1、习题二解答A 类1下列函数何处可导？何处解析？（1） yxzfi2 （2） yxzf2i（3） 22x（4） fIm解 （1）由于 1,0, yvxyux在 z 平面上处处连续，且当且仅当 21时，u,v 才满足 C-R 条件，故yxvufii仅在直线 x上可导，在 z 平面上处处不解析。（2）由于 2yxu，xy， xyv2，2v在 z 平面上处处连续，且当且仅当 z=0 时，u,v 才满足 C-R 条件，故yxf2i仅在点 0z处可导，在 z 平面处处不解析。（3）yxyxzf ii1i222 z1且故 zf在除原点外的 z平面上处处可导，处处解析。（4）由于 0,1,0yvxyux可知
2、u、 v 在 z 平面上处处不满足 C-R 条件，故 zf在 z 平面上处处不可导，处处不解析。2试确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数。（1） 312zzf； （2） zzfi23；（3） 2； （4） 13解 （1）由于 123122 zzzzzf 32zz故 在 z 平面上处处可导，处处解析。（2）由于 i2f，知 f在 z 平面上处处可导，处处解析。（3）由于2211z 0i12zzf知 zf在除去点 1z外的 z 平面上处处可导。处处解析， 1z是 zf的奇点。（4）由于 2323 41 zzf知 zf在除去 i21z， 2z， i123z外的多连通区域上处处可导，处处解析， 3
3、i1z， 2z， i3z是 zf的奇点。3试证下列函数在 z 平面上任何点都不解析。（1） yxf2i； （2） yxzf；（3） zfRe； （4） |1。证 （1）由于 1xu，2,0,yvxy，可见 C-R 条件在 z 平面上处处不成立，故 zf在 z 平面上任何点都不解析。（2） xu，0,yvxy，与（1）同理知 zf在 z 平面上任何点都不解析。（3） 1，yvx，与（1）同理知 f在 z 平面上任何点都不解析。（4）2|zf且 32yxu， 32yxu，0yvx，知当 0z时，C-R 条件不成立，而 zf在点 处无定义，故 zf在 z 平面上任何点都不解析。4若 f在点 0z处解
4、析，试证 f在点 0处连续。证 若 在 处解析，则 z在 z0 处可导，于是，有zfffz00lim 0f，则 0lim0zz，从而 0000lili zfzfzfzfz 即 f在点 0处连续。5判断下述命题的真假，并举例说明。（1）如果 0zf存在，那么 zf在 0点解析。（2）如果 zf在 0点连续，那么 0zf存在。（3）实部与虚部满足柯西-黎曼方程的复变函数是解析函数。（4）实部与虚部均为区域 D 内的调和函数的复变函数是 D 内的解析函数。解 （1）命题假，如函数 2|zf在点 z=0 处可导，却在点 z=0 处不解析。（2）命题假。如函数 2|yx在 z 平面上处处连续，除了点 z
5、=0 外处处不可导。（3）命题假。如函数 zfiRe2仅在点 z=0 处满足 C-R 条件，故zf在点 z=0 处不解析。（4）命题假。如函数 2yxzf+ 2lniyx的实部、虚部在除去点 z=0 外的z 平面上的调和函数，但 2yxu，2yxu，v， 2v可知 C-R 条件处处不成立，故 zf不是解析函数。6证明：如果函数 ivuzf在区域 D 内解析，并满足下列条件之一，那么 zf是常数。（1） zf恒取实值。（2） 在 D 内解析。（3） |f在 D 内是一个常数。（4） zarg在 D 内是一个常数。（5） cbvu，其中 a、 b与 c 为不全为零的实常数。（6） 2解 （1）若
6、zf恒取实值，则 0v，又根据 zf在区域 D 内解析，知 C-R 条件成立，于是 yxu， 0xvu故 u 在区域 D 内为一常数，记 为C，则 Cizf为一常数。（2）若 iviuzf在区域 D 内解析，则yx， xuvu（1）又 izf在区域 D 内解析，则 yvxu， xv（2）结合（1） 、 （2）两式，有 0vyx，故 vu,在 D 内均为常数，分别记之为 为2121,Cu，则 iivzf 为一复常数。（3）若 |zf在 D 内为一常数，记为 1，则 212vu，两边分别对于 x 和 y 求偏导，得 02yvux由于 zf在 D 内解析，满足 C-R 条件 xx,代入上式又可写得0
