（新课标）2017版高考数学大一轮复习 选考部分题组 理（打包6套）选修4.zip

1题组层级快练(七十三)1.如图，在△ABC 中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则 BC 的长为( )A. B．7154C. D.152 245答案 C解析 由已知条件∠AED＝∠B，∠A 为公共角，所以△ADE∽△ACB，则有 ＝ ，从而DEBC AEABBC＝ ＝ .选 C.6×108 1522.如图，E 是▱ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 DC∶BE＝3∶2，则 AD∶BF＝( )A．5∶3 B．5∶2C．3∶2 D．2∶1答案 B解析 由题可得△BEF∽△CDF，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ＋1＝ .DCBE DFEF 32 ADBF DEEF DFEF 523.如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，则线段 BF 的长为( )A．5 cm B．8 cmC．9 cm D．10 cm答案 D解析 ∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形 DECF 是平行四边形．∴FC＝DE＝5 cm.∵DF∥AC，∴ ＝ .BFFC BDDA2即 ＝ ，∴BF＝10 cm.BF5 844.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则( )A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD 2 D．CE·EB＝CD 2答案 A解析 在直角三角形 ABC 中，根据直角三角形射影定理可得 CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得 CD2＝CE·CB.所以 CE·CB＝AD·DB.5．Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，AD⊥BC 于 D，AB∶AC＝3∶2，则 CD∶BD＝( )A．3∶2 B．2∶3C．9∶4 D．4∶9答案 D解析 由△ABD∽△CBA，得 AB2＝BD·BC.由△ADC∽△BAC，得 AC2＝DC·BC.∴ ＝ ＝ ，即 CD∶BD＝4∶9.CD·BCBD·BC AC2AB2 496.如图所示，在▱ABCD 中，BC＝24，E，F 为 BD 的三等分点，则 BM－DN＝( )A．6 B．3C．2 D．4答案 A解析 ∵E，F 为 BD 的三等分点，四边形 ABCD 为平行四边形，∴M 为 BC 的中点．连 CF 交AD 于 P，则 P 为 AD 的中点，由△BCF∽△DPF 及 M 为 BC 中点知，N 为 DP 的中点，∴BM－DN＝12－6＝6，故选 A.7.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点 B 落在 AD 边的中点 E处，则折痕 FG 的长为( )3A．13 B.635C. D.656 212答案 C解析 过 A 作 AH∥FG 交 DG 于 H，则四边形 AFGH 为平行四边形．∴AH＝FG.∵折叠后 B 点与 E 点重合，折痕为 FG，∴B 与 E 关于 FG 对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.∴ ＝ .BEAB AHAD∵AB＝12，AD＝10，AE＝ AD＝5，∴BE＝ ＝13.12 122＋ 52∴FG＝AH＝ ＝ .BE·ADAB 6568.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，若 BC＝3，DE＝2，DF＝1，则 AB 的长为________．答案 92解析 ＝ ＝ ， ＝ ＝ .∵BC＝3，DE＝2，DF＝1，解得 AB＝ .ADAB DEBC 23 DFAD CEAC 13 929.如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，CD＝6，且 AD∶BD＝3∶2，则斜边 AB 上的中线 CE 的长为________．答案 5624解析 ∵CD 2＝BD·AD，设 BD＝2k，则 AD＝3k，∴36＝6k 2，∴k＝ ，∴AB＝5k＝5 .6 6∴CE＝ AB＝ .12 56210. (2016·广东梅州联考)如图，在△ABC 中，BC＝4，∠BAC＝120°，AD⊥BC，过 B 作 CA的垂线，交 CA 的延长线于 E，交 DA 的延长线于 F，则 AF＝________．答案 433解析 设 AE＝x，∵∠BAC＝120°，∴∠EAB＝60°.又 ＝ ＝ ，AEBE x3x 13在 Rt△AEF 与 Rt△BEC 中，∠F＝90°－∠EAF＝90°－∠DAC＝∠C，∴△AEF∽△BEC，∴ ＝ .AFBC AEBE∴AF＝4× ＝ .13 43311．(2015·江苏)如图，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D.求证：△ABD∽△AEB.答案 略证明 因为 AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE 为公共角，可知△ABD∽△AEB.12.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，DF⊥AC 于 F，DE⊥AB 于 E，求证：AD3＝BC·BE·CF.5答案 略证明 在 Rt△ABC 中，因为 AD⊥BC，所以 AD2＝BD·DC，且 AD·BC＝AB·AC.