C解析 ＝ ＝ ＝－2cos( －α)cos2αsin（ α － π4）sin（ π2－ 2α ）sin（ α － π4）2sin（ π4－ α ） cos（ π4－ α ）sin（ α － π4） π4＝－2( sinα＋ cosα)＝－ (sinα＋cosα)＝－ .22 22 2 22所以 sinα＋cosα＝ .124．在△ABC 中，tanA＋tanB＋ ＝ tanA·tanB，且 sinA·cosA＝ ，则此三角形为3 334________．答案 等边三角形解析 ∵tanA＋tanB＋ ＝ tanAtanB，3 3∴tan(A＋B)＝－ ，得 A＋B＝120°.3又由 sinAcosA＝ ，得 sin2A＝ .34 32∴A＝60°(A＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形．5．(2016·衡水调研)已知 sinx＝ ，则 sin2(x－ )＝________．5－ 12 π4答案 2－ 5- 8 -解析 sin2(x－ )＝sin(2x－ )＝－cos2xπ4 π2＝－(1－2sin 2x)＝2sin 2x－1＝2－ .56．(2013·四川)设 sin2α＝－sinα，α∈( ，π)，则 tan2α 的值是________．π2答案 3解析 ∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.又∵α∈( ，π)，∴cosα＝－ .π2 12∴sinα＝ ＝ .1－ cos2α32∴sin2α＝－ ，cos2α＝2cos 2α－1＝－ .32 12∴tan2α＝ ＝ .sin2αcos2α 37．化简： .2cos4x－ 2cos2x＋ 122tan（ π4－ x） ·sin2（ π4＋ x）解析 原式＝ ＝2cos2x（ cos2x－ 1） ＋ 122tan（ π4－ x） sin2（ π4＋ x）12－ 2cos2xsin2x2sin（ π4－ x）cos（ π4－ x） ·sin2（π4＋ x）＝ ＝ ＝ cos2x12－ 12（ sin2x） 22cos（ π4＋ x）sin（ π4＋ x） ·sin2（π4＋ x） 12cos22xsin（ π2＋ 2x） 128．(2016·合肥检测)已知 cos( ＋α)cos( －α)＝－ ，α∈( ， )．π6 π3 14 π3 π2(1)求 sin2α 的值；(2)求 tanα－ 的值．1tanα解析 (1)cos( ＋α)·cos( －α)＝cos( ＋α)·sin( ＋α)＝ sin(2α＋ )π6 π3 π6 π6 12 π3＝－ ，即 sin(2α＋ )＝－ ，14 π3 12- 9 -因为 α∈( ， )，所以 2α＋ ∈(π， )，π3 π2 π3 4π3所以 cos(2α＋ )＝－ .π3 32所以 sin2α＝sin(2α＋ － )＝sin(2α＋ )cos －cos(2α＋ )sin ＝ .π3 π3 π3 π3 π3 π3 12(2)由(1)知 tanα－ ＝ － ＝ ＝ ＝1tanα sinαcosα cosαsinα sin2α － cos2αsinα cosα － 2cos2αsin2α＝2 .－ 2×（ － 32）12 3- 1 -题组层级快练(二十一)1．(2016·衡水调研卷)与图中曲线对应的函数是( )A．y＝sinx B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|答案 C2．(2016·西安九校联考)将 f(x)＝cosx 图像上所有的点向右平移 个单位，得到函数π 6y＝g(x)的图像，则 g( )＝( )π 2A. B．－32 32C. D．－12 12答案 C解析 由题意得 g(x)＝cos(x－ )，故 g( )＝cos( － )＝sin ＝ .π 6 π 2 π 2 π 6 π 6 123．(2015·山东)要得到函数 y＝sin(4x－ )的图像，只需将函数 y＝sin4x 的图像( )π 3A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位π12 π12C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位π 3 π 3答案 B解析 y＝sin(4x－ )＝sin4(x－ )，故要将函数 y＝sin4x 的图像向右平移 个单位．故π 3 π12 π12选 B.4．若把函数 y＝f(x)的图像沿 x 轴向左平移 个单位，沿 y 轴向下平移 1 个单位，然后再把π 4图像上每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变)，得到函数 y＝sinx 的图像，则y＝f(x)的解析式为( )A．y＝sin(2x－ )＋1 B．y＝sin(2x－ )＋1π 4 π 2C．y＝sin( x＋ )－1 D．y＝sin( x＋ )－112 π 4 12 π 2- 2 -答案 B解析 将 y＝sinx 的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y＝sin2x 的图像，再将所得图像向上平移 1 个单位，得到 y＝sin2x＋1 的图像，再把函数y＝sin2x＋1 的图像向右平移 个单位，得到 y＝sin2(x－ )＋1 的图像，即函数 f(x)的图π 4 π 4像，所以 f(x)＝sin2(x－ )＋1＝sin(2x－ )＋1，故选 B.π 4 π 25．函数 y＝sinx－cosx 的图像可由 y＝sinx＋cosx 的图像向右平移( )A. 