1、运用数学思想方法解题数形结合思想一、数形结合思想(一)、利用数轴（规定了原点、单位长度、正方向的直线）这一图形来解有关“有理数”的题目。(1)绝对值：从图形上可明显看出： ，就是线段的长度，即22就是线段的长度，即33例题：1、数轴上与 O 的距离等于 2 个单位的点表示的数是 （ ）A. 0 和 2 B. 1 和 2 C. 1 和 3 D. 2 和 2 2、绝对值等于 8 的数是 （ ） A . 8 B. -8 C. 8 或 -8 D. 不能确定方法：通过在草稿纸上画出简单的数轴图形，就知道应有两个数。(2)相反数：如上图，两个数互为相反数，在数轴上表现为与原点距离相等（其中只有 0 的相反
2、数是它本身） 。在数本身的特点上，体现为只有符号不同。1、-5 的相反数是 ， 的相反数是 22、一个数在数轴上表示的点距原点 2.8 个单位长度，且在原点的左边，则这个数的相反数是_，绝对值是_方法：简单画出数轴。(3)有理数的分类及大小比较：如上图，在数轴上可以看出：原点 0 右边的都是正数，0 左边的都是负数，而 0 是分界点。这样数可分为：正数，0，负数三类。数轴上右边的数大于左边的数。在数轴上一般标记出来的是整数，而分数（小数）一般没标记出来。有理数第二分类方法：整数、分数。大小比较：还是数轴上右边的数大于左边的数。比较 ， _ ， |25| _ 的大小 32 4方法：画出数轴，观察
3、数轴上负数在原点左边分布特点。(4)有理数加减法运算：1、线段的加减作图法：如图：O BA -3-2-1 32012131 A BC D作一条线段，使它与 AB+CD相等。方法：如图，在直线上顺次连续作出线段 AB、CD，线段 AD=AB+CD作一条线段，使它与 AB-CD 相等。方法：如上图，在直线上作出线段 AB，在 AB 的内部作出 AD=CD，则 DB=AB-CD。2、有理数的加减：根据数形结合的思想，实质就是在数轴上进行的线段的加减。试着利用以上数轴图，解释有理数加法（加上一个正数，从该数右边继续画一条线段，若加上一个负数，从这个数左边画一条线段，得到结果）试解释：2+3=_ 2+3
4、=_ 4+( 6)=_ 2+(3)=_并因此归纳出加法法则：_练习：1、用“ ”、 “”或“” 连接： （1）2 6 ； （2） 0 1.8 ； （3） _ 2452、如图所示，点 M 表示的数是（ ）A. 2.5 B. C. D. 1.515.25.3、在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了 8 米，记作“8 米” ，又向西走了 10 米，此时他的位置可记作（ ） 。A、2 米 B、2 米 C、18 米 D、18 米(二)、利用数形结合思想来解行程问题的应用题1、一般性行程问题例：一只船从甲码头到乙码头是顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回到甲码头是逆流行驶，用了 2.5 小时。如果水流的速
5、度是 3 千米/小时，求船在静水A B(C) D A B(C) D-2-1 4102-6 35-3-4-5中的速度？分析：一般根据题意可得到如下图形，相等关系易发现：去的路程=回的路程练习：一架飞机在两城之间飞行，风速为 24 小时/时，顺风飞行需要 2 小时50 分，逆风飞行需要 3 小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程？2、相遇问题例题：甲、乙骑自行车同时从相距 60 千米的两地相向而行，5 小时相遇甲比乙每小时多骑 2 千米，求甲、乙的速度各是多少？分析：相遇问题根据题意一般都可画出如下图。在图形上标出两的速度，时间，路程等量，相等关系一般由图形可得到甲的路程 AB+乙的路程 CB=
6、AC 两地之间路程 60 千米。由题中条件知：甲的时间为 5 小时，甲的速度要求设为 x，甲的路程用时间和速度来表示为 5x，同样，可知：乙的时间为 5 小时，速度为 x2（由题中“甲比乙每小时多骑 2 千米”得到） ，乙的路程为：5(x2)。根据前面分析的相等关系得到：5x+5(x2)=60 。练习：A、B 两地相距 36 千米. 甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米.甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，几小时后两人相遇？一 v = t s =一 v = t s = A CBt =2.5 s=2.5(x一3)一一=一一一一v x3t =2s(x+3)一一=一一+一一v x