在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中，因为 DE⊥AB，DF⊥AC，由射影定理，得 BD2＝BE·BA，DC 2＝CF·AC.所以 BD2·DC2＝BE·BA·CF·AC＝BE·CF·AD·BC＝AD 4.所以 AD3＝BC·BE·CF.13. (2016·甘肃河西三校第一次联考)如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC 的面积 S＝ AD·AE，求∠BAC 的大小．12答案 (1)略 (2)90°解析 (1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以 ＝ ，即 AB·AC＝AD·AE.ABAE ADAC又 S＝ AB·ACsin∠BAC，且 S＝ AD·AE，12 12故 AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC＝90°.14. (2016·沧州七校联考)如图，点 A 为圆外一点，过点 A 作圆的两条切线，切点分别为B，C，ADE 是圆的割线，连接 CD，BD，BE，CE.6(1)求证：BE·CD＝BD·CE；(2)延长 CD，交 AB 于点 F，若 CE∥AB，证明：F 为线段 AB 的中点．答案 (1)略 (2)略证明 (1)如图，由题意可得∠ACD＝∠AEC，∠CAD＝∠EAC，∴△ADC∽△ACE，∴ ＝ .CDCE ACAE同理△ADB∽△ABE， ＝ .又∵AB＝AC，BDBE ABAE∴ ＝ ，∴BE·CD＝BD·CE.CDCE BDBE(2)如图，由切割线定理，得 FB2＝FD·FC.∵CE∥AB，∴∠FAD＝∠AEC.又∵AC 切圆于 C，∴∠ACD＝∠AEC，∴∠FAD＝∠FCA，又∠F＝∠F，∴△AFD∽△CFA，∴ ＝ ，即 AF2＝FD·FC.AFCF FDAF∵FB 2＝AF 2，即 FB＝FA，∴F 为线段 AB 的中点．1.如图， 在△ABC 中，AE＝ED＝DC，FE∥MD∥BC，FD 的延长线交 BC 的延长线于点 N，且EF＝1，则 BN＝( )A．2 B．3C．4 D．6答案 C解析 ∵FE∥MD∥BC，AE＝ED＝DC，∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .EFBC AEAC 13 EFCN EDDC 117∴EF＝CN，∴ ＝ ＝ .EFBN EFBC＋ CN 14∴BN＝4EF＝4.(或由△FDE≌△NDC⇒EF＝CN)．2．如图，在直角梯形 ABCD 中，上底 AD＝ ，下底 BC＝3 ，与两底垂直的腰 AB＝6，在3 3AB 上选取一点 P，使△PAD 和△PBC 相似，则这样的点 P( )A．有 1 个 B．有 2 个C．有 3 个 D．不存在答案 B解析 设 AP＝x.(1)若△ADP∽△BPC，则 ＝ ，ADBP APBC即 ＝ ，所以 x2－6x＋9＝0，解得 x＝3.36－ x x33(2)若△ADP∽△BCP，则 ＝ ，ADBC APBP即 ＝ ，解得 x＝ .333 x6－ x 32∴符合条件的点 P 有两个．故选 B.3．如图，AC 为⊙O 的直径，BD⊥AC 于 P，PC＝2，PA＝8，则 CD 的长为________，cos∠ACB＝________．答案 2 ，555解析 由射影定理，得CD2＝CP·CA＝2×10.∴CD＝2 .58cos∠ACB＝sin∠A＝sin∠D＝ ＝ ＝ .CPCD 225 554.如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点，DE∥BC，且 ＝2，那么△ADE 与四边形ADDBDBCE 的面积比是________．答案 45解析 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵ ＝2，∴ ＝ .ADDB ADAB 23故 ＝ ，∴ ＝ .S△ ADES△ ABC 49 S△ ADES四 边 形 DBCE 455.如图，等边三角形 DEF 内接于△ABC，且 DE∥BC，已知 AH⊥BC 于点 H，BC＝4，AH＝ ，3则△DEF 的边长为________．答案 43解析 设 DE＝x，AH 交 DE 于点 M，显然 MH 的长度与等边三角形 DEF 的高相等，又DE∥BC，则 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，解得 x＝ .DEBC AMAH AH－ MHAH x4 3－ 32x3 2－ x2 436．(2016·贵阳市高三适应性监测考试)如图，已知圆 O 两弦 AB 与 CD 交于点E，EF∥AD，EF 与 CB 延长线交于点 F，FG 切圆 O 于点 G.(1)求证：△BEF∽△ECF；(2)求证：FG＝EF.证明 (1)因为 EF∥AD，所以∠FEA＝∠DAB.9又∠DAB＝∠BCD，所以∠FEB＝∠FCD.又∠BFE＝∠BFE，所以△BEF∽△ECF.(2)由(1)得 ＝ ，所以 EF2＝FC·FB.EFFC FBFE又因为 FG2＝FB·FC，所以 EF2＝FG 2.所以 FG＝EF.1题组层级快练(七十四)1. (2016·天津和平区模拟)如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB 等于( )A．55° B．60°C．65° D．70°答案 C解析 如图，连接 BD，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵点 D 是 的中点，AC︵ ∴∠ABD＝∠CBD.∵∠ABC＝50°，∴∠ABD＝25°.∴∠DAB＝90°－25°＝65°.故选 C.2.