1、题型四 反比例函数与一次函数综合题 针对演练1. 如图，一次函数 y kx1( k0)与反比例函数 y (m0)的图象有公共点 A(1，2)，mx直线 l x 轴于点 N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点 B， C，连接 AC.(1)求 k 和 m 的值；(2)求点 B 的坐标；(3)求 ABC 的面积第 1 题图2. 已知正比例函数 y2 x 的图象与反比例函数 y (k0)在第一象限内的图象交于点 A，kx过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 P，已知 OAP 的面积为 1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点 B 的横坐标为 2，且在反比例函数图象上，则在 x 轴上
2、是否存在一点 M，使得MA MB 最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图3. 如图，反比例函数 的图象与一次函数 y kx b 的图象交于点 A、B，点 A、B 的2yx横坐标分别为 1、2，一次函数图象与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数 ，当 y1 时，写出 x 的取值范围；x(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点 P，使得 S ODP2S OCA？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图4. (2016 巴中 10 分)已知，如图，一次函数 y kx b(k、 b 为常数，k
3、0)的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，且与反比例函数 y (n 为常数且 n0)的nx图象在第二象限交于点 C.CD x 轴，垂足为 D.若 OB2 OA3 OD6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式： kx b 的解集nx第 4 题图5. 如图，点 A(2， n)，B(1，2)是一次函数 y kx b 的图象和反比例函数 y 的图象mx的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围；(3)若 C 是 x 轴上一动点，设 t CB CA，求 t 的
4、最大值，并求出此时点 C 的坐标第 5 题图6. 如图，直线 y1 x1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，与反比例函数 y2 (x0)的14 mx图象交于点 P，过点 P 作 PB x 轴于点 B，且 AC BC.(1)求点 P 的坐标和反比例函数 y2的解析式；(2)请直接写出 y1y2时， x 的取值范围；(3)反比例函数 y2图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由第 6 题图7. 如图，直线 y x b 与 x 轴交于点 C(4，0)，与 y 轴交于点 B，并与双曲线 y (x0)mx交于点 A(1， n)(1)求
5、直线与双曲线的解析式；(2)连接 OA，求 OAB 的正弦值；(3)若点 D 在 x 轴的正半轴上，是否存在以点 D、 C、 B 构成的三角形 OAB 相似？若存在求出 D 点的坐标，若不存在，请说明理由第 7 题图8. (2016 金华 8 分)如图，直线 y x 与 x， y 轴分别交于点 A， B，与反比例函数 y33 3(k0)图象交于点 C， D，过点 A 作 x 轴的垂线交该反比例函数图象于点 E.kx(1)求点 A 的坐标；(2)若 AE AC.求 k 的值；试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称？并说明理由第 8 题图9. 如图，已知双曲线 y 经过点 D(6，1
6、)，点 C 是双曲线第三象限上的动点，过点 C 作kxCA x 轴，过点 D 作 DB y 轴，垂足分别为 A， B，连接 AB， BC.(1)求 k 的值；(2)若 BCD 的面积为 12，求直线 CD 的解析式；(3)判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由第 9 题图10. 如图，点 B 为双曲线 y (x0)上一点，直线 AB 平行于 y 轴，交直线 y x 于点 A，kx交 x 轴于点 D，双曲线 y 与直线 y x 交于点 C，若 OB2 AB24.kx(1)求 k 的值；(2)点 B 的横坐标为 4 时，求 ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点 P，使 APC AOD？若
