1、1题组层级快练(七十三)1.如图，在ABC 中，AEDB，DE6，AB10，AE8，则 BC 的长为( )A. B7154C. D.152 245答案 C解析 由已知条件AEDB，A 为公共角，所以ADEACB，则有 ，从而DEBC AEABBC .选 C.6108 1522.如图，E 是ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 DCBE32，则 ADBF( )A53 B52C32 D21答案 B解析 由题可得BEFCDF， ， 1 .DCBE DFEF 32 ADBF DEEF DFEF 523.如图，DEBC，DFAC，AD4 cm，BD8 cm，DE5 cm，则线段 BF 的长为( )A
2、5 cm B8 cmC9 cm D10 cm答案 D解析 DEBC，DFAC，四边形 DECF 是平行四边形FCDE5 cm.DFAC， .BFFC BDDA2即 ，BF10 cm.BF5 844.如图，ACB90，CDAB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则( )ACECBADDB BCECBADABCADABCD 2 DCEEBCD 2答案 A解析 在直角三角形 ABC 中，根据直角三角形射影定理可得 CD2ADDB，再根据切割线定理可得 CD2CECB.所以 CECBADDB.5RtABC 中，CAB90，ADBC 于 D，ABAC32，则 CDBD( )A32 B2
3、3C94 D49答案 D解析 由ABDCBA，得 AB2BDBC.由ADCBAC，得 AC2DCBC. ，即 CDBD49.CDBCBDBC AC2AB2 496.如图所示，在ABCD 中，BC24，E，F 为 BD 的三等分点，则 BMDN( )A6 B3C2 D4答案 A解析 E，F 为 BD 的三等分点，四边形 ABCD 为平行四边形，M 为 BC 的中点连 CF 交AD 于 P，则 P 为 AD 的中点，由BCFDPF 及 M 为 BC 中点知，N 为 DP 的中点，BMDN1266，故选 A.7.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB12，AD10，将此矩形折叠使点 B 落在 AD 边
4、的中点 E处，则折痕 FG 的长为( )3A13 B.635C. D.656 212答案 C解析 过 A 作 AHFG 交 DG 于 H，则四边形 AFGH 为平行四边形AHFG.折叠后 B 点与 E 点重合，折痕为 FG，B 与 E 关于 FG 对称BEFG，BEAH.ABEDAH，RtABERtDAH. .BEAB AHADAB12，AD10，AE AD5，BE 13.12 122 52FGAH .BEADAB 6568.如图，在ABC 中，DEBC，EFCD，若 BC3，DE2，DF1，则 AB 的长为_答案 92解析 ， .BC3，DE2，DF1，解得 AB .ADAB DEBC 23
5、 DFAD CEAC 13 929.如图，在 RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，CD6，且 ADBD32，则斜边 AB 上的中线 CE 的长为_答案 5624解析 CD 2BDAD，设 BD2k，则 AD3k，366k 2，k ，AB5k5 .6 6CE AB .12 56210. (2016广东梅州联考)如图，在ABC 中，BC4，BAC120，ADBC，过 B 作 CA的垂线，交 CA 的延长线于 E，交 DA 的延长线于 F，则 AF_答案 433解析 设 AEx，BAC120，EAB60.又 ，AEBE x3x 13在 RtAEF 与 RtBEC 中，F90EAF90DACC
6、，AEFBEC， .AFBC AEBEAF4 .13 43311(2015江苏)如图，在ABC 中，ABAC，ABC 的外接圆O 的弦 AE 交 BC 于点 D.求证：ABDAEB.答案 略证明 因为 ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE 为公共角，可知ABDAEB.12.如图，在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，DFAC 于 F，DEAB 于 E，求证：AD3BCBECF.5答案 略证明 在 RtABC 中，因为 ADBC，所以 AD2BDDC，且 ADBCABAC.在 RtABD 和 RtADC 中，因为 DEAB，DFAC，由射影定理，得 BD2BEB
