1、第 一 章 实 数 集 与 函 数1 实 数数 学 分 析 研 究 的 基 本 对 象 是 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 .为 此 , 我 们 先 简 要 叙 述 实 数 的 有 关 概 念 .一 实数及其性质在 中 学 数 学 课 程 中 , 我 们 知 道 实 数 由 有 理 数 与 无 理 数 两 部 分 组 成 .有 理 数 可 用 分 数 形 式 p ( p、 q 为 整 数 , q 0 ) 表 示 , 也 可 用 有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 循 环q小 数 来 表 示 ; 而 无 限 十 进 不 循 环 小 数 则 称 为 无 理 数 .有 理 数 和 无
2、 理 数 统 称 为 实 数 .为 了 以 下 讨 论 的 需 要 , 我 们 把 有 限 小 数 ( 包 括 整 数 ) 也 表 示 为 无 限 小 数 .对此 我 们 作 如 下 规 定 : 对 于 正 有 限 小 数 ( 包 括 正 整 数 ) x , 当 x = a0 . a1 a2 an 时 , 其 中 0 ai 9 , i = 1 , 2 , , n , an 0 , a0 为 非 负 整 数 , 记x = a0 . a1 a2 ( an - 1) 999 9 ,而当 x = a 0 为正整数时 , 则记x = ( a0 - 1 ) .999 9 ,例 如 2 .001 记 为 2
3、.000 999 9 ; 对 于 负 有 限 小 数 ( 包 括 负 整 数 ) y , 则 先 将 - y 表 示 为 无 限 小 数 , 再 在 所 得 无 限 小 数 之 前 加 负 号 , 例 如 - 8 记 为 - 7.999 9 ; 又 规 定 数 0 表 示 为 0.000 0 .于是 , 任 何 实 数 都 可 用 一 个 确 定 的 无 限 小 数 来 表 示 .我们已经熟知比较两个有理数大小的方法 .现定义两个实数的大小关系 .定义 1 给定两个非负实数x = a0 . a1 a2 an , y = b0 .b1 b2 bn ,其 中 a0 , b0 为 非 负 整 数 ,
4、 ak , bk ( k = 1 , 2 , ) 为 整 数 , 0 ak 9 , 0 bk 9 .若有ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , ,则称 x 与 y 相等 , 记为 x = y; 若 a 0 b0 或存在非负整数 l , 使得ak = bk ( k = 0 , 1 , 2 , , l ) 而 a l + 1 bl + 1 ,则称 x 大于 y 或 y 小于 x , 分别记为 x y 或 y - y , 则 分 别 称 x= y 与 x x) .另外 , 自 然 规 定 任 何 非 负 实 数 大 于 任 何 负 实 数 .以 下 给 出 通 过 有 限 小 数 来 比
5、 较 两 个 实 数 大 小 的 等 价 条 件 .为 此 , 先 给 出 如 下 定 义 .定 义 2 设 x = a 0 . a1 a2 an 为 非 负 实 数 .称 有 理 数xn = a0 . a1 a2 an为 实 数 x 的 n 位 不 足 近 似 , 而 有 理 数xn = xn +称 为 x 的 n 位 过 剩 近 似 , n = 0 , 1 , 2 , .1 10 n对 于 负 实 数 x = - a0 .a1 a2 an , 其 n 位 不 足 近 似 与 过 剩 近 似 分 别 规 定为1 xn = - a0 .a1 a2 an - n 与 x n = - a0 .a1
6、 a2 an .10注 不 难 看 出 , 实 数 x 的 不 足 近 似 x n 当 n 增 大 时 不 减 , 即 有 x0 x1 x2 , 而 过 剩 近 似 xn 当 n 增 大 时 不 增 , 即 有 x0 x1 x2 .我们有以下的命 题 设 x = a 0 .a1 a2 与 y = b 0 . b1 b2 为 两 个 实 数 , 则 x y 的 等 价 条件 是 : 存 在 非 负 整 数 n , 使 得xn yn ,其 中 xn 表 示 x 的 n 位 不 足 近 似 , yn 表 示 y 的 n 位 过 剩 近 似 .关 于 这 个 命 题 的 证 明 , 以 及 关 于 实
7、 数 的 四 则 运 算 法 则 的 定 义 , 可 参 阅 本 书 附 录 第 八 节 .例 1 设 x、y 为实数 , x b .3 . 实数的大小关系具有传递性 , 即若 a b, b c, 则有 a c .4 . 实 数 具 有 阿 基 米 德 ( Archimedes ) 性 , 即 对 任 何 a 、 b R , 若 b a 0 , 则 存 在 正 整 数 n , 使 得 na b .5 . 实 数 集 R 具有稠密性 , 即 任 何 两 个 不 相 等 的 实 数 之 间 必 有 另 一 个 实 数 ,且 既 有 有 理 数 ( 见 例 1 ) , 也 有 无 理 数 .6 .
