1、1第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为xgcomb系统的传递函数 。若 b 取（1） （2） ，求系统的输出 。并画f.bxg出输出函数及其频谱的图形。答：（1） 图形从略，xgF（2） 图形从略。 xscofffxxx 1.2 若限带函数 的傅里叶变换在长度 为宽度 的矩形之外恒为零，yx,f LW（1）如果 ， ，试证明LaWbyxffbxa,sinci 证明：yx,fbsincaxibfarectyxfyx,f retfL, yxyx ,F,F1-（2）如果 ， ，还能得出以上结论吗？LaWb答：不能。因为这时 。yxyx bfarectffLrectyf ,F,1.3 对一
2、个空间不变线性系统，脉冲响应为yxyxhsinc,试用频域方法对下面每一个输入 ，求其输出 。 （必要时，可取合理近似）fi,yxgi,2（1） xyxfcos,答：xcossfrectxs y7inyhfgx FF,（2） yttcoyxf,答： yrectxtcosfretfsinc75fixcos 7inytxtoyhfyxg xyx F FF,（3） rectyxf,答： xrectf75sincfrectf75sinc ftfifxfrectf75sinccos yxsixtg yxxyx xyxxyxFFFF,（4） trtombyxf ,答： x6cosx2cos fffff f
3、rect frectfsin2ficfcoby7xiyretxtg yxyxyxyxy xx yyx . ,.,.,.,F.FF, 051.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波3 xrectxombxgi 对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。（1） ffHrect（2） fffrtrt答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形 21()()()()(35050sinsii xxGfgxcombrectcobfffFF方括号内函数频谱图形为： f121235432 5342350图 1.4（1）图形为：fc2sin4f1320.68517.4图 1.
4、4（2）因为 的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差 50 倍。两者相乘时忽略中心五fc2sin个分量以外的其他分量，因为此时 的最大值小于 0.04%。故图解 频谱结果为：fc2sin)(fGf32150()*.6871图 1.4（3）5传递函数（1）形为： f1图 1.4（4）因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为： )32()(17.0)5(sin0)31()(685.0)( fffcfff 其反变换，即输出函数为： )50(32cos4.032cos7.1xrectx该函数为限制在 区间内，平均值为 1，周期为 3，振幅为 1.37 的一个余弦
5、函数与5,周期为 1.5，振幅为 0.342 的另一个余弦函数的叠加。传递函数（2）形为： f1图 1.4（5）6此时，输出函数仅剩下在 及 两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数1,2,的频谱很小，相对于传递函数（2）在 的零值也是不能忽略的，由于07.)35(sin043.)(sin2cc可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为： )50(2cos7.3cos. xrectx该函数依然限制在 区间内，但其平均值为零，是振幅为 0.043，周期为 0.75，的5,一个余弦函数与振幅为 0.027，周期为 0.6 的另一个余弦函数的叠加。1.5 若对二维函数axyxhsinc,抽样，求
6、允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。答： yxfasicyxF,YaBXx;也就是说，在 X 方向允许的最大抽样间隔小于 1/2a，在 y 方向抽样间隔无限制。1.6 若只能用 表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即ba byaxYyXxyxgs recttcomb,试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复 。yxg,答：因为 表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复 也有贡献，不可省略。ba yxg,1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” ，系统对线脉冲的输出响应f,称为线响应 。如果系统的传递函数为 ，证明：线响应的一维傅里叶变换等xLyxH7
7、于系统传递函数沿 轴的截面分布 。xf0,xfH证明： 0,y xyyffhLF1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间 ， 之外恒为xBfyf零，系统输入为非限带函数 ，输出为 。证明，存在一个由脉冲的方形阵yxg,yxg,列构成的抽样函数 ，它作为等效输入，可产生相同的输出 ，并请确定, yxg,。yxg,答：为了便于从频率域分析，分别设：物的空间频谱 ；00(,)(,)xyAfgxyF像的空间频谱 ；i i等效物体的空间频谱 ；00(,)(,)xyfxy等效物体的像的空间频谱 .AgF由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在 之外,xyfBf恒为零，故可将其
8、记为：、(,)2yxxy ffHfrectrtBA利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为0(,)(,)2yxxyxyi ffffrectrtBA在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把 安置在 平面上成矩形格点分布的每一个0(,)2yxxy fffrectrectBAxyf点周围，选择矩形格点在 、 方向上的间隔分别为 和 ,以免频谱(2,xyBnmxfy 2xBy混叠，于是800(,)(,) 2,2yxxyxy xynmffAffrectrtfBnfBA0 1(,)4y yx xxy xyf ff fftectcobc（1）对于同一个成像系
9、统，由于传递函数的通频带有限，只能允许 的中央一个0(,)xyAf周期成份（ ）通过，所以成像的谱并不发生变化，即0nm(,)(,)2yxxyxyffAfHfrectrtB,ixyf()i图 1.8 用一维形式表示出系统在频域分别对 和 的作用，为简单计，系统传递函数在0A图中表示为 。2xfrectB 2BX-XBX-BX-BX-BX Ai(f)=0HXAi(f)=0HX ff11(f)(f)X0()图 题 1.8 00()()2XXXffAfrectB*fn9既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即(,)(,)iiUxy因此，只要求出 的逆傅立叶变换式，就可得到所需
10、的等效物场，即0(,)XYAf100(,(,)XYxyAfF带入（1）式，并利用卷积定理得到 1 100(,)(,)242XY XYXY XYff ffUxyAfrectrect combcBBB FF10(,) (2)()XYXYfffttobxy（2）上式也可以从抽样定理来解释。0(,)2XYXYffAfrectrectB是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在 方向是 ，在 方向是 ，就得到等效物x12XBy12YB场 0(,)Uxy10(,)2XYXYffAfrectrectBF0,4sin()si(2)XYxyxBy； （3）0(,)iin()XY yBUccd(2)combxcy（4）1,42nXYXYnmBB把（3） 、 （4）式代入（2）式，得到1000(,)(,)sin2()sin2() ,2XYnmXYnmUxycBxcBydxyB 利用 函数性质（1.8）式，上式可写为0(,)xy0(,)sin2)sin2),2XYnm XYnUcBcmBdxyB 这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体 产生完全一样的像 .0UiU本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。