7、A，DC 2CFAC.所以 BD2DC2BEBACFACBECFADBCAD 4.所以 AD3BCBECF.13. (2016甘肃河西三校第一次联考)如图，ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC 的面积 S ADAE，求BAC 的大小12答案 (1)略 (2)90解析 (1)证明：由已知条件，可得BAECAD.因为AEB 与ACB 是同弧所对的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因为ABEADC，所以 ，即 ABACADAE.ABAE ADAC又 S ABACsinBAC，且 S ADAE，12 12故 ABACsinBAC
8、ADAE.则 sinBAC1，又BAC 为三角形内角，所以BAC90.14. (2016沧州七校联考)如图，点 A 为圆外一点，过点 A 作圆的两条切线，切点分别为B，C，ADE 是圆的割线，连接 CD，BD，BE，CE.6(1)求证：BECDBDCE；(2)延长 CD，交 AB 于点 F，若 CEAB，证明：F 为线段 AB 的中点答案 (1)略 (2)略证明 (1)如图，由题意可得ACDAEC，CADEAC，ADCACE， .CDCE ACAE同理ADBABE， .又ABAC，BDBE ABAE ，BECDBDCE.CDCE BDBE(2)如图，由切割线定理，得 FB2FDFC.CEAB，
9、FADAEC.又AC 切圆于 C，ACDAEC，FADFCA，又FF，AFDCFA， ，即 AF2FDFC.AFCF FDAFFB 2AF 2，即 FBFA，F 为线段 AB 的中点1.如图， 在ABC 中，AEEDDC，FEMDBC，FD 的延长线交 BC 的延长线于点 N，且EF1，则 BN( )A2 B3C4 D6答案 C解析 FEMDBC，AEEDDC， ， .EFBC AEAC 13 EFCN EDDC 117EFCN， .EFBN EFBC CN 14BN4EF4.(或由FDENDCEFCN)2如图，在直角梯形 ABCD 中，上底 AD ，下底 BC3 ，与两底垂直的腰 AB6，在
10、3 3AB 上选取一点 P，使PAD 和PBC 相似，则这样的点 P( )A有 1 个 B有 2 个C有 3 个 D不存在答案 B解析 设 APx.(1)若ADPBPC，则 ，ADBP APBC即 ，所以 x26x90，解得 x3.36 x x33(2)若ADPBCP，则 ，ADBC APBP即 ，解得 x .333 x6 x 32符合条件的点 P 有两个故选 B.3如图，AC 为O 的直径，BDAC 于 P，PC2，PA8，则 CD 的长为_，cosACB_答案 2 ，555解析 由射影定理，得CD2CPCA210.CD2 .58cosACBsinAsinD .CPCD 225 554.如图
11、，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，DEBC，且 2，那么ADE 与四边形ADDBDBCE 的面积比是_答案 45解析 DEBC，ADEABC， 2， .ADDB ADAB 23故 ， .S ADES ABC 49 S ADES四 边 形 DBCE 455.如图，等边三角形 DEF 内接于ABC，且 DEBC，已知 AHBC 于点 H，BC4，AH ，3则DEF 的边长为_答案 43解析 设 DEx，AH 交 DE 于点 M，显然 MH 的长度与等边三角形 DEF 的高相等，又DEBC，则 ，所以 ，解得 x .DEBC AMAH AH MHAH x4 3 32x3 2 x2 4
12、36(2016贵阳市高三适应性监测考试)如图，已知圆 O 两弦 AB 与 CD 交于点E，EFAD，EF 与 CB 延长线交于点 F，FG 切圆 O 于点 G.(1)求证：BEFECF；(2)求证：FGEF.证明 (1)因为 EFAD，所以FEADAB.9又DABBCD，所以FEBFCD.又BFEBFE，所以BEFECF.(2)由(1)得 ，所以 EF2FCFB.EFFC FBFE又因为 FG2FBFC，所以 EF2FG 2.所以 FGEF.1题组层级快练(七十四)1. (2016天津和平区模拟)如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，ABC50，则DAB 等于( )A55 B6