8、如 果 在 一 直 线 ( 通 常 画 成 水 平 直 线 ) 上 确 定 一 点 O 作 为 原 点 , 指 定 一 个方 向 为 正 向 ( 通 常 把 指 向 右 方 的 方 向 规 定 为 正 向 ) , 并 规 定 一 个 单 位 长 度 , 则 称 此 直 线 为 数 轴 .任 一 实 数 都 对 应 数 轴 上 唯 一 的 一 点 ; 反 之 , 数 轴 上 的 每 一 点 也 都 唯一 地 代 表 一 个 实 数 .于 是 , 实 数 集 R 与 数 轴 上 的 点 有 着 一 一 对 应 关 系 .在 本 书 以后 的 叙 述 中 , 常 把 “ 实 数 a”与 “数 轴 上
9、 的 点 a”这 两 种 说 法 看 作 具 有 相 同 的 含 义 .例 2 设 a 、 b R .证 明 : 若 对 任 何 正 数 有 a b .令 = a- b, 则 为 正 数 且 a = b + , 但 这 与 假 设 a 0) .4 . 对 于 任 何 a、 b R 有 如 下 的 三 角 形 不 等 式 :a - b a b a + b .5 . | ab | = | a | | b| .6 . a b| a | b| ( b 0) .下 面 只 证 明 性 质 4 , 其 余 性 质 由 读 者 自 行 证 明 .由性质 2 有=4 第 一 章 实 数 集 与 函 数两式相加
10、后得到- a a a , - b b b .- ( a + b ) a + b a + b .根 据 性 质 3 , 上 式 等 价 于a + b a + b . ( 1)将 (1 ) 式 中 b 换 成 - b, ( 1) 式 右 边 不 变 , 即 得 | a - b | | a | + | b | , 这 就 证 明 了 性质 4 不 等 式 的 右 半 部 分 .又 由 | a | = | a - b + b | , 据 (1 ) 式 有a a - b + b .从而得a - b a - b . ( 2)将 (2 ) 式 中 b 换 成 - b, 即 得 | a | - | b | |
11、 a + b | .性质 4 得 证 .习 题1 . 设 a 为 有 理 数 , x 为 无 理 数 .证 明 :( 1) a + x 是无理数 ; ( 2)当 a0 时 , ax 是无理数 .2 . 试 在 数 轴 上 表 示 出 下 列 不 等 式 的 解 :( 1) x ( x2 - 1) 0; ( 2) | x - 1 | 0 , b 0 , a b . 证 明 a + x 介于 1 与 a 之 间 .b + x b8 . 设 p 为 正 整 数 .证 明 :若 p 不 是 完 全 平 方 数 , 则 p 是 无 理 数 .9 . 设 a 、 b 为 给 定 实 数 .试 用 不 等
12、式 符 号 (不 用 绝 对 值 符 号 ) 表 示 下 列 不 等 式 的 解 :( 1) | x - a| a ,( - , a) = x x 0 .满足绝对值不等式 | x - a | M , 其 中 M 为 充 分 大 的 正 数 ( 下 同 ) ;+ 邻域 U( + ) = x | x M; - 邻域 U( - ) = x | x M .事 实 上 , 对 任 何 正 数 M ( 无 论 多 么 大 ) , 取 n 0 = M + 1 , 则 n0 N + , 且 n 0 M .这 就 证 明 了 N + 无 上 界 .读 者 还 可 自 行 证 明 : 任 何 有 限 区 间 都
13、是 有 界 集 , 无 限 区 间 都 是 无 界 集 ; 由 有 限 个 数 组 成 的 数 集 是 有 界 集 .若 数 集 S 有 上 界 , 则 显 然 它 有 无 穷 多 个 上 界 , 而 其 中 最 小 的 一 个 上 界 常 常具 有 重 要 的 作 用 , 称 它 为 数 集 S 的 上 确 界 .同 样 , 有 下 界 数 集 的 最 大 下 界 , 称 为 该 数 集 的 下 确 界 .下 面 给 出 数 集 的 上 确 界 和 下 确 界 的 精 确 定 义 .定 义 2 设 S 是 R 中的一个数集 .若数 满 足 : ( i) 对 一 切 x S , 有 x , 即
