1、 1集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即 A（2）任何集合都是它本身的子集，即 A（3）子集、真子集都有传递性，即若 BA， C，则2集合的运算性质（1）交集： B； ； ； ， B；（2）并集： ； A； ；A， ABA；（3）交、并、补集的关系 CU； U )()()(CCU；)()()(BCUU问题：已知集合21,1,9432xyxyMN则 MN=（ ） A. ；B. ),0(3；C. ,；D. ,例 1定义集合运算： |ABzxyAB设 1,20,B，则集合的所有元素之和为（ ）A0 ；B2；C3 ；D 6例 2数集 ZnX,)12(与 ZkY,)4(之的关系是（
2、）A Y；B ； C ；D X例 3 设集合 032x， 0)5()1(22axx若 2BA，求实数 a的值；（2）若 A，求实数 a的取值范围若 BA， 31第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008年 8月 8日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员，集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ）A B B. C C. B D. C2定义集合运算: yxyA,z2,设集合 1,0, 3,2B,则集合的所有元素之和为 3设 P和 Q是两个集合，定义集合 QPQx且,| ，如果 1log3xP，1x,那么 等于 4研究集合
3、42xyA， 42xyB， 4),(2xyC之间的关系5若集合 RS,3， RT,1，则 TS是（ ）A. S；B. T；C. ；D. 有限集6已知集合 2),(yxM， 4),(yxN，那么集合 NM为（ ）A.1,3yx； B. 3；C. 1,；D. 37集合 |0Aax, 2|0Bx,且 AB,求实数 a的值.故所求实数 a的值为 0,2.备选例题 1：已知 1xyM， 1),(2yxN，则 NM中的元素个数是（ ）A. 0；B. ；C. ；D.无穷多个8.集合 ,的所有子集个数为 9.集合 A中的代表元素设为 x，集合 B中的代表元素设为 y，若 Bx且 Ay，则 与 B的关系是 解析
4、 A 或 10 01mP, 恒 成 立对 于 任 意 实 数 xmxRQ042 则下列关系中立的是( ) A ; B P;C Q;D P8设 A、B 是非空集合，定义 AxxAB且 ，已知 A= 2|xyx，B=|2,0xy，则 AB 等于（ ）A ,；B 12,；C 0,12,；D 0,1(2,)1 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为） “二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cossin2xy，可变为 )(cos4cssin22 xxy 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 )3(lg21就是利用函数 u21log和 32的值域
5、来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 12xy的值域（考虑 y等于 0）（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数 cos的值域，因为（5）利用基本不等式求值域：如求函数 432xy的值域（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数),1(24xxy的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） 。2 问题 1：已知函数 )(xfy的定义域为 ba， ，求 )2(xfy的定义域3 问题 2：已知 2的定义域是 ， ，求函数 的定义域例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2)(
6、xf， 3)(xg； （2） xf)(， ;01,)(xg（3） 12nf， 12)(n（nN *） ；（4） x)(， xg； （5） 2)(xf，12)ttg例 2.函数 )(xf )4323ln(22xx的定义域为( )A. ,4,(;B. )1,0(,4；C. 1,0,;D. )1,0(,例 3设 xxf2lg，则 xff2的定义域为（ ）A. 4,0,； B. 4,1,； C. 2,1,； D. 4,2,例 3已知函数 )(62Raxy，若 0y恒成立，求 3)(af的值域例 4已知 )1(f= 2，则 f的解析式可取为 例 5二次函数 xf满足 xff2)(1(， 且 1)0(f。