如图所示，在半径为 2 的⊙O 中，∠AOB＝90°，D 为 OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E，则线段 DE 的长为( )A. B.55 255C. D.355 32答案 C解析 延长 BO 交圆 O 于点 F，由 D 为 OB 的中点，知 DF＝3，DB＝1.又∠AOB＝90°，所以AD＝ .由相交弦定理知 AD·DE＝DF·DB，即 DE＝3×1，解得 DE＝ .5 535523.如图所示，E，C 分别是∠A 两边上的点，以 CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于 D，B，若∠A＝45°，则△AEC 与△ABD 的面积比为( )A．2∶1 B．1∶2C. ∶1 D. ∶12 3答案 A解析 连接 BE，易知△ABD∽△AEC，求△AEC 与△ABD 的面积比即求 AE2∶AB 2的值，设AB＝a，∵∠A＝45°，CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°.∴BE＝AB＝a，∴AE＝ a.2∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2.∴AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1.4．(2014·天津)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于点E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF；②FB 2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )A．①② B．③④C．①②③ D．①②④答案 D解析 因为∠BAD＝∠FBD，∠DBC＝∠DAC，又 AE 平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，所以∠FBD＝∠DBC，所以 BD 平分∠CBF，结论①正确；易证△ABF∽△BDF，所以 ＝ ，所以ABAF BDBFAB·BF＝AF·BD，结论④正确；由 ＝ ，得 BF2＝AF·DF，结论②正确，选 D.AFBF BFDF35．(2015·重庆)如图，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则 BE＝________．答案 2解析 由切割线定理，知 PA2＝PC·PD，即 62＝3PD，解得 PD＝12，所以 CD＝PD－PC＝9，所以 CE＝6，ED＝3.由相交弦定理，知 AE·BE＝CE·ED，即 9BE＝6×3，解得 BE＝2.6．(2015·湖北)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且 BC＝3PB，则＝________．ABAC答案 12解析 因为 PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)．因为 BC＝3PB，所以 PA2＝4PB 2，即 PA＝2PB.由△PAB∽△PCA，所以 ＝ ＝ .ABAC PBPA 127．(2015·广东)如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB＝4，EC 是圆 O 的切线，切点为C，BC＝1.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD＝________．答案 8解析 由题意得 OP＝ BC＝ ，OA＝2，于是 PA＝CP＝ ＝ .12 12 22－ （ 12） 2 152因为∠DCP＝∠B＝∠POA，又∠DPC＝∠APO，所以△DCP∽△AOP，故 ＝ ，即 PD＝ ×PDPA PCPO15212＝ ，所以 OD＝ ＋ ＝8.152 152 152 1248.如图，PT 是圆 O 的切线，PAB 是圆 O 的割线，若 PT＝2，PA＝1，∠P＝60°，则圆 O 的半径为________．答案 3解析 连接 AT，BT.在△APT 中，∠P＝60°，PT＝2，PA＝1，则由余弦定理得AT＝ ，∴∠TAP＝90°，∴∠BAT＝90°，∴BT 是圆 O 的直径，∵PT 是圆 O 的切线，PAB3是圆 O 的割线，∴PT 2＝PA·PB，∴ ＝ .又∠P 为公共角，∴△PAT∽△PTPB PAPTPTB，∴ ＝ ，得 BT＝2 ，因此圆的半径为 .PTPA BTAT 3 39．如图，PAB，PCD 为圆 O 的两条割线，若 PA＝5，AB＝7，CD＝11，AC＝2，则BD＝________．答案 6解析 因为 PAB，PCD 为圆 O 的两条割线，所以 PA·PB＝PC·PD.因为PA＝5，AB＝7，CD＝11，所以 PB＝5＋7＝12，PD＝PC＋CD＝PC＋11，所以5×12＝PC(PC＋11)，PC 2＋11PC－60＝0，(PC＋15)(PC－4)＝0.因为 PC 大于 0，所以PC＋15≠0，所以 PC－4＝0，PC＝4.因为∠PAC＝∠D(圆内接四边形的任一外角等于它的内对角)，又∠P＝∠P，所以△PAC∽△PDB，所以 ＝ .因为 AC＝2，PB＝12，PC＝4，所以BDAC PBPC＝ ，所以 BD＝6.BD2 12410.如图，圆 O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 P，CP＝ ，PD＝5，AP＝1，则∠DCB＝________．75答案 45°5解析 由相交弦定理可得 CP·PD＝AP·PB，∴PB＝ ＝ ＝7.∴直径CP·PDAP 75×512R＝AP＋PB＝1＋7＝8，∴半径 R＝4.∴OP＝OA－AP＝4－1＝3.连接 DO，在△ODP 中，OP2＋OD 2＝3 2＋4 2＝5 2＝PD 2，∴∠POD＝90°.连接 BD，由△DOB 为等腰直角三角形可得 DB＝ R.2由正弦定理可得 ＝ ＝2R，DBsin∠ DCB DBsin∠ A∴sin∠DCB＝ ＝ ，DB2R 22由图可知，∠DCB 为锐角，∴∠DCB＝45°.11.