13、0C65 D70答案 C解析 如图，连接 BD，AB 是半圆的直径，ADB90，点 D 是 的中点，AC ABDCBD.ABC50，ABD25.DAB902565.故选 C.2.如图所示，在半径为 2 的O 中，AOB90，D 为 OB 的中点，AD 的延长线交O 于点E，则线段 DE 的长为( )A. B.55 255C. D.355 32答案 C解析 延长 BO 交圆 O 于点 F，由 D 为 OB 的中点，知 DF3，DB1.又AOB90，所以AD .由相交弦定理知 ADDEDFDB，即 DE31，解得 DE .5 535523.如图所示，E，C 分别是A 两边上的点，以 CE 为直径的
14、O 交A 的两边于 D，B，若A45，则AEC 与ABD 的面积比为( )A21 B12C. 1 D. 12 3答案 A解析 连接 BE，易知ABDAEC，求AEC 与ABD 的面积比即求 AE2AB 2的值，设ABa，A45，CE 为O 的直径，CBEABE90.BEABa，AE a.2AE 2AB 22a 2a 2.AE 2AB 221，S AEC S ABD 21.4(2014天津)如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于点E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD 平分CBF；FB 2FDFA；AECEB
15、EDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是( )A BC D答案 D解析 因为BADFBD，DBCDAC，又 AE 平分BAC，所以BADDAC，所以FBDDBC，所以 BD 平分CBF，结论正确；易证ABFBDF，所以 ，所以ABAF BDBFABBFAFBD，结论正确；由 ，得 BF2AFDF，结论正确，选 D.AFBF BFDF35(2015重庆)如图，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA6，AE9，PC3，CEED21，则 BE_答案 2解析 由切割线定理，知 PA2PCPD，即 623PD，解得 PD12，所以
16、 CDPDPC9，所以 CE6，ED3.由相交弦定理，知 AEBECEED，即 9BE63，解得 BE2.6(2015湖北)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且 BC3PB，则_ABAC答案 12解析 因为 PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA2PBPCPB(PBBC)因为 BC3PB，所以 PA24PB 2，即 PA2PB.由PABPCA，所以 .ABAC PBPA 127(2015广东)如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB4，EC 是圆 O 的切线，切点为C，BC1.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D
17、 和点 P，则 OD_答案 8解析 由题意得 OP BC ，OA2，于是 PACP .12 12 22 （ 12） 2 152因为DCPBPOA，又DPCAPO，所以DCPAOP，故 ，即 PD PDPA PCPO15212 ，所以 OD 8.152 152 152 1248.如图，PT 是圆 O 的切线，PAB 是圆 O 的割线，若 PT2，PA1，P60，则圆 O 的半径为_答案 3解析 连接 AT，BT.在APT 中，P60，PT2，PA1，则由余弦定理得AT ，TAP90，BAT90，BT 是圆 O 的直径，PT 是圆 O 的切线，PAB3是圆 O 的割线，PT 2PAPB， .又P
18、为公共角，PATPTPB PAPTPTB， ，得 BT2 ，因此圆的半径为 .PTPA BTAT 3 39如图，PAB，PCD 为圆 O 的两条割线，若 PA5，AB7，CD11，AC2，则BD_答案 6解析 因为 PAB，PCD 为圆 O 的两条割线，所以 PAPBPCPD.因为PA5，AB7，CD11，所以 PB5712，PDPCCDPC11，所以512PC(PC11)，PC 211PC600，(PC15)(PC4)0.因为 PC 大于 0，所以PC150，所以 PC40，PC4.因为PACD(圆内接四边形的任一外角等于它的内对角)，又PP，所以PACPDB，所以 .因为 AC2，PB12
