1、第十四单元 推理与证明、数系的 扩充与复数的引入,知识体系,第一节 合情推理与演绎推理,基础梳理,1. 合情推理（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理(简称归纳).（2）类比推理：由两类事物具有某些类似性(或一致性)推测其中一类事物也具有这些特征的推理称为类比推理.（3）合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理.2. 演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则),导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理.3. 三段论推理“如果bc,ab,则ac.”这种推理规则叫做三段论推理.,典例分析,题型一 归纳推理,【例1】如图所示：一个质点在
2、第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是 ( )A. (44,25) B. (45,25) C. (25,45) D. (24,44),分析 归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.,解 质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上； 猜想：质点到达(n,n)处，
3、走过长度单位是2+4+6+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同. 所以2 000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是（24,44）.,学后反思 归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.,举一反三,在数列an中， (nN*),试猜想这个数列的通项公式.,解析,题型二 类比推理,【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.,分析 实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比
4、较.,解 （1）两实数相加后，结果是一个实数;两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即：,a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有唯一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.,学后反思 （1）类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.（2）类比是对知识进行理线串点的好
5、方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.,举一反三,2. 类比圆的下列特征，找出球的相关特征.（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的三个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点 为圆心，r为半径的圆的方程为,解析 (1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的四个点确定一个球;(3)球的表面积与体积可求;(4)在空间直角坐标系中，以点 为球心，r为半径的球的方程为 .,题型三 演绎推理,【例3】(12分)已知函数 ,其中a0,b0,x(0,+)，
6、试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.,分析 利用演绎推理证明.,证明 设 ,.1则 . 3当 时， 6 0,即 ,.7f(x)在(0, 上是减函数；.8当 时， ,.10 0,即 ,.11f(x)在 ,+)上是增函数.12,学后反思 这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义，小前提分别是f(x)在（0, 上满足减函数的定义和f(x)在 ,+)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.,举一反三,3. 用三段论证明函数f(x)=- +2x在(-,1上是增函数.,证明 设 (-,1, (-
7、,1, 则,题型四 演绎推理在证明题中的应用,【例4】在梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.求证：AC平分BCD,DB平分CBA.,分析 在用演绎推理证明问题时，一定要按“三段论”的形式推理，当然有时可以省略大前提或小前提.,证明 如图,（1）等腰三角形两底角相等（大前提），DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰（小前提），1=2(结论).（2）两条平行线被第三条直线截出的内错角相等（大前提），1和3是平行线AD、BC被AC截出的内错角（小前提），1=3（结论）.（3）等于同一个量的两个量相等（大前提），2和3都等于1（小前提），2=3（结论），即AC平分BCD.（4）同理
8、DB平分CBA.,学后反思 证明中如果把（4）也详细地写出，则一共通过六次三段论的形式，因此一个命题的证明形式，确切地应叫做复合三段论的形式，或说命题的推证方法是复合三段论；但是事实上，每一次三段论的大前提并不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面三段论的结论，也就不再写出了，如例3的证明可写成：DA=DC（省略了大前提），1=2.ADBC,且被AC截得内错角为1和3（省略大前提），1=3，2=3，即AC平分BCD（省略大前提，小前提），同理可证DB平分ABC.这样，一般地，在推证命题时所采用的这种表达的方法，就叫做简化的复合三段论法,举一反三4. 在锐角三角形ABC中 ,ADBC于D.求证：
9、（1）ABD是直角三角形；(2)若M是AB的中点，则DM= AB.,解析：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形（大前提），在ABC中，ADBC，即ADB=90（小前提），所以ABD是直角三角形（结论）.（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（大前提），DM是RtADB斜边上的中线（小前提），所以DM= AB（结论）.,易错警示,【例】在RtABC中，三边长分别为a,b,c,则 .类比在三棱锥中有何结论?,错解 在三棱锥V-ABC中,有,错解分析 错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.,正解 在三棱锥V-ABC中，VAVBVC,
