1、- 1 -,第一节 定积分在几何上的应用,微元法平面图形的面积立体的体积平面曲线的弧长,- 2 -,一 微元法,有关的量；,而,- 3 -,其中,于是,令,得,- 4 -,- 5 -,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,- 6 -,二 平面图形的面积,1 直角坐标系平面图形的面积,- 7 -,事实上,所以得面积的微元素,- 8 -,为,- 9 -,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,- 10 -,例2,求由曲线,所围的平面图形的,面积,解法I,积分区间分别为,得,- 11 -,解法II,积分区间为,则,- 12 -,解,
2、两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,- 13 -,例4,在曲线,上求一点P，使得,直线,所围成,该点的切线与曲线,的平面图形的面积最小。,解,则切线方程为,因此,设切点为,- 14 -,所求点为,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,- 15 -,2 极坐标系下平面图形的面积,求其面积，,选积分变量,积分区间,它可以用半径为,的扇形近似代替,因此,- 16 -,同理,由连续曲线,及射线,所围的平面图形的面积为,解,利用对称性知,- 17 -,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,- 18 -,例8 求由曲线,所围成的平,面图形(如图所示阴影部分)的面积.,
3、解,因此,- 19 -,三 立体的体积,1 已知平行截面面积的立体的体积,求此立体体积.,为积分区间，,所以,- 20 -,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,- 21 -,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,- 22 -,2 旋转体体积,设空间物体是由连续曲线,求此物体的体积.,为积分区间,所以所求的物体体积为,- 23 -,同理,空间物体是由连续曲,线,此物体的体积为,解,- 24 -,相应的截面面积为,因此,- 25 -,例12,求由曲线,及,在点,处的切线和,平面图形绕,立体的体积.,解,轴围成的,轴旋转一周所得,- 26 -,解,由对称性得旋转体的体积,的参数方程为,- 27 -,例14,求由连续曲线,直线,及,轴所围的曲边梯形,绕,轴旋转一周所得立,体体积.,解,所以,- 28 -,四 平面曲线弧长,- 29 -,1 直角坐标表示的平面曲线的弧长,设曲线弧为,小切线段的长为,弧长元素,弧长,- 30 -,解,所求弧长为,解,定义域为,- 31 -,2 参数方程所表示的平面曲线的弧长,设曲线弧的参数方程为,且,则,所以,- 32 -,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,3 极坐标方程表示的平面曲线的弧长,设曲线弧为,- 33 -,弧长,解,