19、，PC4，所以BDAC PBPC ，所以 BD6.BD2 12410.如图，圆 O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 P，CP ，PD5，AP1，则DCB_75答案 455解析 由相交弦定理可得 CPPDAPPB，PB 7.直径CPPDAP 75512RAPPB178，半径 R4.OPOAAP413.连接 DO，在ODP 中，OP2OD 23 24 25 2PD 2，POD90.连接 BD，由DOB 为等腰直角三角形可得 DB R.2由正弦定理可得 2R，DBsin DCB DBsin AsinDCB ，DB2R 22由图可知，DCB 为锐角，DCB45.11.如图，BD 是半圆 O 的直径，
20、A 在 BD 的延长线上，AC 与半圆相切于点 E，ACBC，若AD2 ，AE6，则 EC_3答案 3解析 如图，连接 OE.由切割线定理得 AE2ADAB，AB 6 ，OEODOB (ABAD)2 ，由于6223 3 12 3E 是切点，OEAC，又 ACBC，OEBC， ，即 ，EC3.AEEC AOOB 6EC 23 232312.如图，BD 是O 的直径，E 是O 上的一点，直线 CE 交 BD 的延长线于 A 点，BCAE 于C 点，且CBEDBE.求证：AC 是O 的切线答案 略6证明 连接 OE，由 OEOB，得OEBOBE.CBEDBE，CBEOEB.OEBC.又 BCAE，O
21、EAC.AC 是O 的切线13(2016内蒙古赤峰宁城月考)如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，BAC 的平分线 AD 交O 于 D，过点 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点 F.若 .ACAB 35(1)求证：ODAE；(2)求 的值AFFD答案 (1)略 (2)85解析 (1)证明：连接 BC，设 BC 交 OD 于点 M.因为 OAOD，所以OADODA.又因为OADDAE，所以ODADAE，所以 ODAE.(2)因为 ACBC，且 ACDE，所以 BCDE.所以四边形 CMDE 为平行四边形，所以 CEMD.由 ，设 AC3x，AB5x，则
22、 OM x.ACAB 35 32又 OD x，所以 MD x xx，所以 AEACCE4x.52 52 32因为 ODAE，所以 .AFFD AEOD 4x52x 85714(2016江西六校第二次联考)如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上两点，AC 与 BD相交于点 E，GC，GD 是圆 O 的切线，点 F 在 DG 的延长线上，且 DGGF.求证：(1)D，E，C，F 四点共圆；(2)GEAB.答案 略证明 (1)如图，连接 OC，OD，则 OCCG，ODDG，设CAB1，DBA2，ACO3，COB21，DOA22.所以DGC180DOC2(12)因为DGC2F，所以F12.
23、又因为DECAEB180(12)，所以DECF180，所以 D，E，C，F 四点共圆(2)延长 GE 交 AB 于 H.因为 GDGCGF，所以点 G 是经过 D，E，C，F 四点的圆的圆心所以 GEGC，所以GCEGEC.又因为GCE390，13，所以GEC190，所以AEH190，所以EHA90，即 GEAB.15如图，四边形 ABDC 内接于圆，BDCD，过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点(1)求证：EAC2DCE；(2)若 BDAB，BCBE，AE2，求 AB 的长答案 (1)略 (2)AB 15解析 (1)证明：因为 BDCD，所以BCDCBD.8因为 CE 是圆的切
24、线所以ECDCBD.所以ECDBCD，所以BCE2ECD.因为EACBCE，所以EAC2ECD.(2)因为 BDAB，所以 ACCD，ACAB.因为 BCBE，所以BECBCEEAC，所以 ACEC.由切割线定理得 EC2AEBE，即 AB2AE(AEAB)，即 AB22AB40，解得AB 1.516. (2015陕西)如图，AB 切O 于点 B，直线 AO 交O 于 D，E 两点，BCDE，垂足为 C.(1)证明：CBDDBA；(2)若 AD3DC，BC ，求O 的直径2答案 (1)略 (2)3解析 (1)证明：因为 DE 为O 的直径，则BEDEDB90，又 BCDE，所以CBDEDB90
