黎曼函数的性质及其证明.pdf

1、第 22 卷 第 2 期 宝 鸡 文 理 学 院 学 报 (自 然 科 学 版 ) V o l. 22 N o. 22002 年 6 月 Journal of Bao ji Co llege of A rts and Science (N atural Science) Jun. 2002黎 曼 函 数 的 性 质 及 其 证 明 X张 丽 , 刘 淳 安(宝 鸡 文 理 学 院 数 学 系 , 陕 西 宝 鸡 721007)摘 要 : 从 黎 曼 函 数 的 简 单 特 征 入 手 讨 论 它 的 连 续 性 、 可 积 性 、 可 导 性 , 特 别 是 证 明 了 黎 曼 函 数 在 区

2、间 0, 1 上 处 处 不 可 导 , 并 结 合 狄 利 克 雷 函 数 加 以 引 申 和 推 广 。关 键 词 : 黎 曼 函 数 ; 特 征 ; 可 导 性中 图 分 类 号 : O 174. 1 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 : 100721261 (2002) 0220125202Properties of Riemann function and the ir provedZHAN G L i,L IU Chun2an(D ep t. M ath. ,Bao ji Co ll. A rts espe2cially, the non2differen tiab le

3、 p roperties on 0, 1 are p roved, and D irich lets function is comparatedw ith it.Key words: R iem ann function; p roperties; differen tiab ilityM SC2000: 26A 27在 数 学 分 析 上 , 有 两 个 无 法 用 解 析 法 、 列 表法 或 图 象 法 表 示 , 只 能 用 言 语 来 描 述 的 特 殊 函 数2黎 曼 (R iem ann) 函 数 和 狄 利 克 雷 (D irich let) 函数 。 现 在 , 我 们 讨

4、 论 黎 曼 函 数 的 简 单 性 质 , 及 其 与狄 利 克 雷 函 数 的 区 别 。1 黎 曼 函 数 的 定 义 及 简 单 特 征定 义 称 定 义 在 区 间 0, 1 上 的 函 数R (x ) =1p , 当 x =qp (p , q 为 正 整 数 ,qp 为 既 约 真 分 数 )0, 当 x = 0, 1 和 无 理 数为 黎 曼 函 数 。从 黎 曼 函 数 的 定 义 可 知 , 黎 曼 函 数 的 值 域 是集 合 E = 0, 12 , 13 , 14 , , 1p , , 其 中 p 是 大 于等 于 2 的 正 整 数 , 因 此 , 黎 曼 函 数 的

5、第 一 个 简 单 特征 是 :( ) 黎 曼 函 数 是 区 间 0, 1 上 的 有 界 函数 , 其 上 确 界 是 1 2, 下 确 界 是 0, 其 值 域 只 有 一个 , 聚 点 是 0, 它 也 是 数 列 1 p 的 极 限 点 , 其 中 p为 自 然 数 。其 次 , 对 任 何 自 然 数 p 1, 使 得 qp (0, 1)的 有 理 数 只 有 1p , 2p , , p - 1p , 由 定 义 要 求 , p , q互 质 , 所 以 这 种 数 最 多 (p - 1) 个 , 而 它 们 所 对 应的 函 数 值 却 都 是 1p , 即 R ( ip ) =

6、 1p (i = 1, 2, , p- 1)。 因 为 ip 与 p - ip (显 然 i 与 p 互 质 时 , p - i与 p 亦 互 质 ) 关 于 直 线 x 0 = 1 2对 称 , 故 黎 曼 函 数的 第 2 个 简 单 特 征 是( ) 黎 曼 函 数 在 有 理 点 的 图 象 (见 图 1) 关于 直 线 x 0 = 1 2 对 称 。又 由 其 值 域 E 可 看 出 , 当 p (自 然 数 ) 变 大 时 ,1 p = R (q p ) (q p (0, 1) ) 在 变 小 且 以 0 为 其极 限 , 因 而 R (x ) 的 最 大 值 为 1 2。 所 以

7、 对 P E0 (E E的 区 间(0, 1) 中 的 有 理 数 x 只 有 有 限 个 , 即 p 只 能 在 2 p 1 E 中 取 值 , 因 而 黎 曼 函 数 的 第 3 个 简 单 特征 是 :X 收 稿 日 期 : 2001212206作 者 简 介 : 张 丽 (19742) , 女 , 陕 西 宝 鸡 人 , 助 教 , 研 究 方 向 : 基 础 数 学 。( ) P E (0, 1 2) , 使 得R (x ) = R (q p ) = 1 p E的 区 间 (0, 1) 中 的 有 理 数 只 有 有 限 多 个 。这 3 个 简 单 特 征 , 特 别 是 ( )