如图，BD 是半圆 O 的直径，A 在 BD 的延长线上，AC 与半圆相切于点 E，AC⊥BC，若AD＝2 ，AE＝6，则 EC＝________．3答案 3解析 如图，连接 OE.由切割线定理得 AE2＝AD·AB，∴AB＝ ＝6 ，∴OE＝OD＝OB＝ (AB－AD)＝2 ，由于6223 3 12 3E 是切点，∴OE⊥AC，又 AC⊥BC，∴OE∥BC，∴ ＝ ，即 ＝ ，EC＝3.AEEC AOOB 6EC 23＋ 232312.如图，BD 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上的一点，直线 CE 交 BD 的延长线于 A 点，BC⊥AE 于C 点，且∠CBE＝∠DBE.求证：AC 是⊙O 的切线．答案 略6证明 连接 OE，由 OE＝OB，得∠OEB＝∠OBE.∵∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝∠OEB.∴OE∥BC.又 BC⊥AE，∴OE⊥AC.∴AC 是⊙O 的切线．13．(2016·内蒙古赤峰宁城月考)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于 D，过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点 F.若 ＝ .ACAB 35(1)求证：OD∥AE；(2)求 的值．AFFD答案 (1)略 (2)85解析 (1)证明：连接 BC，设 BC 交 OD 于点 M.因为 OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA.又因为∠OAD＝∠DAE，所以∠ODA＝∠DAE，所以 OD∥AE.(2)因为 AC⊥BC，且 AC⊥DE，所以 BC∥DE.所以四边形 CMDE 为平行四边形，所以 CE＝MD.由 ＝ ，设 AC＝3x，AB＝5x，则 OM＝ x.ACAB 35 32又 OD＝ x，所以 MD＝ x－ x＝x，所以 AE＝AC＋CE＝4x.52 52 32因为 OD∥AE，所以 ＝ ＝ ＝ .AFFD AEOD 4x52x 85714．(2016·江西六校第二次联考)如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上两点，AC 与 BD相交于点 E，GC，GD 是圆 O 的切线，点 F 在 DG 的延长线上，且 DG＝GF.求证：(1)D，E，C，F 四点共圆；(2)GE⊥AB.答案 略证明 (1)如图，连接 OC，OD，则 OC⊥CG，OD⊥DG，设∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2.所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)．因为∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2.又因为∠DEC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，所以∠DEC＋∠F＝180°，所以 D，E，C，F 四点共圆．(2)延长 GE 交 AB 于 H.因为 GD＝GC＝GF，所以点 G 是经过 D，E，C，F 四点的圆的圆心．所以 GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC.又因为∠GCE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，所以∠GEC＋∠1＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，所以∠EHA＝90°，即 GE⊥AB.15．如图，四边形 ABDC 内接于圆，BD＝CD，过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点．(1)求证：∠EAC＝2∠DCE；(2)若 BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求 AB 的长．答案 (1)略 (2)AB＝ －15解析 (1)证明：因为 BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD.8因为 CE 是圆的切线所以∠ECD＝∠CBD.所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD.因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD.(2)因为 BD⊥AB，所以 AC⊥CD，AC＝AB.因为 BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以 AC＝EC.由切割线定理得 EC2＝AE·BE，即 AB2＝AE·(AE－AB)，即 AB2＋2AB－4＝0，解得AB＝ －1.516. (2015·陕西)如图，AB 切⊙O 于点 B，直线 AO 交⊙O 于 D，E 两点，BC⊥DE，垂足为 C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若 AD＝3DC，BC＝ ，求⊙O 的直径．2答案 (1)略 (2)3解析 (1)证明：因为 DE 为⊙O 的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又 BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又 AB 切⊙O 于点 B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)由(1)知 BD 平分∠CBA，则 ＝ ＝3，又 BC＝ ，从而 AB＝3 .BABC ADCD 2 2所以 AC＝ ＝4，所以 AD＝3.AB2－ BC2由切割线定理得 AB2＝AD·AE，即 AE＝ ＝6，AB2AD故 DE＝AE－AD＝3，即⊙O 的直径为 3.1. 