1、高三理科立体几何补充练习卷1、已知 nm,为异面直线, 平面 ,n平面 .直线 l满足 ,则 （ ）,mlnlA /,且 /l B ,且 C 与 相交,且交线垂直于 lD 与 相交,且交线平行于2、已知正四棱柱 中 ,则 与平面 所成角的正弦值等于 （ 1BDAC12AC1BD）A B C D33333、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A B C D1688168164、已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （ ）A B C D 22-2+5、已知三棱柱 1CA的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为 3的正三角形.
2、若 P为底面1的中心,则 P与平面 所成角的大小为 （ ）A 2B 3CD 66、已知三棱柱 的 6 个顶点都在球 的球面上,若 , , ,则1O34ABC， AB12球 的半径为 （ ）OA B C D 37220132107、如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且 ,正 方体的六个面所在的平面与直A线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 ,那么 （ ）mnA8 B9 C 10 D118、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz中的坐标分别是 (1,0),(1)0,画该四面体三视图中的正视图时,以 zx平面为投影面 ,则得到正视图可以为 （ ）A B C D9、在空间中,过点
3、 作平面 的垂线,垂足为 ,记 .设 是两个不同的平面,对空间任意一)(AfB点 , ,恒有 ,则 （ ）P)()(21 PfQf21QA平面 与平面 垂直 B平面 与平面 所成的( 锐)二面角为 045C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的(锐)二面角为 610、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 为 BC 的中点,点 P 在线段D1E 上,点 P 到直线 CC1的距离的最小值为_.ABCDPQM（第 14 题图）11、已知圆 和圆 是球 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 的半径,OKO,且圆 与圆 所在的平面所成的一个二面角为 ,则球 的表面积等于_.32
4、 6012、如图,在三棱柱 中, 分别是ABC1FED，的中点,设三棱锥 的体积为 ,ACB， 1V三棱柱 的体积为 ,则 _.12V21:13、如图,正方体 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段1DABC上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下1C列命题正确的是 .(写出所有正确命题的编号).当 时,S 为四边形;当 时,S 为等腰梯形;02Q12Q当 时,S 与 的交点 R 满足 ;当 时,341CD13C14CQS 为六边形;当 时,S 的面积为 .6214、如图,在四面体 中, 平面 , . 是 的中点,BABD2,BDA是 的中点,点 在线段 上
5、,且 .PMQCA3(1)证明: 平面 ;/(2)若二面角 的大小为 ,求 的大小.C06立体几何传统法专项解题练习1、如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证: PACB平 面 平 面 ；(II)若 AB=2，AC=1，PA=1。求二面角 C-PB-A 的余弦值。2、如图,四棱锥 中, 与 都是等边三角形.PABCD902,BADCAPB， AD(I)证明: (II)求二面角 余弦值的大小.;P3、如图 1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点, ,ABC906BCDEACB2DE为 的中点.将 沿 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 ,其中 .OB
6、CDE3O() 证明: 平面 ; () 求二面角 的平面角的余弦值.第 5 题图4、如图所示,在三棱锥 PABQ中, 平面 ABQ, PB, ,DCEF 分别是,AQB的中点, 2D,P与 E交 于点 G, 与 Q交于点 H,连接 G.()求证: ; ()求二面角 H的余 弦值.GH/5、如图, 是圆 的直径,点 是圆 上异于 的点,直线 平面 , , 分别是 ,ABOCABPCABEFPA的中点.PC(I)记平面 与平面 的交线为 ,试判断直线 与平面 的位置EFABll关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线 与圆 的另一个交点为 ,且点 满足 .l DQ12记直线 与平面 所成的角为
7、,异面直线 与 所成的角QCPEF为 ,二面角 的大小为 ,求证: .lsinsi立体几何向量法专项解题练习1、如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA 1,BAA 1=60.()证明 ABA 1C; ()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.2、如图,在直三棱柱 中, , , ,点 是 的中点1ABCACB241ADBC(1)求异面直线 与 所成角的余弦值D(2)求平面 与 所成二面角的正弦值.3、如图,直棱柱 1ABC中, DE分别是 1,AB的中点, 12ACBA.()证明: /平面 ; ()求二面角