7、yuxv解得0yvxu。同理，可解得 故 v,均为常数，分别记为 21,Cvu，则 Ciizf21为一复常数。（4）若 zarg在 D 内是一个常数 1，则 0zf，从而 0ivzf，且0,arctn,rtargvuvzf0,11vuC总之对 zfarg分别关于 x 和 y 求偏导，得 01222 vuxuvx01222 vuyuvy化简上式并利用 zf解析，其实、虚部满足 C-R 条件，得0yuvx解得0yux，同理也可求得0yvxu，即 u和 v均为实常数，分别记为 2C和3C，从而 Ciivzf 32为一复常数。（5）若 cba，其中 a、 b和 c 为不全为零的实常数，这里 a 和 b
8、 不全为 0，即02ba，否则此时 、 和 c 全为零。对方程 cbvau分别对于 x 和 y 求偏导，得0yx再利用解析函数 ivuzf的实、虚部 u 和 v 满足 C-R 条件，得0yaxb解得0yux，同理也可求得v，知函数 zf为一常数。（6）若 2v，则 2iuizf，又 zf在 D 内解析，其实部、虚部 u和 v满足C-R 条件，于是 xuxvyuy22或 02yux解得0yux，同理也可求得v，知函数 zf为一常数。7验证下列函数是调和函数，并求出以 iyxz为自变量的解析函数 vuzfwi。（1） 0arctnxyv（2） yeux sio， i0f。（3） 224y（4） 2
9、xv， 0f。解：（1）由于221yxxyv22yxv221xyv22yxv显然02yvx，故在右半面内， xarctn是调和函数，利用 C-R 条件，得yxdydyvxu 22ln122xy知 0y，从而 C，故 yxyu2ln1,， xyCyxzf arctniln212zlargi|为一解析函数。（2）由于 1sincosyxyexuiyxyx CdvCdv,0,0,yxyxu0,= yx x Cdyyyede0, 1sincos1cossinxyx ded00 1in1Cyex 0|coscosinxeyyCxxyx ssi于是Cxyxyeyxyevuzf xx cossinsinco
10、i令 0y，得 Cf xx i1iii 可知解析函数 iziizef1令 10i,Cfz，故 iizzf（3）注意到 xvuzfi，且 2236yxuyxv从而 32263i63i yxxyvxuzf 22 i1ii3 zy于是 Czdzdzfzf 32ii13为一解析函数。（4）由yxvyu2，得xyxyxdyxd 222又 xyxyxu 2222v得 Cx,0 ，故 Cyxu2 Cyxvzf 222 iiizyx1iii。由初始条件 210Cf， ，从而解析函数 zf2为所求。8设 u为区域 D 中的调和函数及yuxzfi，f 是否是 D 内解析函数？为什么？解 因为 u 为调和函数，所以
11、 02yux（1）又设yxuvzf ii1，即 yuvx11,由于 u是调和函数， 1,vu有一阶连续偏导数，且 2xu， yxu21yv1， 2v综合（1）式，知 yvxu1， xvu1可见 zf的实部、虚部满足 C-R 条件，故yuzfi在区域 D 内解析。9函数 yxv是 yu的共轭调和函数吗？为什么？解 显然 u 和 v 均有二阶连续的偏导数，且 02yux，02yvx知 u,v 均为调和函数，设 ivzf，则 zif iii非解析函数，故 yxv不是 yxu的共轭调和函数。10如果 uzfi是一解析函数，试证：（1） i也是解析函数。（2）-u 是 v 的共轭调和函数。证 （1） ,
12、i,ivuzfuzfuzfi, iuvzf, zfvi可知 i为一解析函数。（2）由（1）知 vzfii为一解析函数，再由共轭调和函数的定义，知u是 v 的共轭调和函数。11证明 2yxu和 2yx都是调和函数，但 vui不是解析函数。证 由于 ， 2，u，2y，知2xu02y故 u 是一个调和函数，又 ,2yxv3242222 68yxyx，,22yxyxyv324222 6yxyx，知 0632322yxyxyvx故 v 也是一个调和函数，但 2yxvxu22y故 vuzfi不是解析函数。12如果 fi是 z 的解析函数，证明：（1）222 | zffyzfx（2）222|4|ff证 |v