如图，若 AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝________．答案 32°9解析 根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，根据∠ABD＝58°可得∠A＝32°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD＝∠A＝32°.2．如图，BC 是圆 O 的一条弦，延长 BC 至点 E，使得 BC＝2CE＝2，过 E 作圆 O 的切线，A为切点，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，则 DE 的长为________．答案 3解析 由切割线定理得 AE2＝EC·EB＝1×3＝3，所以 AE＝ .因为 AD 是∠BAC 的平分线，3所以∠BAD＝∠CAD.因为 AE 是圆 O 的切线，所以∠EAC＝∠ABC.因为∠ADC＝∠BAD＋∠ABC，所以∠ADC＝∠BAD＋∠EAC＝∠EAD，所以 DE＝AE＝ .33.如图所示，已知 AB，BC 是⊙O 的两条弦，AO⊥BC，AB＝ ，BC＝2 ，则⊙O 的半径等于3 2________．答案 1.5解析 设⊙O 的半径为 r，BC 与 AO 交于点 D，因为 AB，BC 是⊙O 的两条弦，AO⊥BC，AB＝， BC＝2 ，所以 AD＝1，所以 r2＝2＋(r－1) 2，解得 r＝1.5.3 24.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且 ＝ ，则 ＝________．PBBC 12 PABC答案 32解析 由题意，可设 PB＝x，则 BC＝2x，根据切割线定理，可得 PA2＝PB·PC＝3x 2，PA＝x，所以 ＝ .3PABC 32105.如图，过点 P 作圆 O 的割线 PAB 与切线 PE，E 为切点，连接 AE，BE，∠APE 的平分线与AE，BE 分别交于点 C，D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________．答案 75°解析 ∵PE 是圆的切线，∴∠PEB＝∠PAC.∵PC 是∠APE 是平分线，∴∠EPC＝∠APC，根据三角形的外角与内角关系有∠EDC＝∠PEB＋∠EPC，∠ECD＝∠PAC＋∠APC，∴∠EDC＝∠ECD，∴△EDC 为等腰三角形．又∠AEB＝30°，∴∠EDC＝∠ECD＝75°，即∠PCE＝75°.6.如图，PB 为△ABC 外接圆 O 的切线，BD 平分∠PBC，交圆 O 于 D，点 C，D，P 共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD＝1，则圆 O 的半径是________．答案 2解析 如图所示，连接 AD，∵PB 为圆 O 的切线，∴∠PBD＝∠BCD＝∠BAD.∵BD 为∠PBC 的平分线，∴∠PBD＝∠CBD，∴∠PDB＝∠CBD＋∠BCD＝∠PBD＋∠PBD＝2∠PBD.又∵PC⊥PB，∴∠PBD＝∠BCD＝∠CBD＝∠BAD＝30°，∠PDB＝60°.由 PD＝1，得 BD＝2PD＝2.在△ABD 中，∵AB⊥BD，∴AD 是圆 O 的直径，且直径 AD＝2BD＝4，∴圆 O 的半径为 2.7.如图，已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A，B 两点，割线 PCD 经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O 的半径为________．答案 2解析 设圆的半径为 r，PA＝3，PB＝7，PC＝5－r，PD＝5＋r，由割线定理11PA·PB＝PC·PD，得 3×7＝(5＋r)(5－r)，解得 r＝2.8.已知⊙O 1和⊙O 2交于点 C 和点 D，⊙O 1上的点 P 处的切线交⊙O 2于 A，B 两点，交直线 CD于点 E，M 是⊙O 2上的一点，若 PE＝2，EA＝1，∠AMB＝45°，那么⊙O 2的半径为________．答案 322解析 由切线定理和割线定理可知，PE 2＝EC·ED＝EA·(EA＋AB)，将 PE＝2，EA＝1 代入，得 AB＝3.连接 AO2，BO 2，由∠AMB＝45°可得△ABO 2为等腰直角三角形，所以⊙O 2的半径r＝ AB＝ .22 3229.如图所示，圆 O 的两条弦 AB 和 CD 交于点 E，EF∥CB，EF 交 AD 的延长线于点 F，FG 切圆O 于点 G.(1)求证：△DEF∽△EAF；(2)如果 FG＝1，求 EF 的长．答案 (1)略 (2)1解析 (1)证明：因为 EF∥BC，所以∠DEF＝∠ECB.又因为∠ECB＝∠A，所以∠DEF＝∠A，又∠DFE 为公共角，所以△DEF∽△EAF.(2)由(1)知△DEF∽△EAF，所以 ＝ ，即 EF2＝AF·DF.又因为 FG 为切线，所以EFAF DFEFFG2＝FD·FA，所以 EF＝FG＝1.10.如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为 B，直线 ADE，CFD，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC＝AB.(1)求证：FG∥AC；12(2)若 CG＝1，CD＝4，求 的值．DEGF答案 (1)略 (2)4解析 (1)证明：因为 AB 为切线，AE 为割线，所以 AB2＝AD·AE.