8、E的正弦值. ABCD11EA BCDEPA BCDEP4、如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O平面 ABCD, . 12AB() 证明: A1C平面 BB1D1D; () 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 所成的锐二面角 的大小. 5、如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，PA=AB，ABC=60，BCA =90，点 D，E 分别在棱 PB，PC 上，且 DEBC （1）求证：BC 平面 PAC；（2）当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值；（3）是否存在这样的点 E，使得二面角 A
9、-DE-P 为直二面角？OD1B1C1DACBA1高三理科立体几何补充练习卷参考答案1、已知 nm,为异面直线, 平面 ,n平面 .直线 l满足 ,则 （ ）,mlnlA /,且 /l B ,且 C 与 相交,且交线垂直于 lD 与 相交,且交线平行于 l【答案】D 2、已知正四棱柱 中 ,则 与平面 所成角的正弦值等于 （ 1BAC12AC1BD）A B C D3333【答案】A3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A B C D168816816【答案】A 4、已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （ ）A B C
10、D 22-2+1【答案】C 5、已知三棱柱 1CA的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为 3的正三角形.若 P为底面1AB的中心,则 P与平面 B所成角的大小为 （ ）A 2B 3C 4D 6【答案】B 6、已知三棱柱 的 6 个顶点都在球 的球面上,若 , , ,则1CAO34ABC， AB12球 的半径为 （ ）OA B C D 3722013210【答案】C 7、如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且 ,正 方体的六个面所在的平面与直ABC线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 ,那么mn（ ）A8 B9 C10 D11ABC1ADEF1B1C【答案】A 8、一个四面体
11、的顶点在空间直角坐标系 Oxyz中的坐标分别是 (1,0),(1)0,画该四面体三视图中的正视图时,以 zx平面为投影面 ,则得到正视图可以为 （ ）A B C D【答案】A 9、在空间中,过点 作平面 的垂线,垂足为 ,记 .设 是两个不同的平面,对空间任意一B)(Af点 , ,恒有 ,则 （ ）P)()(21 PfQf21QA平面 与平面 垂直 B平面 与平面 所成的(锐)二面角为 045C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的(锐)二面角为 6【答案】A 10、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 为 BC 的中点,点 P在线段 D1E 上,点 P 到直线
12、 CC1的距离的最小值为_.【答案】 511、已知圆 和圆 是球 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 的半OKO径, ,且圆 与圆 所在的平面所成的一个二面角为 ,则32 60球 的表面积等于_.【答案】 1612、如图,在三棱柱 中, 分别是ABC1FED，的中点,设三棱锥 的体积为 ,三棱ACB， 1V柱 的体积为 ,则 _.12V21:【答案】 :2413、如图,正方体 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段1ABCD 1D1BPACEA上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下1C列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当 时,S 为四边形;当 时,S
13、 为等腰梯形;02Q12CQ当 时,S 与 的交点 R 满足 ;当 时,S 为六边形;当 时,S341D1314CQ1CQ的面积为 .62【答案】14、如图,在四面体 中, 平面 , . 是 的中点,BCDABCD2,BDAMA是 的中点,点 在线段 上,且 .PMQQA3(1)证明: 平面 ;(2)若二面角 的大小为 ,求 的大小./ M06CABCDPQM（第 20 题图）【答案】解:证明()方法一:如图 6,取 的中点 ,且 是 中点,所以 .因为 是FMAD3FDP中点,所以 ;又因为() 且 ,所以 ,所以面BM/PFB3AQC3/QB面 ,且 面 ,所以 面 ; /QDC/PB方法
14、二:如图 7 所示,取 中点 ,且 是 中点,所以 ;取 的三等分点 ,使BDOPBM1/2PODCH,且 ,所以 ,所以 ,且3DHC3AQ1/42HAD/QHO,所以 面 ; O/PC()如图 8 所示,由已知得到面 面 ,过 作 于 ,所以 ,过 作ADBCGBDCGBMD于 ,连接 ,所以 就是 的二面角;由已知得到GHBMCHM,设 ,所以 13, cosin2cos,2cosin,2sinCDGB在 中, ,所以在 中, RTBsiniBGCRTBHG,所以在 中 22133sinHRTH2cosintantan6033CGCHGH; t(,9)6060BD立体几何大题练习1. （
15、2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证: PACB平 面 平 面 ；(II) 2 .BCPBA若 ， 1， ， 求 证 ： 二 面 角 的 余 弦 值【答案】2、如图,四棱锥 中, 与 都是等边三角形.PABCD902,BADCAPB， AD(I)证明: (II)求二面角 余弦值的大小.;PBCDAPDC【答案】3、如图 1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点,ABC906BCDEACB, 为 的中点.将 沿 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 ,其中2CDBEODE DE.