10、则,考点演练,11. 观察下列等式:由上面两式的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.,10. （2010宁夏银川模拟）观察下列不等式：1 , , , , ,由此猜想第n个不等式.,解析: 由1 ， 可猜想第n个不等式为,答案:,解析 由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为 .猜想:若-=30,则=30+,也可直接写成下面进行证明:故,12. 用“三段论”的形式写出下列演绎推理.（1）若两角是对顶角，则这两角相等，所以若两角不相等，则这两角不是对顶角.（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等.（3）0.332是有理数.（4）y=sin x（x
11、R）是周期函数.,解析： （1）两个角是对顶角，则两角相等， （大前提）1和2不相等， （小前提）1和2不是对顶角. （结论）（2）每一个矩形的对角线相等， （大前提）正方形是矩形， （小前提）正方形的对角线相等. （结论）,（3）所有的循环小数都是有理数， （大前提）0.332是循环小数， （小前提）0.332是有理数. （结论）（4）三角函数是周期函数， （大前提）y=sin x是三角函数， （小前提）y=sin x是周期函数. （结论）,第二节 直接证明与间接证明,基础梳理,1. 证明（1）证明分为 与 .直接证明包括 、 等；间接证明主要是 .（2）综合法:一般地，利用 ，经过一系列的
12、推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：一般地， 出发，逐步寻求使 ，直至最后，把要证明的结论归结为 （已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫做分析法.,直接证明,间接证明,综合法,分析法,反证法,已知条件和某些数学定义、定理、公理等,从要证明的结论,它成立的充分条件,判定一个明显成立的条件,原命题不成立,正确的推理,假设错误,证明了原命题成立,“由因导果”,（4）反证法：一般地，假设 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过 ,最后得出矛盾，因此说明 ，从而 ，这样的证明方法叫做反证法.2. 直接证明（1）综合法是 ，它是从已知条件出发，顺着推
13、证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系： B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“,”或“ ”.,（2）分析法是 ，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.3. 间接证明用反证法证明问题的一般步骤:（1） ：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2） ：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3） ：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(
14、结论成立),“执果索因”,反设,归谬,结论,典例分析,分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.,题型一 综合法的应用【例1】已知ab0，求证： .,证明 ab0,b ,即2b ,进而- -2b,a- +ba+b-2b, 即0( )2a-b,学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.,举一反三,1. 设a0,b0,a+b=1,求证： .,证明：a+b=1,当且仅当a
15、=b= 时“=”成立.,题型二 分析法的应用【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：I24S.,分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.,证明 I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,故要证I24S,只需证a2+b2+c2+2S4S,即a2+b2+c22S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0,即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0,只需证三括号中的式子均为负
16、值即可,即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb,即ab+c,ba+c,ca+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故I24S.,学后反思 (1) 应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2) 应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.,2. 若sin +cos =1,求证：sin6+cos6=1.,举一反三,证明： 由sin +cos =1 sin2+cos2+2sin cos =1 sin cos =0.欲证sin6+cos6=1,只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1,即证sin4+c
17、os4-sin2cos2=1,即证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0.由式知,上式成立，故原式成立.,题型三 反证法的应用【例3】(14分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ .求证：a,b,c中至少有一个大于0.,分析 命题伴有“至少”“不都”“都不”“没有”“至多”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.,证明 假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,.2则a+b+c0, .4而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3.
18、 .6-30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,.8a+b+c0, 10这与a+b+c0矛盾. .12因此a,b,c中至少有一个大于0. .14,学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不可能有第三种情况出现.,举一反三3. 已知a,b,c是一组勾股数，且 .求证：a,b,c不可能都是奇数.,证明： 假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数, 又a,b,c都是奇数, , , 也都是奇数, 是偶数， ,与已知 相矛盾,a,b,c不可能都是奇