又因为 AC＝AB，所以 AD·AE＝AC 2，所以 ＝ .ADAC ACAE又因为∠EAC＝∠DAC，所以△ADC∽△ACE，所以∠ADC＝∠ACE.又因为∠ADC＝∠EGF，所以∠EGF＝∠ACE，所以 FG∥AC.(2)由题意可得 G，E，D，F 四点共圆，所以∠CGF＝∠CDE，∠CFG＝∠CED.所以△CGF∽△CDE，所以 ＝ .EDGF CDCG又因为 CG＝1，CD＝4，所以 ＝4.DEGF1题组层级快练(七十五)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C 变为曲线{x′ ＝ 5x，y′ ＝ 3y)x′ 2＋y′ 2＝1，则曲线 C 的方程为( )A．25x 2＋9y 2＝1 B．9x 2＋25y 2＝1C．25x＋9y＝1 D. ＋ ＝1x225 y29答案 A2．极坐标方程 ρ＝cosθ 化为直角坐标方程为( )A．(x＋ )2＋y 2＝ B．x 2＋(y＋ )2＝12 14 12 14C．x 2＋(y－ )2＝ D．(x－ )2＋y 2＝12 14 12 14答案 D解析 由 ρ＝cosθ，得 ρ 2＝ρcosθ，∴x 2＋y 2＝x.选 D.3．设点 M 的直角坐标为(－1，－ ，3)，则它的柱坐标为( )3A．(2， ，3) B．(2， ，3)π 3 2π3C．(2， ，3) D．(2， ，3)4π3 5π3答案 C4．极坐标方程 ρcosθ＝2sin2θ 表示的曲线为( )A．一条射线和一个圆 B．两条直线C．一条直线和一个圆 D．一个圆答案 C5．(2016·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( )A．ρ＝1 B．θ＝π 2C．ρsinθ＝1 D．ρ(sinθ＋cosθ)＝1答案 A解析 ρ＝1 化为直角坐标方程为 x2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为 1 的圆，故 A 正确；θ＝ 化为直角坐标方程为 x＝0(y≥0)，表示射线，故 B 不正确；ρsinθ＝1 化为直角坐π 2标方程为 y＝1，表示直线，故 C 不正确；ρ(sinθ＋cosθ)＝1 化为直角坐标方程为x＋y＝1，表示直线，故 D 不正确．6．在极坐标系中，过点(2， )且与极轴平行的直线方程是( )π 22A．ρ＝0 B．θ＝π 2C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2答案 D解析 极坐标为(2， )的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为π 2y＝2，其极坐标方程为 ρsinθ＝2，故选 D.7．在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( )A．(1， ) B．(1，－ )π 2 π 2C．(1，0) D．(1，π)答案 B解析 由 ρ＝－2sinθ 得 ρ 2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为 x2＋y 2＝－2y，化成标准方程为 x2＋(y＋1) 2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－ )．π 28．在极坐标系中，点(2，－ )到圆 ρ＝－2cosθ 的圆心的距离为( )π 3A．2 B.4＋ π 29C. D.9＋ π 29 7答案 D解析 在直角坐标系中，点(2，－ )的直角坐标为(1，－ )，圆 ρ＝－2cosθ 的直角坐π 3 3标方程为 x2＋y 2＝－2x，即(x＋1) 2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为＝ .故选 D.（ 1＋ 1） 2＋ （ － 3－ 0） 2 79．(2016·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线 ρ( cosθ－sinθ)＝2 与圆3ρ＝4sinθ 的交点的极坐标为( )A．(2， ) B．(2， )π 6 π 3C．(4， ) D．(4， )π 6 π 3答案 A解析 ρ( cosθ－sinθ)＝2 可化为直角坐标方程 x－y＝2，即 y＝ x－2.3 3 3ρ＝4sinθ 可化为 x2＋y 2＝4y，把 y＝ x－2 代入 x2＋y 2＝4y，得 4x2－8 x＋12＝0，即3 3x2－2 x＋3＝0，所以 x＝ ，y＝1.3 33所以直线与圆的交点坐标为( ，1)，化为极坐标为(2， )，故选 A.3π 610．在极坐标系中，与圆 ρ＝4sinθ 相切的一条直线的方程是( )A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程 ρ＝4sinθ 即 ρ 2＝4ρsinθ，所以直角坐标方程为x2＋y 2－4y＝0.选项 A，直线 ρsinθ＝2 的直角坐标方程为 y＝2，代入圆的方程，得 x2＝4，∴x＝±2，不符合题意；选项 B，直线 ρcosθ＝2 的直角坐标方程为 x＝2，代入圆的方程，得(y－2)2＝0，∴y＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ，CO⊥Ox，OA 为直径，|OA|＝4，直线 l 和圆相切，l 交极轴于点 B(2，0)，点 P(ρ，θ)为 l 上任意一点，则有 cosθ＝ ＝ ，得 ρcosθ＝2.|OB||OP| 2ρ11．(2015·湖南)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ，则曲线 C 的直角坐标方程为________．答案 x 2＋y 2－2y＝0解析 两边同乘以 ρ，得 ρ 2＝2ρsinθ，即 x2＋y 2＝2y，故曲线 C 的直角坐标方程为x2＋y 2－2y＝0.12．