14、 是 S 的 上 界 ;( ii) 对 任 何 , 即 又 是 S 的 最 小 上 界 ,则 称 数 为 数 集 S 的 上 确 界 , 记 作 = sup S .定 义 3 设 S 是 R 中的一个数集 .若数 满 足 : ( i) 对 一 切 x S , 有 x , 即 是 S 的 下 界 ;( ii) 对 任 何 , 存 在 x0 S , 使 得 x0 ; 若 0 , 则 由 有 理 数 集 在 实 数 集 中 的 稠 密 性 , 在 ( , 1) 中 必 有 有 理 数 x0 , 即 存 在 x0 S , 使 得 x0 .类似地可验证 inf S = 0 .读者 还 可 自 行 验 证
15、 : 闭 区 间 0 , 1 的 上 、 下 确 界 分 别 为 1 和 0 ; 对 于 数 集 x 表 示 不 超 过 数 x 的 最 大 整 数 , 例 如 2 .9 = 2 , - 4 .1 = - 5 . sup 是 拉 丁 文 supremum ( 上 确 界 ) 一 词 的 简 写 ; 下 面 的 inf 是 拉 丁 文 infimum ( 下 确 界 ) 一 词 的 简 写 .E = ( - 1 ) 2 数 集 确 界 原 理 7nn n = 1 , 2 , , 有 s up E =N + = 1 , 而 没 有 上 确 界 .12 , inf E = - 1 ; 正 整 数 集
16、 N + 有 下 确 界 inf注 1 由 上 ( 下 ) 确 界 的 定 义 可 见 , 若 数 集 S 存 在 上 ( 下 ) 确 界 , 则 一 定 是 唯 一 的 . 又 若 数 集 S 存在上、 下 确 界 , 则 有 i nf S sup S .注 2 从 上 面 一 些 例 子 可 见 , 数 集 S 的 确 界 可 能 属 于 S , 也 可 能 不 属 于 S .例 3 设 数 集 S 有 上 确 界 .证 明 = sup S S ! = max S .证 ) 设 = s up S S , 则 对 一 切 x S 有 x , 而 S , 故 是 数 集S 中最大的数 , 即
17、= max S . ) 设 = max S , 则 S ; 下 面 验 证 = sup S: ( i) 对 一 切 x S , 有 x , 即 是 S 的 上 界 ;( ii) 对 任 何 .从 而 满 足 = s up S 的 定义 .关 于 数 集 确 界 的 存 在 性 , 我 们 给 出 如 下 确 界 原 理 .定 理 1 .1 ( 确 界 原 理 ) 设 S 为 非 空 数 集 .若 S 有 上 界 , 则 S 必 有 上 确 界 ; 若S 有 下 界 , 则 S 必 有 下 确 界 .证 我 们 只 证 明 关 于 上 确 界 的 结 论 , 后 一 结 论 可 类 似 地 证
18、明 .为 叙 述 的 方 便 起 见 , 不 妨 设 S 含 有 非 负 数 .由 于 S 有 上 界 , 故 可 找 到 非 负 整 数 n , 使 得1) 对于任何 x S 有 x , 则 可 找 到 x 的 k 位 不 足 近 似xk , 使从而得xk k = n . n1 n2 nk + 1 ,10 kx n . n1 n2 nk + 1 ,10 k但 这 与 不 等 式 (1 ) 相 矛 盾 .于是 ( i) 得 证 .现 设 珔 k , 即n . n1 n2 nk 珔 k .根 据 数 的 构 造 , 存 在 a S 使 a k , 从 而 有a k 珔 k , 即 得 到 - ,
19、 - 0( a , b , c 为常数 , 且 a 0 , a 1 , x 为 有 理 数 .证 明sup ar | r 为有理数 , r 1 ,ax =inf ar | r 为有理数 , r 0 ,0 , x = 0 ,- 1 , x 0 , a 1 ) 与 y = sin x ,14 第 一 章 实 数 集 与 函 数x - , 的 反 函 数 分 别 是2 2x - ba , y = log a x 与 y = arcsin x .应 该 注 意 , 尽 管 反 函 数 f - 1 的 表 示 式 (4 ) 与 ( 5) 的 形 式 不 同 , 但 它 们 仍 表 示 同一 个 函 数