7、求 )(xf的解析式；在区间,上， )y的图象恒在 my的图象上方，试确定实数 m的范围。1 下列函数中与函数 相同的是( )A .y = ( x)2 ; B. y = 3t; C. y = 2x ; D. y=22与函数 )12lg(.0x的图象相同的函数是 （ ）A. y；B. 1xy；C. )21(xy； D. |1|xy3.函数 2()log()xf的定义域为 4定义在 R上的函数 ()yfx的值域为 ,ab，则函数 (1)yfx的值域为( )A 1,ab；B ,；C 1；D无法确定 5若函数 ()yfx的定义域是 3，则函数 (2)fgx的定义域是6若函数 ()f的值域是 ,2，则函
8、数 1()Fffx的值域是 7集合 A=3，4，B =5，6，7，那么可建立从 A 到 B 的映射个数是_9_，从 B 到 A 的映射个数是_8_.8若 f :y=3x+1 是从集合 A=1，2，3，k 到集合 B=4，7，a 4， a2+3a的一个映射，求自然数 a、k 的值及集合 A、B.9若函数 24y的定义域为 0,m,值域为 5， ，则 m的取值范围是（ ）A 4,0；B 3， ； C ， ；D 2， ）10已知二次函数 )(xf满足 564)1(xf ，求 )(xf11一给定函数 y的图象在下列图中，并且对任意 1,0a，由关系式 0)(1nnaf得到的数列 na满足 )(0*1N
9、nan，则该函数的图象是（ ）A A B C D 12设 1xf，又记 11, ,12,kkffxfx 则 208fx （）A x；B ；C ； D ；13设二次函数 )(f满足 )2()(xfxf,且其图象在 y 轴上的截距为 1，在 x 轴上截得的线段长为 2，求 的解析式。14.设函数 54)(2xf，在区间 6,2上画出函数 )(xf的图像。15已知函数 23(0) 1 f，则 1f 16某工厂从 2000 年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量 y与时间 t的函数图像可能是（ ）17设函数 2,0(
10、),.xbcf若 )0(3ff, 21,则关于 x的方程xf)(的解的个数为 18已知 a,为常数，若 4)(2xf， 2410)(2baxf ，则b5= 19已知函数 )()(21xff,)0其中 )21()1xf， )(2xf。作出函数 )(xf的图象；20如图，动点 P在正方体 1ABCD的对角线 1BD上过点 P作垂直于平面 1BD的直线，与正方体表面相交于 MN， 设 Px， Ny，则函数 ()fx的图象大致是（ ）A BCD MNPA1 B1C1D1 yxAOyxBOyxCOyxDO21已知 ()fx是二次函数，不等式 ()0f的解集是 (,5)且 (f在区间 1,4上的最大值是
11、12。（I）求 的解析式； （II）是否存在实数 m使得方程 370x在区间 (,)m内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。函数的单调性定义：例 1设 Rk,函数 1,)(xxf RxkfF,)(.试讨函数 )(xF的单调性.例 2 定义在 R上的函数 )(fy， 0，当 x0 时， 1)(f，且对任意的 a、b R，有4 8yot4 8yot4 8yot4 8yot CDABf（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f（x）0；（3）求证：f（x）是 R上的增函数；（ 4）若 f（x ）f（2xx 2）1，
12、求 x 的取值范围.例 3已知函数 af)(2).,若对任意 1,)(f恒成立, 试求实数 a的取值范围。1函数 21log(56)yx的单调增区间为（ ）A 5， ；B (3)， ；C 52， ；D ()，2.已知函数 2)1fxax， R （）讨论函数 (fx的单调区间；（）设函数()f在区间 3， 内是减函数，求 a的取值范围3.若函数 21ln()xy21,的最大值与最小值分别为 M,m，则 M+m = 4下列四个函数中，在区间 4,0上为减函数的是（ ）Axy21；B xy)21(；C xy2log；D 31y5已知函数 )(f，若存在实数 t，当 m,时， xtf)(恒成立，则实数
13、m的最大值是（ ）A1 ；B 2；C3；D46已知 t 为常数，函数 txy在区间0，3 上的最大值为 2，则 t 7.已知函数 2()(0),fxaa若 01,11axx则 )(1xf与 2f的大小关系为 8已知函数 )1(3)(xf，求 )29()20()(fff 的值9.已知函数 042axf 。 （）若 xf为奇函数，求 a的值； （）若)(f在 ),3上恒大于 0，求 的取值范围。10.已知定义域为 R的函数 12()xbfa是奇函数。 （）求 ,ab的值；（）若对任意的 tR，不等式 22()0ftftk恒成立，求 k的取值范围； 1函数的奇偶性的定义：对 于 函 数 )(xf的