(2015·北京)在极坐标系中，点(2， )到直线 ρ(cosθ＋ sinθ)＝6 的距离为π 3 3________．答案 1解析 点(2， )的直角坐标为(1， )，直线 ρ(cosθ＋ sinθ)＝6 的直角坐标方程为π 3 3 3x＋ y－6＝0，所以点(1， )到直线的距离 d＝ ＝1.3 3|1＋ 3×3－ 6|1＋ 313．在极坐标系中，设曲线 C1：ρ＝2sinθ 与 C2：ρ＝2cosθ 的交点分别为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为________．4答案 ρsinθ＋ρcosθ＝1(或 ρsin(θ＋ )＝ )π 4 22解析 曲线 C1：ρ＝2sinθ 的直角坐标方程为 x2＋y 2－2y＝0，曲线 C2：ρ＝2cosθ 的直角坐标方程为 x2＋y 2－2x＝0，所以 AB 的方程为－x＋y＝0.又易知 AB 的垂直平分线斜率为－1，经过圆 C1的圆心(0，1)，所以 AB 的垂直平分线的方程为 x＋y－1＝0，化为极坐标方程为 ρsinθ＋ρcosθ＝1，或化成 ρsin(θ＋ )＝ .π 4 2214．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的圆心的极坐标为( ， )，半径 r＝ ，点 P 的极坐标为(2，π)，过 P 作直线 l 交2π 4 2圆 C 于 A，B 两点．(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)求|PA|·|PB|的值．答案 (1)(x－1) 2＋(y－1) 2＝2 (2)8解析 (1)圆 C 的圆心的极坐标 C( ， )，2π 4∴x＝ cos ＝1，y＝ sin ＝1，2π 4 2 π 4∴圆 C 的直角坐标方程为(x－1) 2＋(y－1) 2＝2.(2)点 P 的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为 P(－2，0)．当直线 l 与圆 C 相切于点 D 时，则|PD|2＝|PC| 2－r 2＝(－2－1) 2＋(0－1) 2－( )2＝8.2∴|PA|·|PB|＝|PD| 2＝8.15．(2016·河北唐山三模)在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 ρsinθ＝2，M 是C1上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点 P 的轨迹为 C2.(1)求曲线 C2的极坐标方程；(2)求曲线 C2上的点到直线 C3：ρcos(θ＋ )＝ 距离的最大值．π 4 2答案 (1)ρ＝2sinθ(ρ≠0) (2)1＋322解析 (1)设 P(ρ，θ)，M(ρ 1，θ)，依题意有ρ 1sinθ＝2，ρρ 1＝4.消去 ρ 1，得曲线 C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ(ρ≠0)．(2)将 C2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2：x 2＋(y－1) 2＝1，C 3：x－y＝2.5C2是以点(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线 C3的距离 d＝ ，故曲线 C2上的322点到直线 C3距离的最大值为 1＋ .32216．(2014·辽宁)将圆 x2＋y 2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1) (t 为参数) (2)ρ＝{x＝ cost，y＝ 2sint， ) 34sinθ － 2cosθ解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为 C 上点(x，y)，依题意，得{x＝ x1，y＝ 2y1， )由 x12＋y 12＝1 得 x2＋( )2＝1，即曲线 C 的方程为 x2＋ ＝1.y2 y24故 C 的参数方程为 (t 为参数){x＝ cost，y＝ 2sint， )(2)由 解得 或{x2＋ y24＝ 1，2x＋ y－ 2＝ 0， ) {x＝ 1，y＝ 0， ) {x＝ 0，y＝ 2.)不妨设 P1(1，0)，P 2(0，2)，则线段 P1P2的中点坐标为( ，1)，所求直线斜率为 k＝ ，于12 12是所求直线方程为 y－1＝ (x－ )，化为极坐标方程，并整理得12 122ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即 ρ＝ .34sinθ － 2cosθ1．(2016·广东肇庆一模)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2(ρ0，0≤θ2π)，曲线 C在点(2， )处的切线为 l，以极点为坐标原点，以极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，π 4则 l 的直角坐标方程为________．答案 x＋y－2 ＝02解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线 ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2， )⇒(π 4， )．因为点( ， )在圆 x2＋y 2＝4 上，故圆在点( ， )处的切线方程为2 2 2 2 2 2x＋ y＝4⇒x＋y－2 ＝0，故填 x＋y－2 ＝0.2 2 2 262．在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρcosθ＝5，则点(4， )到直线 l 的距离为π 3________．