16、A() 证明: 平面 ; () 求二面角 的平面角的余弦值.C O BD EACDO BEA图 1 图 2【答案】() 在图 1 中,易得 3,2,OACDO BEAH连结 ,在 中,由余弦定理可得 EC2cos45OOD由翻折不变性可知 , 2A所以 ,所以 , 2 理可证 , 又 ,所以 平面 . EAOBCDE() 传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 , OHCDH因为 平面 ,所以 , AB所以 为二面角 的平面角. A结合图 1 可知, 为 中点,故 ,从而 32230AOA所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 . 15cosOHA CDB154、如图所示,在三棱锥 PBQ中,
17、 平面 AQ, P, ,CEF 分别是,QB的中点, 2,P与 E交 于点 G, 与 Q交于点 H,连接 G.()求证: AGH; ()求二面角 DH的余 弦值.【答案】解:()证明:因为 ,DCEF 分别是 ,AQBP的中点, 所以 EF AB, ,所以 , 又 平面 P, 平面 P, 所以 平面 , 又 平面 Q,平面 平面 GH, 所以 GH, 又 EF AB, 所以 . ()解法一:在 中, 2ABD, Q, 所以 =90Q,即 ,因为 P平面 A,所以 BP, 又 BP,所以 平面 ,由()知 GH, 所以 GH平面 ,又 FH平面 BQ,所以 F,同理可得 C, 所以 FC为二面角
18、 DGE的平面角,设 2ABP,连接 , 在 tR B中,由勾股定理得, 2C, 在 P中,由勾股定理得, 5P, 又 H为 Q的重心,所以13H同理 53F, 在 FHC中,由余弦定理得5249cosFHC, 即二面角 DGE的余弦值为45. 5、如图, 是圆 的直径,点 是圆 上异于 的点,直线 平面 , , 分别是 ,ABOCABPCABEFPA的中点.PC(I)记平面 与平面 的交线为 ,试判断直线 与平面 的位置关系,并加以证明;EFABll(II)设(I)中的直线 与圆 的另一个交点为 ,且点 满足 .记直线 与平面l DQ12Q所成的角为 ,异面直线 与 所成的角为 ,二面角 的
19、大小为 ,求证:ABPQEFElC.sinsi第 19 题图【答案】解:(I) , , EFACABC平 面 EFABC平 面BA平 面又 平 面EFlPAC平 面(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 向量法4、如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA 1,BAA 1=60.()证明 ABA 1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.【答案】()取 AB
20、中点 E,连结 CE, 1AB, E, AB= 1A, 1B= 06, 1A是正三角形, EAB, CA=CB, CEAB, 1CEA=E,AB面 1CEA, AB 1C; ()由()知 ECAB, 1EAAB, 又面 ABC面 B,面 ABC面 1BA=AB,EC面 1BA,EC 1E, EA,EC, 1两两相互垂直,以 E 为坐标原点,的方向为 x轴正方向,|为单位长度,建立如图所示 空间直角坐标系 Oxyz, 有题设知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0),则 BC=(1,0, ),B= =(-1,0, ), 1AC=(0,- , 3), 设
21、n=(,)xyz是平面 1C的法向量, 则 10B,即 30xzy,可取 n=( 3,1,-1), cos,ACn= 1|5, 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105 6、如图,在直三棱柱 中, , , ,点 是 的中点1BACB2A41DBC(1)求异面直线 与 所成角的余弦值D(2)求平面 与 所成二面角的正弦值.1AC1【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力. 解:(1)以 为为单位正交基底建立空间直角坐标系 , 1,ACB xyzA则 , , , , )0,(A)2(B)0(C)4(1A)01(D)4,
22、2(C , 来源:学科网 ZXXK41,1 10382,cos1BAD异面直线 与 所成角的余弦值为 1C(2) 是平面 的的一个法向量 )0,2(A1设平面 的法向量为 , , 1D),(zyxm)01(AD)4,2(1C由 1,ACmD 取 ,得 ,平面 的法向量为 042zyxz2,xy1ADC)1,2(m设平面 与 所成二面角为 11B , 得 324,cos mAC 35sin平面 与 所成二面角的正弦值为 1ADC1B57、如图,直棱柱 1中, DE分别是 1,AB的中点, 12ACBA.()证明: 1/B平面 1A; ()求二面角 1E的正弦值.ABCD1A1E【答案】5、如图,
23、 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O平面 ABCD, . 12AB() 证明: A1C平面 BB1D1D; () 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小. OD1B1C1DACBA1【答案】解:() ;又因为,在正方形 AB CD 中,BDOACBDA11 ,面且面. CC 11， 故面且面所 以； 且在正方形 AB CD 中,AO = 1 . .ORT中 ，在. OEACEAEDB 111 为 正 方 形 ， 所 以， 则 四 边 形的 中 点 为设 ， 所 以 由 以 上 三 点 得且，面面又 BD111 .,.(证毕) CA1面() 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向.则 . )1,0()1,(0(),1(,01 CABACB，）（由()知, 平面 BB1D1D 的一个法向量 .0,1),(）（OCBn设平面 OCB1的法向量为 ，则 0,212OCnBn).1-,0(向2n为解 得 其 中 一 个. 21|,cos| 211 n所以,平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 为 39、 （1）略（2） （3）4PCE74OD1B1C1DACBA1