14、定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 )(xff 或0)(xff ，则称 )(xf为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对 于 函 数 )(xf的 定 义 域 内任 意 一 个 ， 都 有 或 0)(xff ，则称 )(xf为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。2.函数的周期性命定义：)0(1)()()()( xfffffxf ,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意若 0xf,则 x既是奇函数又是偶函数,若)0()mxf,则 (xf是偶函数；若 )(f是奇函数且在 处有定义，则 0)(f若在函数 的定义域内有 ()mf，则可以断定 xf不是偶函数，同样，若在函数 x的定义
15、域内有 ()(ff，则可以断定 )不是奇函数。2.奇偶函数图象的对称性若 xafy是偶函数，则 )(2()()( fxaff )(xf的图象关于直线 ax对称；若by是偶函数，则 )()2fbbxf )(f的图象关于点 )0,(中心对称；3.函数值之和等于零型，即函数 )(0)()(axfaf 对于定义域中任意 x满足0)()(bxbfaf ，则有 2xfb，故函数 )(f的周期是2T4函数图象有 ax， )(两条对称轴型函数图象有 ax， )(b两条对称轴，即)()(faf， )(bfxf，从而得 (2xff，故函数x的周期是 2bT5 两个函数值之积等于 1，即函数值互为倒数或负倒数型若
16、)(1)()(baxfaf ，则得)2()()( axfaxf ，所以函数 x的周期是 T2；同理若b，则 (f的周期是 )(2b分式递推型，即函数 )(xf满足)(1)(axfaxf由 )(1)axfaxf 得)2(1)(bxfaxf，进而得 1)2()(bxfaf ，由前面的结论得 )(xf的周期是4bT例 1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x +1|x1|；（2） f（x ）=（x1） x；（3） 2|)(f；（ 4） ).0()1(,)f例 2定义在区间 )1,上的函数 f (x)满足：对任意的 )1,(,yx，都有()(xyfyfx. 求证 f (x)为奇函数；例 3已知奇
17、函数 )(f是定义在 )2,(上的减函数，若 0)12()(mff ，求实数 的取值范围。例 4设函数 f(x)是定义在 R上的偶函数，并在区间(,0) 内单调递增，f(2a 2+a+1)0,b0)是奇函数，当 x0 时，f(x) 有最小值 2，其中 bN 且 f(1)-1，判断 )(f在(0， 上的单调性，并证明你的结论.解析(1)设 x(0， ，则 )0且x，2 分所以 f(-x)= 21a，4 分又因为 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)= xx(0， . 6 分 (2) x(0， 1时， f(x)= 2， 3 2)(af， 10 分x3(0， ， 3， 12 分又 a-1，所以 2
18、xa0，即 0)(xf，所以 f(x)在(0， 1上递增. 14 分21. (12 分)若函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数,当 x2,3时,f(x)=x 1.在 y=f(x)的图象上有两点 A、B, 它们的纵坐标相等,横坐标都在区间1,3上, 定点 C 的坐标为(0,a)(其中 2a3),(1) 求当 x1,2时,f(x)的解析式;(2) 定点 C 的坐标为 (0,a)(其中 2a3),求ABC 面积的最大值.解:析(1)f(x)是以 2 为周期的周期函数,当 x2,3时,f(x)=x1, 当 x 0,1时,f(x)=f(x+2)=(x+2)1=x+1. 1 分f(x)是偶函数,当 x1,0 时,f(x)=f(x)= x+1, 2 分当 x 1,2时,f(x)=f(x2)=(x2)+1=x+3. 4 分(2)设 A、B 的横坐标分别为 3t,t+1,1t2,则|AB|=(t+1)(3t)=2t2, 6 分ABC 的面积为 S= 21(2t2)(a t)=t 2+(a+1)ta(1t2)=(t 21a)2+ .41a2a3, 3 a2.当 t= 时,S 最大值 = .4a12 分