答案 3解析 在直角坐标系中，直线 l 的方程为 x＝5.在直角坐标系中，x＝4cos ＝2，y＝4sin ＝2 ，故点(4， )的直角坐标为(2，2 )，π 3 π 3 3 π 3 3到直线 x＝5 的距离为 5－2＝3.3．在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋ )＝2 被圆 ρ＝2 截得的弦长为________．π 4答案 4 3解析 直线 ρsin(θ＋ )＝2 的直角坐标方程为 x＋y－2 ＝0，圆 ρ＝4 的直角坐标方π 4 2程为 x2＋y 2＝16.圆心的坐标是(0，0)，半径是 4，圆心到直线的距离 d＝ ＝2，所|－ 22|12＋ 12以直线 ρsin(θ＋ )＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长是 2 ＝4 .π 4 42－ 22 34．在极坐标系中，曲线 C1：ρ＝2 与曲线 C2：ρ＝4sinθ( θπ)交点的极坐标是π 2________．答案 (2， )5π6解析 由题意分析可得，曲线 C1是圆心为(0，0)，半径为 2 的圆，曲线 C1的方程为x2＋y 2＝4.对 ρ＝4sinθ 变形得 ρ 2＝4ρsinθ，所以曲线 C2的方程为 x2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得 或 又∵ θπ，∴交点为(－ ，1)，转化为极坐标{x＝ 3，y＝ 1， ) {x＝ － 3，y＝ 1. ) π 2 3ρ＝2，tanθ＝ ，由题意 θ＝ ，所以交点的极坐标为(2， )．1－ 3 5π6 5π65．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2， )到直线 ρsin(θ－ )＝1 的距离是________．π 6 π 6答案 1解析 ρsin(θ－ )＝ρ(sinθcos －sin cosθ)＝1，π 6 π 6 π 6因为在极坐标系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直线可化为 x－ y＋2＝0.3同理点(2， )可化为( ，1)，π 6 37所以点到直线距离 d＝ ＝1.|3－ 3＋ 2|3＋ 16．(2016·唐山模拟)已知圆 C：x 2＋y 2＝4，直线 l：x＋y＝2.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|＝|OR| 2，当点P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程．答案 (1)C：ρ＝2 l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2 (2)ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)解析 (1)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)设 P，Q，R 的极坐标分别为(ρ 1，θ)，(ρ，θ)，(ρ 2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR| 2得 ρρ 1＝ρ 22.又 ρ 2＝2，ρ 1＝ ，2cosθ ＋ sinθ所以 ＝4，2ρcosθ ＋ sinθ故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．7．已知极坐标方程 C1：ρ＝10，C 2：ρsin(θ－ )＝6.π 3(1)化 C1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求 C1，C 2交点间的距离．答案 (1)C 1：x 2＋y 2＝100，C 2： x－y＋12＝0 (2)163解析 (1)由 C1：ρ＝10，得 ρ 2＝100.∴x 2＋y 2＝100.所以 C1为圆心在(0，0)，半径等于 10 的圆．由 C2：ρsin(θ－ )＝6，得 ρ( sinθ－ cosθ)＝6.π 3 12 32∴y－ x＝12，即 x－y＋12＝0.3 3所以 C2表示直线．(2)由于圆心(0，0)到直线 x－y＋12＝0 的距离为 d＝ ＝610，3|12|（ 3） 2＋ （ － 1） 2所以直线 C2被圆截得的弦长等于 2 ＝16.102－ 628．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρcos(θ－ )＝1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．π 3(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；8(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．答案 (1)x＋ y－2＝0，M(2，0)，N( ， )3233 π 2(2)θ＝ ，ρ∈Rπ 6解析 (1)由 ρcos(θ－ )＝1，得π 3ρ( cosθ＋ sinθ)＝1.12 32从而 C 的直角坐标方程为 x＋ y＝1，12 32即 x＋ y＝2.3当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2，0)；当 θ＝ 时，ρ＝ ，所以 N( ， )．π 2 233 233 π 2(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为(0， )．所以 P 点的直角坐标为(1， )，233 33则 P 点的极坐标为( ， )．233 π 6所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝ ，ρ∈(－∞，＋∞)．π 6