25、，从而CBDBED.又 AB 切O 于点 B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知 BD 平分CBA，则 3，又 BC ，从而 AB3 .BABC ADCD 2 2所以 AC 4，所以 AD3.AB2 BC2由切割线定理得 AB2ADAE，即 AE 6，AB2AD故 DEAEAD3，即O 的直径为 3.1. 如图，若 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD58，则BCD_答案 329解析 根据直径所对的圆周角为直角可得ADB90，根据ABD58可得A32，根据同弧所对的圆周角相等可得BCDA32.2如图，BC 是圆 O 的一条弦，延长 BC 至点 E，使得 BC2CE2，过
26、 E 作圆 O 的切线，A为切点，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，则 DE 的长为_答案 3解析 由切割线定理得 AE2ECEB133，所以 AE .因为 AD 是BAC 的平分线，3所以BADCAD.因为 AE 是圆 O 的切线，所以EACABC.因为ADCBADABC，所以ADCBADEACEAD，所以 DEAE .33.如图所示，已知 AB，BC 是O 的两条弦，AOBC，AB ，BC2 ，则O 的半径等于3 2_答案 1.5解析 设O 的半径为 r，BC 与 AO 交于点 D，因为 AB，BC 是O 的两条弦，AOBC，AB， BC2 ，所以 AD1，所以 r22(r1)
27、2，解得 r1.5.3 24.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且 ，则 _PBBC 12 PABC答案 32解析 由题意，可设 PBx，则 BC2x，根据切割线定理，可得 PA2PBPC3x 2，PAx，所以 .3PABC 32105.如图，过点 P 作圆 O 的割线 PAB 与切线 PE，E 为切点，连接 AE，BE，APE 的平分线与AE，BE 分别交于点 C，D，若AEB30，则PCE_答案 75解析 PE 是圆的切线，PEBPAC.PC 是APE 是平分线，EPCAPC，根据三角形的外角与内角关系有EDCPEBEPC，ECDPACAPC，EDCECD，EDC 为
28、等腰三角形又AEB30，EDCECD75，即PCE75.6.如图，PB 为ABC 外接圆 O 的切线，BD 平分PBC，交圆 O 于 D，点 C，D，P 共线若ABBD，PCPB，PD1，则圆 O 的半径是_答案 2解析 如图所示，连接 AD，PB 为圆 O 的切线，PBDBCDBAD.BD 为PBC 的平分线，PBDCBD，PDBCBDBCDPBDPBD2PBD.又PCPB，PBDBCDCBDBAD30，PDB60.由 PD1，得 BD2PD2.在ABD 中，ABBD，AD 是圆 O 的直径，且直径 AD2BD4，圆 O 的半径为 2.7.如图，已知O 的割线 PAB 交O 于 A，B 两点
29、，割线 PCD 经过圆心，若PA3，AB4，PO5，则O 的半径为_答案 2解析 设圆的半径为 r，PA3，PB7，PC5r，PD5r，由割线定理11PAPBPCPD，得 37(5r)(5r)，解得 r2.8.已知O 1和O 2交于点 C 和点 D，O 1上的点 P 处的切线交O 2于 A，B 两点，交直线 CD于点 E，M 是O 2上的一点，若 PE2，EA1，AMB45，那么O 2的半径为_答案 322解析 由切线定理和割线定理可知，PE 2ECEDEA(EAAB)，将 PE2，EA1 代入，得 AB3.连接 AO2，BO 2，由AMB45可得ABO 2为等腰直角三角形，所以O 2的半径r
30、 AB .22 3229.如图所示，圆 O 的两条弦 AB 和 CD 交于点 E，EFCB，EF 交 AD 的延长线于点 F，FG 切圆O 于点 G.(1)求证：DEFEAF；(2)如果 FG1，求 EF 的长答案 (1)略 (2)1解析 (1)证明：因为 EFBC，所以DEFECB.又因为ECBA，所以DEFA，又DFE 为公共角，所以DEFEAF.(2)由(1)知DEFEAF，所以 ，即 EF2AFDF.又因为 FG 为切线，所以EFAF DFEFFG2FDFA，所以 EFFG1.10.如图，AB 是O 的一条切线，切点为 B，直线 ADE，CFD，CGE 都是O 的割线，已知ACAB.(
31、1)求证：FGAC；12(2)若 CG1，CD4，求 的值DEGF答案 (1)略 (2)4解析 (1)证明：因为 AB 为切线，AE 为割线，所以 AB2ADAE.又因为 ACAB，所以 ADAEAC 2，所以 .ADAC ACAE又因为EACDAC，所以ADCACE，所以ADCACE.又因为ADCEGF，所以EGFACE，所以 FGAC.(2)由题意可得 G，E，D，F 四点共圆，所以CGFCDE，CFGCED.所以CGFCDE，所以 .EDGF CDCG又因为 CG1，CD4，所以 4.DEGF1题组层级快练(七十五)1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C 变为曲线x 5x，