个单位 B．π 个单位3π2C. 个单位 D. 个单位π 4 π 2答案 D解析 y＝sinx＋cosx＝ sin ，2 (x＋π 4)y＝sinx－cosx＝ sin ＝ sin .2 (x－π 4) 2 [(x－ π 2)＋ π 4]6．(2015·邯郸一中期末)设函数 f(x)＝2sin( x＋ )．若对任意 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)π 2 π 5≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A．4 B．2C．1 D.12答案 B解析 f(x)的周期 T＝4，|x 1－x 2|min＝ ＝2.T27．(2013·湖北)将函数 y＝ cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移 m(m0)个单位长度后，所3得到的图像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是( )A. B.π12 π 6C. D.π 3 5π6答案 B- 3 -解析 y＝ cosx＋sinx＝2( cosx＋ sinx)＝2sin(x＋ )的图像向左平移 m 个单位后，得332 12 π 3到 y＝2sin(x＋m＋ )的图像，此图像关于 y 轴对称，则 x＝0 时，y＝±2，即 2sin(m＋ )π 3 π 3＝±2，所以 m＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，由于 m0，所以 mmin＝ ，故选 B.π 3 π 2 π 68.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I＝Asin(ωt＋φ)(A0，ω0，00， －π 2 ≤ φ 0)个单位，得到的图像恰好关于直线 x＝ 对π 6称，则 φ 的最小值是________．答案 5π12解析 y＝sin2x 的图像向右平移 φ(φ0)个单位，得 y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．因其中一条对称轴方程为 x＝ ，则 2· －2φ＝kπ＋ (k∈Z)．因为 φ0，所以 φ 的最小π 6 π 6 π 2值为 .5π1216. (2014·北京)函数 f(x)＝3sin(2x＋ )的部分图像如图所示．π 6- 6 -(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y 0的值；(2)求 f(x)在区间[－ ，－ ]上的最大值和最小值．π 2 π12答案 (1)T＝π，x 0＝ ，y 0＝3 (2)最大值为 0，最小值为－37π6解析 (1)f(x)的最小正周期为 π. x 0＝ ，y 0＝3.7π6(2)因为 x∈[－ ，－ ]，所以 2x＋ ∈[－ ，0]．π 2 π12 π 6 5π6于是，当 2x＋ ＝0，即 x＝－ 时，f(x)取得最大值 0；π 6 π12当 2x＋ ＝－ ，即 x＝－ 时，f(x)取得最小值－3.π 6 π 2 π 317．(2016·江西测试)已知函数 f(x)＝4cosxsin(x＋ )＋a 的最大值为 2.π 6(1)求实数 a 的值及 f(x)的最小正周期；(2)在坐标纸上作出 f(x)在[0，π]上的图像．答案 (1)a＝－1，T＝π (2)略解析 (1)f(x)＝4cosx(sinxcos ＋cosxsin )＋aπ 6 π 6＝ sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin(2x＋ )＋a＋1，3π 6最大值为 3＋a＝2，∴a＝－1.T＝ ＝π.2π2(2)列表如下：2x＋π 6 π 6 π 2π3π22π13π6x 0 π 6 5π12 2π3 11π12 πf(x) 1 2 0 －2 0 1画图如下：- 7 -18.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A0，ω0，|φ|0，ω0，|φ|0)个单π 2 π 2位长度后得到函数 g(x)的图像，若 f(x)，g(x)的图像都经过点 P(0， )，则 φ 的值可以是32( )A. B.5π3 5π6C. D.π 2 π 6答案 B解析 因为函数 f(x)的图像过点 P，所以 θ＝ ，所以 f(x)＝sin(2x＋ )．又函数 f(x)的π 3 π 3图像向右平移 φ 个单位长度后，得到函数 g(x)＝sin[2(x－φ)＋ ]的图像，所以π 3sin( －2φ)＝ ，所以 φ 可以为 ，故选 B.π 3 32 5π66．将函数 y＝sin(2x＋ )的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右π 4平移 个单位，所得到的图像解析式是( )π 4A．f(x)＝sinx B．f(x)＝cosxC．f(x)＝sin4x D．f(x)＝cos4x答案 A解析 y＝sin(2x＋ )→y＝sin(x＋ )π 4 π 4→y＝sin(x－ ＋ )＝sinx.π 4 π 47．(2014·浙江)为了得到函数 y＝sin3x＋cos3x 的图像，可以将函数 y＝ cos3x 的图像( 2)A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位π 4 π 4C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位π12 π12答案 C解析 因为 y＝sin3x＋cos3x＝ cos ＝ cos3 ，所以将函数 y＝ cos3x 的2 (3x－π 4) 2 (x－ π12) 2图像向右平移 个单位后，可得到 y＝ cos 的图像，故选 C.