19、数.,分析 证明函数是偶函数，关键是证明函数关于y轴对称，即对称轴是x=0.,题型四 利用分析综合法证明题目【例4】（12分）设f(x)=a +bx+c(a0)，若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称.求证：fx+12为偶函数.,证明 要证f(x+ )为偶函数，只需证明其对称轴为x=0，即只需证 ,只要证a=-b4由已知，抛物线f(x+1)的对称轴x= 与对称轴x= 关于y轴对称，.8即有 ,a=-b,f(x+ )为偶函数.12,学后反思 （1）本题证明的前半部分用的是分析法，要证结论成立，只需证明a=-b，后半部分用综合法证明了a=-b,这一例是典型的分析综合法证明.（2）在用分析综
20、合法证明时，可先分析再综合，也可以先综合再分析.,举一反三4. （2009豫南七校联考）数列 中， =1,n2时，其前n项的和 满足 .(1)求证：数列 是等差数列；（2）设 ，数列 的前n项和为 ，求证：,解析： （1）将 (n2)代入 得 两边取倒数得 (n2)， =2n-1(n2)，即 (n2).当n=1时，上式也成立.数列 构成以 为首项，公差为2的等差数列.（2） ,易错警示,【例】用反证法证明：若ab0,则,错解 假设 不大于 ，即 .因为a0,b0,所以 即a0,b0,所以 又由 这些都与已知条件ab0矛盾，所以,考点演练,10. 完成反证法证题的全过程.已知：a1,a2,，a7
21、是1，2，7的一个排列.求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明：假设p为奇数，则均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数= = =0.但奇数0，这一矛盾说明p为偶数.,答案: ,证明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A,则 .又由正弦定理,得 ,11. 在ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,求证： .,12. 已知a,b,c,d都是正数，且bcad,求证：,解析： a,b,c,dR+且bcad, , 又 ,不等式成立.,第三节 数学归纳法,基础梳理,1. 数学归纳法的适用对象一般地,对于某些与 有关的数学命题,我们用数学归纳法公理.2. 数学归
22、纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当 时结论正确,证明当n= 时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,正整数,n=k(kN*,且kn0),k+1,典例分析,题型一 与自然数n有关的等式的证明【例1】用数学归纳法证明：,分析 用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.,证明 （1）当n=1时，左边=124=18,右边=18,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时, 成立;,当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可得，等式对于任意nN*都成立.,学后反
23、思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.,举一反三1. 用数学归纳法证明：,解析： （1）当n=1时，左边= ,右边= ,等式成立.（2）假设n=k(kN*)时, 成立;当n=k+1时,左边= n=k+1时，等式成立.综上可得，对于任意nN*等式都成立.,题型二 用数学归纳法证明整除问题【例2】求证： （nN*）能被9整除.,分析 当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究 与 之间的关系，以便利用归纳假设 能被9整除来推证 也能被9整除.,证明 设 （1）f(1)=(31+1)7-1=27能被9整除，因此当
24、n=1时命题成立.(2)假设n=k(kN*)时命题成立，即 (kN*)能被9整除.则,由于f(k)能被9整除， 能被9整除，所以 能被9整除.由（1）、（2）知，对所有正整数n, 能被9整除.,学后反思 整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.,举一反三2. 用数学归纳法证明： (nN*)能被x+2整除.,证明： （1）当n=1时，1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除.（2）假设当n=k时， 能被x+2整除,则可设 = (f(x)为k-1次多项式).当n=k+1时， 能被x+2整除.综上可知，对任意nN*,1-(3+x)
25、n能被x+2整除.,题型三 用数学归纳法证明不等式【例3】求证： (n2,nN*).,分析 和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.,证明 （1）当n=2时，左边= ,不等式成立.（2）假设当n=k(k2,kN*)时不等式成立，即 成立,则当n=k+1时, 所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知原不等式对一切n2，nN*都成立.,学后反思 在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等.,举一反三3. 求证： (nN*).,证明： （1）当n=1时，左边= ,n=1时不等式成立.（2）假设n=k(kN*)时原不等式成立,
26、即 则当n=k+1时,左边=, 左边1,n=k+1时原不等式成立.综上可得,原不等式对于一切nN*都成立.,题型四 用数学归纳法证明有关数列问题【例4】(14分)在数列an中， ,当nN*时满足 ,且设 .求证： 各项均为3的倍数.,分析 由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证明.这里要注意 是由递推关系给出的.,证明 （1） , , , .2当n=1时， 能被3整除6（2）假设n=k(kN*)时命题成立，即bk=a4k是3的倍数.则当n=k+1时, ,.10由归纳假设， 是3的倍数，故可知 是3的倍数.当n=k+1时命题成立.12综合（1）（2）知，对任意nN*，数列 各项都是3
27、的倍数. 14,学后反思 在证n=k+1时，对 应用递推关系式裂项，裂项后需产生 项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑成3的倍数.,举一反三4. 是等比数列,公比为q.求证： 对于一切nN*都成立.,证明： （1）当n=1时， ,等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时，等式成立，即 .则当n=k+1时， 即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可得，等式对一切nN*都成立.,易错警示,【例】已知 (nN*).用数学归纳法证明 时， = .,错解,错解分析 中共有n项相加, 中应有 项相加， 中应有 项相加, 中应有 项.,正解,解析： （1）当n=1时，左边=1，右边=1,等式成立.（