7、存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 10 题图【答案】1解：(1)点 A(1，2)是一次函数 y kx1 与反比例函数 y 的公共点，mx k12， 2， k1， m2；(2)直线 l x 轴于点 N(3，0)，且与一次函数的图象交于点 B，点 B 的横坐标为 3，将 x3 代入 y x1，得 y314，点 B 的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点 A 作 AD直线 l，垂足为点 D，由题意得，点 C 的横坐标为 3，点 C 在反比例函数图象上， y ， C 点坐标为(3， )，2x23 23 BC BN CN4 ，23 103又 AD312， S ABC BCAD 2 .12
8、 12 103 103第 1 题解图2解：(1)设 A 点的坐标为( x， y)，则 OP x， PA y， OAP 的面积为 1， xy1，12 xy2，即 k2，反比例函数的解析式为 ； 2yx(2)存在，如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 A B，交 x 轴于点 M，此时MA MB 最小，点 B 的横坐标为 2，点 B 的纵坐标为 y 1，22即点 B 的坐标为（2,1）.又两个函数图象在第一象限交于 A 点， ，2x解得 x11， x21(舍去) y2，点 A 的坐标为(1，2)，点 A 关于 x 轴的对称点 A(1，2)，设直线 A B 的解析式为 y kx b，代入
9、A(1，2)， B(2，1)得，23,15kbk解 得 ，直线 A B 的解析式为 y3 x5，令 y0，得 x ，53直线 y3 x5 与 x 轴的交点为( ，0)，53即点 M 的坐标为( ，0)53第 2 题解图3解：(1)反比例函数 y 图象上的点 A、 B 的横坐标x分别为 1、2，点 A 的坐标为(1，2)，点 B 的坐标为(2，1)，点 A(1，2)、 B(2，1)在一次函数 y kx b 的图象上，1,1kbkb解 得 ，一次函数的解析式为 y x1；(2)由图象知，对于反比例函数 ，当 y1 时， x 的取值范围是2 x0；2(3)存在对于 y x1，当 y0 时， x1，当
10、 x0 时， y1，点 D 的坐标为(1，0)，点 C 的坐标为(0，1)，设点 P(m， n)， S ODP2 S OCA， 1( n)2 11，12 12 n2，点 P(m，2)在反比例函数图象上，2 ， m1，点 P 的坐标为(1，2)4解：(1) OB2 OA3 OD6， OA3， OD2. A(3，0)， B(0，6)， D(2，0)将点 A(3，0)和 B(0，6)代入 y kx b 得，0,66kbk解 得 ，一次函数的解析式为 y2 x6. (3 分)将 x2 代入 y2 x6，得 y2(2)610，点 C 的坐标为(2，10)将点 C(2，10)代入 y ，得nx10 ，解得
11、 n20，反比例函数的解析式为 ；(5 分)20yx(2)将两个函数解析式组成方程组，得6,20yx解得 x12， x25. (7 分)将 x5 代入 04,y两函数图象的另一个交点坐标是(5，4)； (8 分)(3)2x0 或 x5. (10 分)【解法提示】不等式 kx b 的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变nx量 x 的取值范围，也就是2 x0 或 x5.5解：(1)点 A(2， n)， B(1，2)是一次函数 y kx b 的图象和反比例函数 y的图象的两个交点，mx m2，反比例函数解析式为 ，2yx n1，点 A(2，1)，将点 A(2，1)， B(1，2)代入 y
12、kx b，得1,kbkb解 得 ，一次函数的解析式为 y x1；(2)结合图象知：当2 x0 或 x1 时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 BA延长交 x 轴于点 C，则点 C 即为所求， A(2，1)， A(2，1)，设直线 A B 的解析式为 y mx n， 113,25mn解 得 ， y x ，13 53令 y0，得 x5，则 C 点坐标为(5，0)， t 的最大值为 A B .（ 2 1） 2 （ 1 2） 2 10第 5 题解图6解：(1)一次函数 y1 x1 的图象与 x 轴交于点 A，与14y 轴交于点 C， A(4，0)，
13、 C(0，1)，又 AC BC， CO AB， O 为 AB 的中点，即 OA OB4，且 BP2 OC2，点 P 的坐标为(4，2)，将点 P(4，2)代入 y2 ，得 m8，mx反比例函数的解析式为 y2 ；(2)x4；【解法提示】由图象可知，当 y1 y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量 x 的取值范围是 x4.(3)存在假设存在这样的 D 点，使四边形 BCPD 为菱形，如解图，连接 DC 与 PB 交于点 E，四边形 BCPD 为菱形， CE DE4， CD8， D 点的坐标为(8，1)，将 D(8，1)代入反比例函数 ， D 点坐标满足函数关系式，8yx即反比例函数