20、, 因 为 它 们 的 定 义 域 都 是 f ( D) , 对 应 法 则 都 是 f - 1 , 只 是 所 用 变 量 的记 号 不 同 而 已 .六 初等函数在 中 学 数 学 中 , 读 者 已 经 熟 悉 基 本 初 等 函 数 有 以 下 六 类 :常量函数 y = c ( c 是常数 ) ; 幂函数 y = x ( 为实数 ) ; 指数函数 y = ax ( a 0 , a 1) ; 对数函数 y = log a x ( a 0 , a1 ) ;三 角 函 数 y = sin x( 正 弦 函 数 ) , y = cos x ( 余 弦 函 数 ) , y = tan x( 正
21、 切 函 数 ) , y = cot x( 余 切 函 数 ) ;反三角函数y = arcsin x( 反 正 弦 函 数 ) , y = arccos x ( 反 余 弦 函 数 ) ,y = arctan x ( 反 正 切 函 数 ) , y = arccot x( 反 余 切 函 数 ) .这 里 我 们 要 指 出 , 幂 函 数 y = x 和 指 数 函 数 y = ax 都 涉 及 乘 幂 , 而 在 中 学 数 学 课 程 中 只 给 出 了 有 理 指 数 乘 幂 的 定 义 .下面 我 们 借 助 确 界 来 定 义 无 理 指 数幂 , 使 它 与 有 理 指 数 幂
22、一 起 构 成 实 指 数 乘 幂 , 并 保 持 有 理 指 数 幂 的 基 本 性 质 .定 义 2 给 定 实 数 a 0 , a 1 .设 x 为 无 理 数 , 我 们 规 定ax =sup ar r 为 有 理 数 , 当 a 1 时 ,r 1 时有 a r 1 ,( 5) y = x3 , | x | 0 .图 1 - 2求 : (1 ) f ( - 3) , f (0 ) , f ( 1) ; (2 ) f ( x) - f ( 0) , f ( - x) - f ( 0) ( x 0) .6 . 设 函 数 f ( x ) = 1 , 求1 + xf (2 + x) , f
23、( 2 x) , f ( x2 ) , f ( f ( x) ) , f 1 .f ( x )7 . 试 问 下 列 函 数 是 由 哪 些 基 本 初 等 函 数 复 合 而 成 :( 1) y = (1 + x) 20 ; (2 ) y = ( arcsin x2 ) 2 ;2( 3) y = lg(1 + 1 + x2 ) ; (4 ) y = 2sin x .8 . 在 什 么 条 件 下 , 函 数的 反 函 数 就 是 它 本 身 ?y = ax + bcx + d9 . 试作函数 y = arcsin (sin x )的图象 .10 . 试 问 下 列 等 式 是 否 成 立 :
24、16 第 一 章 实 数 集 与 函 数( 1) tan( arctan x) = x , xR ;( 2) arctan( tan x) = x , x k + 11 . 试 问 y = | x | 是 初 等 函 数 吗 ?2 , k = 0 , 1 , 2 , .12 . 证 明 关 于 函 数 y = x 的 如 下 不 等 式 :( 1) 当 x 0 时 , 1 - x M , 则 称 f 为 D 上 的 无 上 界 函 数 .作 为 练 习 , 读 者 可 自 行 写 出 无 下 界 函 数 与 无 界 函 数 的 定 义 .4 具 有 某 些 特 性 的 函 数 17例 1 证
25、明 f ( x) = 1 为 (0 , 1 上 的 无 上 界 函 数 .x证 对 任 何 正 数 M , 取 ( 0 , 1 上 一 点 x0 = 1 , 则 有M + 1f ( x0 ) = 1 x0 = M + 1 M .故 按 上 述 定 义 , f 为 ( 0 , 1 上 的 无 上 界 函 数 .前 面 已 经 指 出 , f 在 其 定 义 域 D 上 有 上 界 , 是 指 值 域 f ( D) 为 有 上 界 的 数 集 . 于 是 由 确 界 原 理 , 数 集 f ( D ) 有 上 确 界 . 通 常 , 我 们 把 f ( D) 的 上 确 界 记 为sup f (
26、x ) , 并 称 之 为 f 在 D 上 的 上 确 界 .类 似 地 , 若 f 在 其 定 义 域 D 上 有 下 界 , 则x Df 在 D 上的下确界记为 inf f ( x) .x D例 2 设 f , g 为 D 上 的 有 界 函 数 .证明 :() ) inf f ( x) + inf g( x) i nf f ( x) + g( x) ;x D x D x D() ) sup f ( x) + g( x) sup f ( x ) + sup g( x ) .x D证 ( i ) 对 任 何 x D 有x D x Dinf f ( x ) f ( x ) , inf g( x
