1、第四章 线性方程组的迭代解法 习 题 解 答,1. 设方程组：,解：,写出用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法解此方程组的迭代格式，并讨论其收敛性.,Jacobi迭代格式：,G-S迭代格式：,因原方程组系数矩阵是严格对角占优矩阵，故Jacobi迭代和G-S迭代均收敛.,2. 设有方程组：,解：,试考察求解上述方程组的Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性.,（1）Jacobi迭代法的迭代矩阵为,解得,即(BJ)1，故Jacobi迭代法解此方程组不收敛.,Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为,故Gauss-Seidel迭代法解此方程组收敛.,（2）Jac
2、obi迭代法的迭代矩阵为,故,故Jacobi迭代法收敛.,Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为,故,所以,所以Gauss-Seidel迭代法不收敛.,3. 设A=(aij)为二阶矩阵，且a11a220，试证明求解方程组Ax=b的Jacobi迭代及Gauss-Seidel迭代法同时收敛或同时发散.,证明：,设,则Jacobi迭代的迭代矩阵为,记,则,综上有,而Jacobi迭代收敛的充要条件为,即,Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵为,而Gauss-Seidel迭代收敛的充要条件为,即,从而可知,4. 设线性方程组Ax=b的系数矩阵为,试求能使Jacobi迭代收敛的 a 的取值范围.,解
3、：,当 a 0时，Jacobi迭代矩阵为,故,5. 设有方程组Ax=b，其系数矩阵主对角元aii0（i=1，2，.，n）.,（1）证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是,的根满足,（2）证明解方程组的G-S迭代法收敛的充要条件是,的根满足,证明：,（1）将A分解为,则,由,得,即,故Jacobi迭代收敛,上面方程的根满足,（2）,由,得,即,故G-S迭代收敛,上面方程的根满足,第五章 数值插值方法 习 题 解 答,1. 求经过A(0,1), B(1,2), C(2,3)三个样点的插值多项式.,解：,令,则有,由二次Langrange插值公式，得,2. 已知函数y=f(x)的数据如下表
4、：,解：,试作一个三次插值多项式P3(x)，利用P3(x)计算,构造均差表：,根据Newdon插值公式，得,由于被插值函数f(x)=3x，故取x=1/2，便得,3. 已知函数y=f(x)的数据如下表：,解：,求一个次数不超过3的插值多项式H3(x)，使,由于x=0是二重零点，故可设,又由H3(-1)=-1， H3(1)=1，得方程组,解得,故,4. 设被插值函数f(x)在区间x0,x1上具有二阶连续导数，求证：两点线性插值函数L(x)的误差限满足不等式,证明：,由Langrange插值余项定理，得,令,则,令,得极值点,故,7. 证明两点三次Hermite插值余项是,并由此求出分段三次Herm
5、ite插值的误差限.,证明：,因为,显然在插值节点xk,xk+1上满足,即插值节点xk,xk+1上满足为R3(x)的二重零点，故可设,构造辅助函数,显然(t)有三个零点x,xk,xk+1，由Rolle定理知，,由此得,故,即,对于等距节点，分段Hermite插值的误差限为,8. 求一个次数不高于四次的多项式P(x)，使它满足：,并写出其余项表达式.,解：,由题意，设,由插值条件得方程组,解得,故,插值余项为,第六章 数据拟合与函数逼近 习 题 解 答,1. 用最小二乘法求解超定方程组,解：,超定方程组的矩阵形式为,将方程两端同时乘以系数矩阵的转置矩阵，得正规方程组,求解正规方程组，得,2. 观
6、测一个做直线运动的物体，测得以下数据：,解：,在表中，时间单位为s（秒），距离单位为m（米）. 假若加速度为常数，求物体的加速度和初速度.,设物体运动的初速度和加速度分别为v0和a，初始时刻距离为0，则距离函数为,用后五个点的数据作曲线拟合，可得超定方程组,求解得,解：,令,则,数据转换如下,3. 用最小二乘法求一个形如y=AeBx的经验公式，使其与下列数据相拟合：,对上述数据作曲线拟合，可得超定方程组,求解得,所以 A=84.8528，故所求经验公式为,4. 已知实验观测数据（xi, yi)(i=1,2,m). 令,取拟合函数为,试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数a0,a1（推导计算公式
7、）.,解：,记,将实验数据代入拟合函数，得超定方程组,即,将方程组两端同时左乘,得超定方程组,因为,故,所以,6. 求f(x)=ex在区间-1,1上的三次最佳逼近多项式.,解：,利用勒让德正交多项式作基函数，即设,其中,利用正交性，得系数为,又因为,故,所以,第七章 数值积分 习 题 解 答,1. 对给定节点x0,x1，插值型求积公式为,证明：,将f(x)=1,x分别代入公式，得,试证明：求积系数为,解得,2. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度.,解：,（1）分别用f(x)=1,x,x2代入公式，得,解得,故求积公式至少具有2次代数精
8、度.,再用f(x)=x3代入公式有,故求积公式成立.,但若用f(x)=x4代入则,故所求求积公式具有3次代数精度.,（2）分别用f(x)=1,x,x2代入公式，得,解得,故求积公式至少具有2次代数精度.,再用f(x)=x3代入公式有,故求积公式成立.,但若用f(x)=x4代入则,故所求求积公式具有3次代数精度.,（3）分别用f(x)=1,x,x2代入公式，得,解得,故求积公式至少具有2次代数精度.,再用f(x)=x3代入公式有,或,故求积公式具有2次代数精度.,（4）由于求积公式中只有一个参数，用f(x)=1代入公式有,用f(x)=x代入公式有,当f(x)=x3时代入公式有,为恒等式.,仍为恒
9、等式.,再用f(x)=x2代入公式有,解得,而当f(x)=x4时,故所求求积公式具有3次代数精度.,4. 推导下列三种矩形求积公式：,解：,（1）将f(x)在x=a处进行泰勒展开有,两边同时在a,b上关于x积分，得,这是左矩形公式.,两边同时在a,b上关于x积分，得,这是右矩形公式.,（2）将f(x)在x=b处进行泰勒展开有,两边同时在a,b上关于x积分，得,（3）将f(x)在x=(a+b)/2处进行泰勒展开有,由于,故,这是中矩形公式.,8. 试证明求积公式,证明：,当f(x)=1时,对于不高于5次的多项式准确成立，并计算积分,当f(x)=x5时,同理可验证，当f(x)= x , x2 ,
10、x3 , x4时，左边=右边，,但当f(x)=x6时,故求积公式具有5次代数精度.,下面计算积分：,由于积分区间为0,1，故首先作变换将积分区间0,1变换到-1,1.,令,则,而,9. 证明求积公式,证明：,令x=t+2，则,具有5次代数精度.,勒让德多项式,的零点为,故若公式,中的节点取p3(t)的零点，系数,则该公式必是Gauss求积公式，即代数精度为5次.,计算得,故,必具有5次代数精度.,第八章 常微分方程的数值解法 习 题 解 答,1. 取步长h=0.2，用欧拉方法解初值问题,解：,根据欧拉公式,可得,由y0=1计算得,2. 用梯形方法解初值问题,解：,根据梯形公式,可得,取步长h=0.2，小数点后至少保留5位.,整理得,由y(1)=y0=2计算得,3. 用改进的欧拉方法解初值问题,解：,改进的欧拉公式为,取步长h=0.1，并与精确解 比较.,由y0=0.5计算得,