π12 2 (3x－ π 4)8．(2016·重庆一中)要得到函数 y＝sin x 的图像，只需将函数 y＝sin( x－ )的图像( 12 12 π 3)- 10 -A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位π 3 π 3C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位2π3 2π3答案 C9．(2016·临沂一中月考)如图的函数的解析式为( )A．y＝2sin B．y＝2sin(2x－π 8) (2x＋ π 8)C．y＝2sin D．y＝2sin(2x＋π 4) (2x－ π 4)答案 C解析 A＝2，T＝ － ＝π，ω＝2，当 x＝－ 时， y＝0.7π8 (－ π 8) π 810．(2016·长沙雅礼中学)将函数 y＝sin2x 的图像向左平移 个单位，再向上平移 1 个单π 4位，所得图像的函数解析式是( )A．y＝cos2x B．y＝2cos 2xC．y＝1＋sin(2x＋ ) D．y＝2sin 2xπ 4答案 B解析 所得解析式是 y＝sin2(x＋ )＋1＝cos2x＋1＝2cos 2x.π 411．(2016·杭州学军中学)已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω0，00)在一个周期内的图像如图所示，要得到函数 y＝sin( x＋ )12 π12的图像，则需将函数 y＝sinωx 的图像向________平移________个单位长度．- 11 -答案 左，π 6解析 由图像知函数 y＝sinωx 的周期为 T＝3π－(－π)＝4π，∴ω＝ ＝ ，故 y＝sin x.2πT 12 12又 y＝sin( ＋ )＝sin (x＋ )，x2 π12 12 π 6∴将函数 y＝sin x 的图像向左平移 个单位长度，即可得到函数 y＝sin( ＋ )的图像．12 π 6 x2 π1213.若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 为常数，A0，ω0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则 ω＝________．答案 3解析 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像可知：＝(－ )－(－ π)＝ ，∴T＝ π.T2 π 3 23 π 3 23∵T＝ ＝ π，∴ω＝3.2πω 2314.已知函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω0，|φ|0，在函数 y＝2sinωx 与 y＝2cosωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 ，则 ω＝________．3答案 π 2解析 由题意，两函数图像交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，易知|PQ| 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝ －(－2)＝2 ，|x 2－x 1|为函数 y＝2sinωx－2cosωx＝2 sin(ωx－ )的两个相邻零点之间的2 2 2π 4距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2 )2＝( )2＋(2 )2，ω＝ .32π2ω 2 π 216．(2016·石家庄二中调研)某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入的数据如下表：x 2π3 x1 8π3 x2 x3Ωx＋φ 0 π 2 π 3π2 2πAsin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 0(1)求 x1，x 2，x 3的值及函数 f(x)的表达式；(2)将函数 f(x)的图像向左平移 π 个单位，可得到函数 g(x)的图像，求函数 y＝f(x)·g(x)在区间(0， )的最小值．5π3答案 (1)x 1＝ ，x 2＝ ，x 3＝ ，f(x)＝2sin( x－ )5π3 11π3 14π3 12 π 3解析 (1)由 ω＋φ＝0， ω＋φ＝π 可得 ω＝ ，φ＝－ ，2π3 8π3 12 π 3由 x1－ ＝ ， x2－ ＝ ， x3－ ＝2π 可得 x1＝ ，x 2＝ ，x 3＝ ，12 π 3 π 2 12 π 3 3π2 12 π 3 5π3 11π3 14π3又 Asin( × － )＝2，∴A＝2，12 5π3 π 3∴f(x)＝2sin( x－ )．12 π 3(2)函数 f(x)＝2sin( x－ )的图像向左平移 π 个单位，得 g(x)＝2sin( x－ ＋ )12 π 3 12 π 3 π 2＝2cos( － )的图像，x2 π 3- 13 -∴y＝f(x)g(x)＝2sin( － )·2cos( － )＝2sin(x－ )，x2 π 3 x2 π 3 2π3∵x∈(0， )，∴x－ ∈(－ ，π)，5π3 2π3 2π3∴当 x－ ＝－ ，即 x＝ 时，y＝f(x)·g(x)取得最小值－2.2π3 π 2 π 6