27、 ) g ( x) inf f ( x) + inf g( x ) f ( x) + g( x) .x D x D x D x D上 式 表 明 , 数 inf f ( x ) + inf g( x ) 是 函 数 f + g 在 D 上 的 一 个 下 界 , 从 而x D x Dinf f ( x) + inf g( x) i nf f ( x ) + g( x) .x D( ii) 可 类 似 地 证 明 ( 略 ) .x D x D注 例 2 中 的 两 个 不 等 式 , 其 严 格 的 不 等 号 有 可 能 成 立 .例如 , 设f ( x ) = x , g( x ) = -
28、x , x - 1 , 1 ,则有 inf| x | 1f ( x ) = inf| x | 1g( x) = - 1 , sup| x | 1f ( x) = sup| x | 1g( x ) = 1 , 而inf| x| 1 f ( x) + g ( x ) = sup f ( x ) + g( x) = 0 .| x | 1二 单调函数定义 3 设 f 为定义在 D 上的函数 .若对任何 x 1 , x2 D , 当 x 1 f ( x2 ) 时 , 称 f 为 D 上 的 严 格 减 函 数 ;增 函 数 和 减 函 数 统 称 为 单 调 函 数 , 严 格 增 函 数 和 严 格
29、减 函 数 统 称 为 严 格 单调 函 数 .例 3 函 数 y = x3 在 R 上 是 严 格 增 的 .因为 对 任 何 x 1 , x2 R , 当 x 1 0 ,例 4 函 数 y = x 在 R 上 是 增 的 .因 为 对 任 何 x1 , x2 R , 当 x 1 x 时 有 f ( x1 ) y, 总 之 f ( x1 ) y .这 就 说 明 , 对 每 一 个 y f ( D) , 都 只 存 在 唯 一 的 一 个 x D, 使 得 f ( x ) = y , 从 而 函 数 f 存 在 反 函 数 x = f - 1 ( y) , y f ( D ) .现证 f -
30、 1 也 是 严 格 增 的 .任取 y , y f ( D ) , y 0 , a 1 )的 定 义 域 拓 广 到 整 个 实 数 集 R .下 面 证 明 指 数 函 数 在 R 上 的 严 格 单 调 性 .例 6 证 明 : y = ax 当 a 1 时 在 R 上 严 格 增 ; 当 0 1 .给定 x 1 , x2 R , x1 1 时 在 R 上 严 格 递 增 .类 似 地 可 证 ax 当 0 1 时 在 ( 0 ,+ ) 上 严 格 递 增 , 当 0 0 , a 1 , x R+ , R) . ( 2)三 奇函数和偶函数定 义 4 设 D 为 对 称 于 原 点 的 数
31、 集 , f 为 定 义 在 D 上 的 函 数 .若 对 每 一 个 x D 有f ( - x) = - f ( x) ( f ( - x ) = f ( x) ) ,则 称 f 为 D 上 的 奇 ( 偶 ) 函 数 .从 函 数 图 形 上 看 , 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 , 偶 函 数 的 图 象 则 关 于 y 轴 对 称 .例 如 , 正 弦 函 数 y = sin x 和 正 切 函 数 y = tan x 是 奇 函 数 , 余 弦 函 数y = cos x 是 偶 函 数 , 符 号 函 数 y = sgn x 是 奇 函 数 ( 见 图 1 - 1
32、) .而 函 数 f ( x ) =sin x + cos x 既 不 是 奇 函 数 , 也 不 是 偶 函 数 , 因 若 取 x0 = 4 , 则 f ( x0 ) = 2 ,f ( - x0 ) = 0 , 显然既不成立 f ( - x0 ) = - f ( x0 ) , 也不成立 f ( - x0 ) = f ( x0 ) .四 周期函数设 f 为 定 义 在 数 集 D 上 的 函 数 .若 存 在 0 , 使 得 对 一 切 x D 有 f ( x ) = f ( x ) , 则 称 f 为 周 期 函 数 , 称 为 f 的 一 个 周 期 .显 然 , 若 为 f 的 周 期