13、uzf，于是 2|vuxzfx，2|vuyzfyyv22,由于 uzfi为解析函数，故 yvxu， xv，从而 222221| xvuxvuzfyzfx xuvxvuxvuv2222222 2222 |1zffvu （2）由于 xvxzf2|2， 2222| xvuuvyyzf|， 22222| yvuuf 由于 vuzfi为一解析函数，其实部、虚部满足 C-R 条件，且均匀调和函数，于是22|zfyx 222yuxuxvu 2yvx222|4| zfzfzf13证明：（1） 212121 sincoscos;ini zzz;（2） sn22；（3） coii；（4） zz2ta1ta（5）c
14、ossin；（6） zzco证 （1）左2121s21 zizie右= sincozi2i211 iiiiii zzzzz eee42121211121121 iiiiii zzzzzzzz e=2211iizze可见左=右，即 212121 sincoscos zzz左= 2ii21sinzez右 1sinco221221 iiiiiiii2 zzzzzzzz eeee 21212121 iiii4zzzz 21212121 iiii4zzzz e=2121ii zzei2121izz可见左=右，即 212121 sincosinsinz（2）2iiiici zzeez141241i2i2i
15、i zzzz e（3）左=zzei2isin右= zzzzeiiii211coi2zzzzeeii2ii1可见左=右，即 sncosn。（4） zzzzz 2222 tan1cosin1csiicoi2ta （5）由（1）知 zzzz sin2cos2in2sinsin izizizi ee11cozs（6）由（1）得 zzzz cossincosco14化简：（1） icosi1e； （2） i4ch； （3） 5lnicos解 （1） 1iiii 21 eee 1122sh（2） 4co21i4chi4i e（3）5132215lnios 5lnl5lni5lni e15已知zzf4i1s
16、n2l，求 |i1|f及 i1argf。解 由于 zzzzf 4i1sin4i1icos2lis21且函数 zf不解析点满足 04i1snz， kz4i1， i1kz， ,210而 3i574|i i1zff41i|i1| f53arctni574argiargf16求 iLn， i43和它们的主值。解 kk2i2ar|i,10,2ik2iiarg|ilnil ki43r|43|43Lk234arctni5ln,210,1til 3arctni5lni43argi|43|lni43ln 。17求 2i1e，ixp， i和 i1的值。解： eee i2sinco2ii1 i14i4ixp 441
17、i43lni223argilni3Lni eekk,10,sco2 ekke2i1argi|lnii1Lni1 2lnsi2lncos24124li kke， ,210k18解方程 6ilnz解 由于 zarg|，代入原方程，得 6i2argi|lnz或 6arg|l2zez故原方程的解为 21i36sinco| 22i2ari eeezz 。B 类1证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是 vru1， ur1证 令 sin,coryrx，利用复合函数求导法则和 v,满足 C-R 条件，得sincoyxr rurxuryryvrxv cossincosin即 ru1。又 cossinryurxusi
18、nicoxuvrv rrxury1sin1总之，有 vru1， r。2决定实常数 k 使得下列函数解析。（1）12i2xyzf， 1iyxz（2） kefxsinco解 （1） 21yu， 21yxv2221yxkkx 21yxkyu2v22211yxyxy 由 C-R 条件：vu，v，解得 k=1。（2）设 kyexcos， kyexsin，则uxco，kyeuxsin，kyevxsin，vxco由 C-R 条件：u， ，解得 k=1。3试证 0i1i,0233zyxzf在点 z0 处满足 C-R 方程，但不解析。证 注意到 i1/ilim0lim2300 xfxffxx故 i,i,xxvu