32、y 3y)x 2y 21，则曲线 C 的方程为( )A25x 29y 21 B9x 225y 21C25x9y1 D. 1x225 y29答案 A2极坐标方程 cos 化为直角坐标方程为( )A(x )2y 2 Bx 2(y )212 14 12 14Cx 2(y )2 D(x )2y 212 14 12 14答案 D解析 由 cos，得 2cos，x 2y 2x.选 D.3设点 M 的直角坐标为(1， ，3)，则它的柱坐标为( )3A(2， ，3) B(2， ，3) 3 23C(2， ，3) D(2， ，3)43 53答案 C4极坐标方程 cos2sin2 表示的曲线为( )A一条射线和一个
33、圆 B两条直线C一条直线和一个圆 D一个圆答案 C5(2016北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( )A1 B 2Csin1 D(sincos)1答案 A解析 1 化为直角坐标方程为 x2y 21，表示圆心在原点，半径为 1 的圆，故 A 正确； 化为直角坐标方程为 x0(y0)，表示射线，故 B 不正确；sin1 化为直角坐 2标方程为 y1，表示直线，故 C 不正确；(sincos)1 化为直角坐标方程为xy1，表示直线，故 D 不正确6在极坐标系中，过点(2， )且与极轴平行的直线方程是( ) 22A0 B 2Ccos2 Dsin2答案 D解析 极坐标为(2， )的点的直角坐标为
34、(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为 2y2，其极坐标方程为 sin2，故选 D.7在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( )A(1， ) B(1， ) 2 2C(1，0) D(1，)答案 B解析 由 2sin 得 22sin，化成直角坐标方程为 x2y 22y，化成标准方程为 x2(y1) 21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为(1， ) 28在极坐标系中，点(2， )到圆 2cos 的圆心的距离为( ) 3A2 B.4 29C. D.9 29 7答案 D解析 在直角坐标系中，点(2， )的直角坐标为(1， )，圆 2cos 的直角坐 3 3标方程为 x2y 22x，即
35、(x1) 2y 21，圆心为(1，0)，所以所求距离为 .故选 D.（ 1 1） 2 （ 3 0） 2 79(2016皖北协作区联考)在极坐标系中，直线 ( cossin)2 与圆34sin 的交点的极坐标为( )A(2， ) B(2， ) 6 3C(4， ) D(4， ) 6 3答案 A解析 ( cossin)2 可化为直角坐标方程 xy2，即 y x2.3 3 34sin 可化为 x2y 24y，把 y x2 代入 x2y 24y，得 4x28 x120，即3 3x22 x30，所以 x ，y1.3 33所以直线与圆的交点坐标为( ，1)，化为极坐标为(2， )，故选 A.3 610在极坐
36、标系中，与圆 4sin 相切的一条直线的方程是( )Asin2 Bcos2Ccos4 Dcos4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程 4sin 即 24sin，所以直角坐标方程为x2y 24y0.选项 A，直线 sin2 的直角坐标方程为 y2，代入圆的方程，得 x24，x2，不符合题意；选项 B，直线 cos2 的直角坐标方程为 x2，代入圆的方程，得(y2)20，y2，符合题意同理，以后选项都不符合题意方法二：如图，C 的极坐标方程为 4sin，COOx，OA 为直径，|OA|4，直线 l 和圆相切，l 交极轴于点 B(2，0)，点 P(，)为 l 上任意一点，则有 cos ，得 cos2
37、.|OB|OP| 211(2015湖南)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为_答案 x 2y 22y0解析 两边同乘以 ，得 22sin，即 x2y 22y，故曲线 C 的直角坐标方程为x2y 22y0.12(2015北京)在极坐标系中，点(2， )到直线 (cos sin)6 的距离为 3 3_答案 1解析 点(2， )的直角坐标为(1， )，直线 (cos sin)6 的直角坐标方程为 3 3 3x y60，所以点(1， )到直线的距离 d 1.3 3|1 33 6|1 313在极坐