33、 , 则 n ( n 为 正 整 数 ) 也 是 f 的 周 期 .若在 周 期 函 数f 的 所 有 周 期 中 有 一 个 最 小 的 周 期 , 则 称 此 最 小 周 期为 f 的 基 本 周 期 , 或 简 称 周 期 .例如 , sin x 的 周 期 为 2 , tan x 的 周 期 为 .函数f ( x ) = x - x , x R 图 1 - 4的 周 期 为 1( 见 图 1 - 4) .常 量 函 数 f ( x ) = c 是 以 任 何 正 数 为 周 期 的 周 期 函 数 ,但不存在基本周期 .20 第 一 章 实 数 集 与 函 数习 题1 . 证明 f (
34、 x ) = x 是 R 上 的 有 界 函 数 .x2 + 12 . ( 1) 叙 述 无 界 函 数 的 定 义 ;( 2) 证 明 f ( x) = 1 为 ( 0 , 1 )上 的 无 界 函 数 ;x2 ( 3) 举 出 函 数 f 的 例 子 , 使 f 为 闭 区 间 0 , 1 上 的 无 界 函 数 .3 . 证 明 下 列 函 数 在 指 定 区 间 上 的 单 调 性 :( 1) y = 3 x - 1 在 ( - , + ) 上 严 格 递 增 ;( 2) y = sin x 在 - , 上 严 格 递 增 ;2 2( 3) y = cos x 在 0 , 上严格递减
35、.4 . 判 别 下 列 函 数 的 奇 偶 性 :( 1) f ( x) = 1 x4 + x2 - 1; ( 2) f ( x) = x + sin x;22( 3) f ( x) = x2 e - x ; ( 4) f ( x) = lg( x + 1 + x2 ) .5 . 求 下 列 函 数 的 周 期 :( 1) cos2 x; ( 2) tan3 x ; (3 ) cos x26 . 设 函 数 f 定 义 在 - a , a 上 , 证 明 :+ 2sin x .3( 1) F( x) = f ( x ) + f ( - x) , x - a , a 为 偶 函 数 ;( 2)
36、 G( x) = f ( x ) - f ( - x) , x - a , a 为 奇 函 数 ;( 3) f 可 表 示 为 某 个 奇 函 数 与 某 个 偶 函 数 之 和 .7 . 设 f、g 为定义在 D 上的有界函数 , 满足f ( x) g( x ) , x D .证明: (1) sup f ( x ) sup g( x) ; ( 2) inf f ( x) inf g( x) .x D x D x D x D8 . 设 f 为 定 义 在 D 上 的 有 界 函 数 , 证 明 :( 1) sup - f ( x) = - inf f ( x ) ; ( 2) inf - f
37、( x) = - sup f ( x ) .x D x D x D x D9 . 证明 : t an x 在 - , 上 无 界 , 而 在 - , 内 任 一 闭 区 间 a , b上 有 界 .2 2 2 210 . 讨论狄利克雷函数的 有界 性 、 单 调 性与 周 期 性 .D( x ) =1 , 当 x 为 有 理 数 ,0 , 当 x 为无理数11 . 证明 : f ( x) = x + sin x 在 R 上严格增 .12 . 设 定 义 在 a , + ) 上 的 函 数 f 在 任 何 闭 区 间 a , b 上 有 界 .定 义 a , + ) 上 的 函总 练 习 题 2
38、1数 :m( x) = infa y xf ( y) , M ( x) = supa y xf ( y) .试讨论 m( x) 与 M( x)的图象 , 其中( 1) f ( x) = cos x , x 0 , + ) ; ( 2) f ( x ) = x2 , x - 1 , + ) .总 练 习 题1 . 设 a , bR , 证 明 :( 1) max a , b = 1 ( a + b + | a - b| ) ;2( 2) min a , b = 1 ( a + b - | a - b| ) .22 . 设 f 和 g 都 是 D 上 的 初 等 函 数 .定 义M ( x) =