28、2）假设当n=k（kN*）时等式成立,即1+4+7+(3k-2)= k(3k-1)成立；则当n=k+1时,1+4+7+(3k-2)+3(k+1)-2= k(3k-1)+(3k+1)= (3k2+5k+2)=12(k+1)(3k+2)= (k+1)3(k+1)-1,解析: 首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法.,10. （改编题）用数学归纳法证明“ 能被6整除”的过程中，当n=k+1时，对式子 应变形为： .,答案:,11. 用数学归纳法证明：1+4+7+(3n-2)= n(3n-1).,考点演练,即当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知，原等式对任意nN*都成立.,12. 已知数列 计算数
29、列和 、 、 、 ,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.,解析： 上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想 证明：（1）当n=1时，左边= ,右边= ,猜想成立.,（2）假设当n=k(kN*)时猜想成立，即 成立,则当n=k+1时, 所以当n=k+1时，猜想成立,根据（1）（2）知猜想对任意nN*都成立.,第四节 数系的扩充与复数的引入,基础梳理,a+bi,a,b,b,b=0,b0,a=0且b0,a=c且b=d,a=0且b=0,1. 复数的有关概念（1）形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中a叫做复数z的实部， 叫做复数z的虚部.对
30、于复数a+bi(a,bR),当且仅当 时，它是实数；当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数.（2）复数的相等如果a,b,c,d都是实数，那么a+bi=c+di ;a+bi=0 .,直角坐标系,实数,实轴,虚轴,原点,纯虚数,虚数,一一对应的,一一对应的,相等,互为相反数时,a-bi,2. 复平面的概念建立 来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 ,y轴叫做 .实轴上的点都表示 ;除 外，虚轴上的点都表示 ; 各象限内的点都表示 .复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 ，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是 .3. 共轭复数概念当两个复数的实部 ，虚部 ，这两个复数叫做互为共轭
31、复数，复数z的共轭复数用z表示，即 =a+bi,则 = (a,bR).,(ac)+(bd)i,交换律,结合律,4. 复数的加法与减法（1）复数的加、减法运算法则（a+bi）(c+di)= .（2）复数加法的运算定律复数的加法满足 、 ，即对任何 C,有 = .（3）复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义若复数 对应的向量 不共线，则复数 是以 为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数.复数减法的几何意义,(ac-bd)+(bc+ad)I,复数 是连接向量 的终点，并指向被减向量的向量 所对应的复数.5. 复数的乘法与除法设 =a+bi, =c+di，（1）复数的乘法运算法则 =(a+bi)(
32、c+di)= ;交换律 = ;结合律 = ;分配律 .（2）复数的除法运算法则(a+bi)(c+di)= (c+di0).,典例分析,题型一 复数的概念【例1】已知复数z= (1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?,分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.,解 z=( -3m)+( -m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;(5)由 m(m-3)0
33、, (m+2)(m-3)0,解得0m3,当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.,学后反思 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现.,举一反三1. 求适合等式（2x-1）+i=y+(y-3)i的x、y的值，其中xR，y是纯虚数.,解析： xR，y是纯虚数,可设x=a,y=bi(a,bR且b0)，代入等式得 （2a-1）+i=bi+(bi-3)i,即 2a-1+i=-b+(b-3)i, 2a-1=-b, 1=b-3, 解得 a= b=4,x= ,y=4i.,题型二 复数代数形式的运算【例2】计算,学后反思 复数除法一般是将分母实数化，即分子分
34、母同乘以分母的共轭复数再进一步化简.,分析 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和 =2i, =i等运算结果，能使运算更加简捷.,解 原式 =,2. 求7+24i的平方根.,解析： 设平方根为x+yi(x,yR),则 =7+24i,即 +2xyi=7+24i, =7, 2xy=24,解得 x=4, y=3或 x=-4, y=-3.故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i.,题型三 复数集上的代数方程【例3】(12分)已知1+i是方程 +bx+c=0的一个根（b,cR）.(1)求b,c的值;(2)试说明1-i也是方程的根.,分析 把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.,解 (
35、1)1+i是方程 +bx+c=0的根, +b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,.2 b+c=0, 2+b=0,解得 b=-2, c=2, .4b,c值为b=-2,c=2.6(2)方程为 -2x+2=0,7把1-i代入方程左边,得 -2(1-i)+2=-2i-2+2i+2=0,10即方程成立，所以1-i也是方程的根.12,学后反思 (1)对于实系数一元二次方程a +bx+c=0(a0),当 时，在复数集上有两个共轭虚根 ,根与系数的关系在复数集上仍成立.(2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解.,举一反三3. 已知关于x的方程 -(2+i)x-a+3i=0有一实根，且
36、a为实数.求a的值及方程的这个实根.,解析： 设实根为 ,则 -(2+i) -a+3i=0，整理得 -2 -a+(3- )i=0, -2 -a=0, 3- =0, 解得 =3, a=3.故a的值为3，方程的这个实根为3.,易错警示,【例】m取何实数值时，复数 是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？,错解 (1)当 =0时，即m=-5或m=2时，z是实数.(2)当 0时，即m-5且m2时，z是虚数.(3)当 =0, 0,即 m=2或m= , m-5且m2.即m= 时，z是纯虚数.,错解分析 出错的原因是漏掉了“ 在分母上不能等于0”这一条件.m5在整个问题的解决中是个易错之处，应引起注意.,