7、+3乙 乙3、追及问题：例：龟兔进行赛跑，兔子的速度为每秒 3.5 米，乌龟的速度为每秒 0.5 米。现在乌龟领先兔子 30 米，问：多久后兔子可以赶上乌龟？分析：追及问题一般可画出如下图形，来寻找相等关系：兔子的路程 AC=乌龟的路程 BC+乌龟领先路程 AB练习：甲、乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早出发 2 小时，甲每小时走4 千米，乙每小时走 6 千米，两人同时到达县城。求从村庄到县城的路程。(三)、利用数形结合思想来解工程问题的应用题工程问题实质上可看成行程问题。工程问题的工作效率可理解为行程问题中的速度，工作量可理解为路程。它们的关系式：工作量=工作效率 X 工作时间，路程=速度
8、 X 时间。速度实质上是工作效率中的其中一种形式：速度就是单位时间内走的路程。工作效率也是单位时间内做的工作量。1、最简单工程问题（类似于一般性行程问题）例：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成。若由甲、乙合做，需要几小时完成?分析：根据题意可得如下关系图：由上图可知：甲的工作量+乙的工作量= 工作总量练习：1、 某地下管道由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需 18 天，如果由这两个工程队从两端同时相向施工，要多少天可以铺好?一 v = t s=一 v = t s= A CB一一=1一一= 一一=一一= 一一=2、 一个蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管
9、单独开放甲管，45 分可注满全池；单独开放乙管，60 分可注满全池；单独开放丙管，90 分可注满全池，现将三管一齐开放，多少分可注满全池?2、类似于追及问题的工程问题例：一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成 现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做，需要几小时完成?分析：根据题意可得到如下图形：由图显然可知：甲单独做时工作量+甲乙合做时甲的工作量+乙的工作量=1练习：一件工作由一个人做要 50 小时完成，现在计划由一部分人先做 5 小时，再增加 8 人和他们一起做 10 小时，完成了这项工作，问：先安排多少人工作？3、工作总量为具体数目时，不能再用 1 代替工
10、作总量。例：要加工 200 个零件，甲先单独加工了 5 小时，然后又与乙一起加工 4 小时，完成了任务 已知甲每小时比乙多加工 2 个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件?分析：甲的工作效率即是要求的每小时加工多少个零件，乙的工作效率也是要求的每小时加工多少个零件。两者关系是：“甲每小时比乙多加工 2 个零件” 。可设乙每小时加工 x 个，如下图：一一 一一一一一一= 一=一一= 一=一一=1一一= 一=一一20一一一一一=x+24一=x一一=x+24一=(x+2)一一一一=x+2一一5=(x+2)练习：食堂有煤若干吨,原来每天烧煤 3 吨,用去 15 吨后,改进设备, 耗煤量改为原来的一半,
11、结果多烧了 10 天,求原存煤量.(四)、利用数形结合思想来解“图形”类的问题图形类的问题必须借助图形来解，这是不用置疑的，然而，很多题目没给出图形，因此，增加了难度，往往有多种情况的可能，需要画出几种可能的图形来进行分析。1、平面上有三个点，过两点画直线，一共可以画直线（ ）（A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D ）1 条或 3 条分析：题中并上没给出图形，只说有三点，这三点位置关系存在着如下图所示两种情况：2、三条直线两两相交，则交点有_个分析：同样，题中没画图，需要自己画图分析，有以下两种情况：两种情况都符合题意：三条直线两两相交。练习：平面内有不同四个点，过两点连一直线，有_条
12、直线；3、在直线 a 上顺次取 A、B、C 三点，使得 AB=5cm，BC=3cm，如果 O 是线段 AC 的中点，那么线段 OC 的长度是_;直线 a 上有 A、B、C 三点，AB=5cm，BC=3cm，如果 O 是线段 AC 的中点，那么线段OC 的长度是_分析：这两题有什么不同？在直线 a 上顺次取 A、B、C 三点，则只有一种情况，如下图：直线 a 上有 A、B、C 三点，则有两种情况，第一种情况如上图，同第题，第二种情况如下图：一一一 一一一一一一一 一一一一OABC A BC练习：1、已知点 A、B、C 三个点在同一条直线上，若线段 AB=8，BC=5，则线段AC=_2、从点 O 引出谢线 OA、OB、OC，得到AOB=80 0，BOC=30 0，则AOC=_