19、从而 10,xx又 i1ilimi0lim230 yyyffyy故 i1,iyyvu从而 10,yu， 10,yv，可见 0,yxvu， 0,xyvu。但 kzfkxyz i1ilim0li 23300 0i1i23k由 k 的任意性，知函数 zf在原点处不可导，故在原点处不解析。4在 yxvuw,i,里，将 yxi与 yxzi形式地看作独立变数，写作zF,，试证柯西-黎曼方程可表示为： 0,zF证 由于 2zx， izy，根据复合函数求导法则，有 i21i21yvxyuxzvuzFvi21可见 C-R 方程可表示为 0zF6设 irez，试证 cos21lnlRerz证 由于1sincoln
20、1llni rrez iagiscos22rsicrl21r故 cos21lnlRerz7若 2yxu是调和函数，试求解析函数 vuzfi。解 由于 是调和函数，且 xu2， 224xy， yu有 0)(422yxuyx或 2解得 2212)()(Cyxyxu。由 C-R 条件： xuyv1解得 Cxv12,另一方面 yux， yx1123所以 312Cxyv，则 )i(ii)(i)( 322121 CzyxCvuzf 为所求的解析函数。8若函数 f在上半 z 平面内解析，试证函数 zf在下半 平面内解析。证 1 对于任意的下半 平面上的一点 z。则点 是上半 平面上的点，),(i),()yx
21、vuzf则 ),(i),()yxvuf.若 解析，则 满足 C-R 条件： yxx因此对于 0Imz内的任一点 yxzi,有 yxvyvvyxu ),()()(),( xxuyx ,xv),(上述两式表明 )(zf的实部、虚部在 0Imz内满足 RC条件，显然 ),(yxu与),(yxv在 0Im内可微，故函数 )(f在 内处处解析。证 2 令 )(fg，对于 I内的任一点 0，则 z属于 0Im内的点，注意到 zf在 内解析，于是有 00)(li)(li00 zfzgzz )()(lim000 zffz即 )(zfg在点 0处可导，且 )(fg由点 的任意性，知 0f在0Imz内处处解析。9
22、.下列关系是否正确？（1） ze； （2） zcos； （3） zsin解（1） zyxxx eyey i)in()sin(co（2）eez zzzz cos2121s iiiiii 。（3）)(iiiin iii zzz e= ezsni21i。10找出下列方程的全部解。（1） 0ze； （2） 0cosiz； （3） 4chsinz解（1）原方程等价于 1ze，于是它的解为：kkz 21i2argi|lnL,210（2）由于zzeiiicos,si ，故1i2i2zzeiizkz 2iarg|iln21iLi1ni2 ,0,4i kk（3）由 4chsinz，令 yxzi，得 yxyxze
23、eiiii21xyy sincosincoi4hii21yyexex或 ic2sincosyyex得 4ch2sin0yexico)2(1由（1）知 0cos或 hy，知 2kx或 0y。若 y，则 1c|，而 1|sin|及 4ch，则（2）式不成立，故 0y舍去。若 2kx，由于 2hye，故 six则k； 4chy，则 y，综上所述，得 4,210ykx11用复数的指数式表示下列各式：（1） 6|i2|z； （2） 4argz；解 （1） ie， ；（2） 0,4iz12试证：对任意的复数 z及整数 m 有zze证 对任意的复数 z，当 为自然数时， mzzmzem 个当 0m时， zz
24、e001。当 为n时， mznznzzmz ee13设 iyxz，试求（1） |2ie （2） |2ze（3）z1R解 （1） xyxxyz eee21i2i2i | （2）2 iiz（3）Re e z1 222i1ReeRyxyxyxiiyx 22sincos2 yxyxyx2s2eyx14已知平面流速场的复势 zf为（1） 2iz； （2） 3； （3） 12z；（4） 0,iLnazw； （5） 0aw求流动的速度以及流线和等势线的方程。解（1） i2i zzfV为流速，又12i12yxyxyx知流线和等势线方程分别为 C和 C。（2）流速 23zzfV，又223iyxyxf ,流线方程： 123Cyx，等势线方程： 2。（3）流速222 11 zzzfzV又 2222 4ii yxyxyxf，流线方程为 12221Cyxyx，等势线方程为 224。（4）流速zazfiV，又 zakzakaf lni2rg2rgilniLi 。知流线方程为 12lCyx，等势线方程为 2C。（5）流速22 zzfV又 22ii yxayxazaf ，流线方程为 012yCx，等势线方程 x。