39、max f ( x) , g( x) , m( x) = min f ( x) , g( x ) , x D .试问 M( x )和 m( x) 是否为初等函数 ?3 . 设函数 f ( x ) = 1 - x , 求 :1 + xf ( - x) , f ( x + 1) , f ( x) + 1 , f 1 x , 1 , f ( x2 ) , f ( f ( x ) ) . f ( x)4 . 已知 f 1 x = x + 1 + x2 , 求 f ( x ) .5 . 利 用 函 数 y = x 求 解 :(1 ) 某 系 各 班 级 推 选 学 生 代 表 , 每 5 人 推 选 1
40、 名 代 表 , 余额 满 3 人 可 增 选 1 名 .写 出 可 推 选 代 表 数 y 与 班 级 学 生 数 x 之 间 的 函 数 关 系 ( 假 设 每 班 学 生 数 为 30 50 人 ) ;( 2) 正 数 x 经 四 舍 五 入 后 得 整 数 y , 写 出 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 .6 . 已知函数 y = f ( x) 的 图 象 , 试 作 下 列 各 函 数 的 图 象 :( 1) y = - f ( x ) ; ( 2) y = f ( - x) ; ( 3) y = - f ( - x) ;( 4) y = | f ( x) | ; ( 5)
41、y = sgn f ( x ) ;( 6) y = 1 | f ( x) | + f ( x) ; ( 7) y = 1 | f ( x) | - f ( x) .2 27 . 已 知 函 数 f 和 g 的 图 象 , 试 作 下 列 函 数 的 图 象 :( 1) ( x) = max f ( x) , g( x) ; (2) ( x) = min f ( x ) , g( x) .8 . 设 f、g 和 h 为增函数 , 满足f ( x) g( x) h( x ) , x R .证明: f ( f ( x) ) g( g( x) ) h( h( x) ) .9 . 设 f 和 g 为 区
42、 间 ( a , b)上 的 增 函 数 , 证 明 第 7 题 中 定 义 的 函 数 ( x) 和 ( x) 也 都 是( a , b) 上的增函数 .10 . 设 f 为 - a , a 上 的 奇 ( 偶 ) 函 数 . 证 明 : 若 f 在 0 , a 上 增 , 则 f 在 - a , 0 上 增( 减 ) .11 . 证 明 :222 第 一 章 实 数 集 与 函 数( 1) 两 个 奇 函 数 之 和 为 奇 函 数 , 其 积 为 偶 函 数 ;( 2) 两 个 偶 函 数 之 和 与 积 都 为 偶 函 数 ;( 3) 奇 函 数 与 偶 函 数 之 积 为 奇 函 数
43、 .12 . 设 f , g 为 D 上 的 有 界 函 数 .证 明 :( 1) inf f ( x) + g( x) inf f ( x) + sup g( x) ;x D x D x D( 2) sup f ( x ) + inf g( x) sup f ( x) + g( x) .x D x D x D13 . 设 f , g 为 D 上 的 非 负 有 界 函 数 .证 明 :( 1) inf f ( x ) inf g( x) inf f ( x) g( x ) ;x D x D x D( 2) sup f ( x) g( x) sup f ( x )sup g( x ) .x D
44、 x D x D14 . 将 定 义 在 0 , + ) 上 的 函 数 f 延 拓 到 R 上 , 使 延 拓 后 的 函 数 为 ( i) 奇 函 数 ; ( ii) 偶 函 数 . 设( 1) f ( x) = sin x + 1;( 2) f ( x) = 1 - 1 - x , 0 x 1 ,x3 , x 1 .15 . 设 f 为 定 义 在 R 上 以 h 为 周 期 的 函 数 , a 为 实 数 .证 明 : 若 f 在 a , a + h 上 有 界 , 则f 在 R 上 有 界 .16 . 设 f 在 区 间 I 上 有 界 .记M = sup f ( x) , m = inf f ( x) .x I证明x Isupx , x If ( x ) - f ( x ) = M - m .