38、标系中，设曲线 C1：2sin 与 C2：2cos 的交点分别为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为_4答案 sincos1(或 sin( ) ) 4 22解析 曲线 C1：2sin 的直角坐标方程为 x2y 22y0，曲线 C2：2cos 的直角坐标方程为 x2y 22x0，所以 AB 的方程为xy0.又易知 AB 的垂直平分线斜率为1，经过圆 C1的圆心(0，1)，所以 AB 的垂直平分线的方程为 xy10，化为极坐标方程为 sincos1，或化成 sin( ) . 4 2214在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的圆
39、心的极坐标为( ， )，半径 r ，点 P 的极坐标为(2，)，过 P 作直线 l 交2 4 2圆 C 于 A，B 两点(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)求|PA|PB|的值答案 (1)(x1) 2(y1) 22 (2)8解析 (1)圆 C 的圆心的极坐标 C( ， )，2 4x cos 1，y sin 1，2 4 2 4圆 C 的直角坐标方程为(x1) 2(y1) 22.(2)点 P 的极坐标为(2，)，化为直角坐标为 P(2，0)当直线 l 与圆 C 相切于点 D 时，则|PD|2|PC| 2r 2(21) 2(01) 2( )28.2|PA|PB|PD| 28.15(2016河北唐山
40、三模)在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 sin2，M 是C1上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP|OM|4，记点 P 的轨迹为 C2.(1)求曲线 C2的极坐标方程；(2)求曲线 C2上的点到直线 C3：cos( ) 距离的最大值 4 2答案 (1)2sin(0) (2)1322解析 (1)设 P(，)，M( 1，)，依题意有 1sin2， 14.消去 1，得曲线 C2的极坐标方程为2sin(0)(2)将 C2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2：x 2(y1) 21，C 3：xy2.5C2是以点(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线 C3的距离
41、 d ，故曲线 C2上的322点到直线 C3距离的最大值为 1 .32216(2014辽宁)将圆 x2y 21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程答案 (1) (t 为参数) (2)x cost，y 2sint， ) 34sin 2cos解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为 C 上点(x，y)，依题意，得x x1，y 2y1， )由 x12y 12
42、1 得 x2( )21，即曲线 C 的方程为 x2 1.y2 y24故 C 的参数方程为 (t 为参数)x cost，y 2sint， )(2)由 解得 或x2 y24 1，2x y 2 0， ) x 1，y 0， ) x 0，y 2.)不妨设 P1(1，0)，P 2(0，2)，则线段 P1P2的中点坐标为( ，1)，所求直线斜率为 k ，于12 12是所求直线方程为 y1 (x )，化为极坐标方程，并整理得12 122cos4sin3，即 .34sin 2cos1(2016广东肇庆一模)已知曲线 C 的极坐标方程为 2(0，02)，曲线 C在点(2， )处的切线为 l，以极点为坐标原点，以极
43、轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系， 4则 l 的直角坐标方程为_答案 xy2 02解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线 2x 2y 24，点(2， )( 4， )因为点( ， )在圆 x2y 24 上，故圆在点( ， )处的切线方程为2 2 2 2 2 2x y4xy2 0，故填 xy2 0.2 2 2 262在极坐标系中，直线 l 的方程为 cos5，则点(4， )到直线 l 的距离为 3_答案 3解析 在直角坐标系中，直线 l 的方程为 x5.在直角坐标系中，x4cos 2，y4sin 2 ，故点(4， )的直角坐标为(2，2 )， 3 3 3 3 3到直线 x5 的距离为