14、图象上存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，此时D 点坐标为(8，1)第 6 题解图7解：(1)直线 y x b 与 x 轴交于点 C(4，0)，把点 C(4，0)代入 y x b，得 b4，直线的解析式为 yx4，直线也过 A 点，把点 A(1， n)代入 y x4，得 n5， A(1，5)，将 A(1，5)代入 y (x0)，得 m5，mx双曲线的解析式为 ；(2)如解图，过点 O 作 OM AC 于点 M，点 B 是直线 y x4 与 y 轴的交点，令 x0，得 y4，点 B(0，4)， OC OB4， OCB 是等腰直角三角形， OBC OCB45，在 OMB 中，sin45 ， O
15、M2 ，OMOB 42 AO ，12 52 26在 AOM 中，sin OAB ；OMOA 2226 21313第 7 题解图(3)存在如解图，过点 A 作 AN y 轴于点 N，则 AN1， BN1， AB ，12 12 2 OB OC4， BC 4 ，42 42 2又 OBC OCB45， OBA BCD135， OBA BCD 或 OBA DCB， 或 ，OBBC BACD OBDC BABC即 或 ，442 4242 CD2 或 CD16，点 C(4，0)，点 D 的坐标是(6，0)或(20，0)8解：(1)当 y0 时，得 0 x ，解得 x3. 33 3点 A 的坐标为(3，0)；
16、 (2 分)(2)如解图，过点 C 作 CF x 轴于点 F.设 AE AC t, 点 E 的坐标是(3， t). 在 Rt AOB 中， tan OAB ，OBOA 33 OAB30.在 Rt ACF 中， CAF30， CF t， AF ACcos30 t，12 32点 C 的坐标是(3 t， t)32 12点 C、 E 在 y 的图象上，kx(3 t) t3 t，32 12解得 t10(舍去)， t22 ，3 k3 t6 ； (5 分)3点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称，理由如下：由知，点 E 的坐标为(3，2 )，3设点 D 的坐标是( x， x )，33 3 x( x )6
17、 ，解得 x16(舍去)， x23，33 3 3点 D 的坐标是(3，2 )，3点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称(8 分)第 8 题解图9解：(1)双曲线 y 经过点 D(6，1)，kx 1，解得 k6；6k(2)设点 C 到 BD 的距离为 h，点 D 的坐标为(6，1)， DB y 轴， BD6， S BCD 6h12，12解得 h4，点 C 是双曲线第三象限上的动点，点 D 的纵坐标为 1，点 C 的纵坐标为 143， 3，解得 x2，6x点 C 的坐标为(2，3)，设直线 CD 的解析式为 y kx b，则123,261kbkb解 得 ，直线 CD 的解析式为 y x2；12
18、(3)AB CD.理由如下： CA x 轴， DB y 轴，点 D 的坐标为(6，1)，设点 C 的坐标为( c， )，6点 A、 B 的坐标分别为 A(c，0)， B(0，1)，设直线 AB 的解析式为 y mx n，则10,1mcnm解 得 ，直线 AB 的解析式为 y 1，xc设直线 CD 的解析式为 y ex f，则6,61eecf cf解 得 ，直线 CD 的解析式为 y ，1xc AB、 CD 的解析式中 k 都等于 ， AB 与 CD 的位置关系是 AB CD.10解：(1)设 D 点坐标为( a，0)， AB y 轴，点 A 在直线 y x 上， B 为双曲线 y (x0)上一
19、点，kx A 点坐标为( a， a)， B 点坐标为( a， )，ka AB a ， BD ，ka ka在 Rt OBD 中， OB2 BD2 OD2( )2 a2，ka OB2 AB24，( )2 a2( a )24，ka ka k2；(2)如解图，过点 C 作 CM AB 于点 M，,yx联 立 22xxyy解 得 或 （ 舍 去 ） ， C 点坐标为( ， )，2 2点 B 的横坐标为 4， A 点坐标为(4，4)， B 点坐标为(4， )，12 AB4 ， CM4 ，12 72 2 S ABC CMAB12 (4 )12 2 727 ；724第 10 题解图(3)不存在，理由如下：若 APC AOD， AOD 为等腰直角三角形， APC 为等腰直角三角形， ACP90， CM AP，12设 P 点坐标为( a， )，则 A 点坐标为( a， a)， AP| a |，2 C 点坐标为( ， )，2 2 CM| a |，2| a | |a |，212( a )2 ，214 2()即( a )2 ，214 22()()aa4 a2( a )20，解得 a 或 a (舍去)，2 223 P 点坐标为( ， )，则此时点 C 与点 P 重合，所以不能构成三角形，故不存在2 2