44、523.3在极坐标系中，直线 sin( )2 被圆 2 截得的弦长为_ 4答案 4 3解析 直线 sin( )2 的直角坐标方程为 xy2 0，圆 4 的直角坐标方 4 2程为 x2y 216.圆心的坐标是(0，0)，半径是 4，圆心到直线的距离 d 2，所| 22|12 12以直线 sin( )2 被圆 4 截得的弦长是 2 4 . 4 42 22 34在极坐标系中，曲线 C1：2 与曲线 C2：4sin( )交点的极坐标是 2_答案 (2， )56解析 由题意分析可得，曲线 C1是圆心为(0，0)，半径为 2 的圆，曲线 C1的方程为x2y 24.对 4sin 变形得 24sin，所以曲线
45、 C2的方程为 x2y 24y.联立两个方程，解得 或 又 ，交点为( ，1)，转化为极坐标x 3，y 1， ) x 3，y 1. ) 2 32，tan ，由题意 ，所以交点的极坐标为(2， )1 3 56 565(2014陕西)在极坐标系中，点(2， )到直线 sin( )1 的距离是_ 6 6答案 1解析 sin( )(sincos sin cos)1， 6 6 6因为在极坐标系中，cosx，siny，所以直线可化为 x y20.3同理点(2， )可化为( ，1)， 6 37所以点到直线距离 d 1.|3 3 2|3 16(2016唐山模拟)已知圆 C：x 2y 24，直线 l：xy2.以
46、 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|OP|OR| 2，当点P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程答案 (1)C：2 l：(cossin)2 (2)2(cossin)(0)解析 (1)将 xcos，ysin 代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C：2，l：(cossin)2.(2)设 P，Q，R 的极坐标分别为( 1，)，(，)，( 2，)，则由|OQ|OP|OR| 2得 1 22.又 22， 1
47、，2cos sin所以 4，2cos sin故点 Q 轨迹的极坐标方程为 2(cossin)(0)7已知极坐标方程 C1：10，C 2：sin( )6. 3(1)化 C1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求 C1，C 2交点间的距离答案 (1)C 1：x 2y 2100，C 2： xy120 (2)163解析 (1)由 C1：10，得 2100.x 2y 2100.所以 C1为圆心在(0，0)，半径等于 10 的圆由 C2：sin( )6，得 ( sin cos)6. 3 12 32y x12，即 xy120.3 3所以 C2表示直线(2)由于圆心(0，0)到直线
48、xy120 的距离为 d 610，3|12|（ 3） 2 （ 1） 2所以直线 C2被圆截得的弦长等于 2 16.102 628在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos( )1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点 3(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；8(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程答案 (1)x y20，M(2，0)，N( ， )3233 2(2) ，R 6解析 (1)由 cos( )1，得 3( cos sin)1.12 32从而 C 的直角坐标方程为 x y1，12 32即 x y2.3当 0 时，2，所以 M(2，0)；当 时， ，所以 N( ， ) 2 233 233 2(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为(0， )所以 P 点的直角坐标为(1， )，233 33则 P 点的极坐标为( ， )233 6所以直线 OP 的极坐标方程为 ，(，) 6