8、, 在 讨 论 黎 曼 函数 的 性 质 时 十 分 有 用 。图 1 黎 曼 函 数 在 有 理 点 的 图 象2 黎 曼 函 数 的 性 质命 题 1 对 P x 0 0, 1 , 成 立 limx x 0R (x ) =0 (当 x = 0, 1 时 , 考 虑 单 侧 极 限 )。证 P E 0, 不 妨 设 E E的 p 至 多 有 有 限 个 , 即 p 只 能取 2 p 1 E 的 正 整 数 , 因 此 由 黎 曼 函 数 的 简单 特 征 知 , 使 R (x ) E的 区 间 0, 1 中 的 有 理数 x 只 有 有 限 个 , 不 妨 设 它 们 分 别 为x 1, x

9、 2, , x N因 为 x 0 0, 1 , 它 们 也 属 于 区 间 0, 1 , 故 必 有某 一 个 , 譬 如 说 x j 距 x 0 距 离 最 近 , 记 D = x j -x 0, 则 对 P x U。(x 0, D) , 便 有R (x ) - 0 = R (x ) = R (x ) E的 区 间 (0,1) 中 的 有 理 数 x 只 有 有 限 个 , 不 妨 设 它 们 为x 1, x 2, , x N且 0 x 1 x 2 x N 1, 取D = E2N m inx i+ 1 - x i (i = 1, 2, ,N - 1) ,对 区 间 0, 1 作 分 割 :I

10、 k = x k - D, x k + D (k = 1, 2, ,N )J k = x k- 1 + D, x k - D (k = 1, 2, ,N + 1)于 是 2N + 1k= 1Xk $Rk = N + 1k= 1Xk $J k + Nk= 1Xk $ I k N + 1k= 1E$J k + Nk= 1$ I k E+ N 2D 2E故 黎 曼 函 数 R (x ) 在 区 间 0, 1 上 是 黎 曼 可 积 的 。命 题 3 黎 曼 函 数 R (x ) 在 区 间 0, 1 中 每 一点 都 不 可 导 。证 首 先 , 由 推 论 知 , 黎 曼 函 数 R (x ) 在

11、 区 间(0, 1) 中 有 理 点 不 连 续 , 因 而 不 可 导 。 其 次 , 当 x 0 (0, 1) 是 无 理 点 时 , 欲 使 R (x ) 在 x 0 可 导 , 即 要极 限 limy x 0R (y ) - R (x 0)y - x 0 (1)存 在 , 注 意 到 R (x 0) = 0, 若 y n (0, 1) 是 区 间 (0,1) 中 的 无 理 点 列 , 且 当 y n x 0 (n ) 时 , 由 于R (y n) = 0, 所 以 (1) 式 的 极 限 显 然 是 0, 这 就 是说 , 若 R (x ) 在 x 0 这 个 无 理 点 可 导 ,

12、 须 有 它 的 导 数R (x 0) = 0, 但 事 实 并 非 如 此 。设 无 理 点 x 0 可 表 成 无 限 不 循 环 小 数x 0 = 0. a1a2 anan+ 1其 中 a i (i = 1, 2, ) 是 0, 1, 2, , 9 这 10 个 数 字中 的 某 一 个 , 其 不 足 近 似 值 记 为x n = 0. a1a2 an, (n = 1, 2, )过 剩 近 似 值 记 为x n = 0. a1a2 (an + 1) , (n = 1, 2, )因 为 x n = 0. a1a2 (an + 1) = x n + 110n =a1a2 (an + 1)1

13、0n = d n qndn p n= qnpn其 中 qnpn为 既 约 真 分 数 , d n 1 (n = 1, 2, ) , 则R (x n) - R (x 0)x n - x 0 =1p n - 0qnp n - x 0=d nd n 1p nd nd n qnp n - x 0=d n 10na1a2 (an + 1)10n - x 0=d na1a2 an + 1 - a1a2 an. an+ 1 =d n 11 - 0. an+ 1 d n 1 (n = 1, 2, )因 此 , 即 使 极 限 limn R (x n) - R (x 0)x n - x 0存 在 , 也 绝 不

14、 会 为 0, 故 由 归 结 原 理 知 , R (x ) 在 区间 (0, 1) 中 的 无 理 点 不 可 导 。(下 转 第 140 页 )621 宝 鸡 文 理 学 院 学 报 (自 然 科 学 版 ) 2002 年3 产 品 分 析对 实 验 所 得 精 品 , 测 定 熔 点 为 101 103 (温 度 计 未 较 正 ) , 与 文 献 值 1 相 符 。 元 素 分 析 及IR 图 谱 见 表 3、 表 4。表 3 富 马 酸 二 甲 酯 的 元 素 分 析C6H 8O 4 w %C H OCalcd 50. 00 5. 60 44. 40Exp t 49. 83 5. 7

15、3 44. 44表 4 IR 光 谱 数 据Mm ax cm - 1 图 谱 解 析30773019 C H 的 伸 缩 振 动 吸 收 峰29632853 CH 3 的 伸 缩 振 动 吸 收 峰1724酯 CO的 伸 缩 振 动 吸 收 峰1672 C C 的 伸 缩 振 动 吸 收 峰14411312 C H 的 面 的 弯 曲 振 动 吸 收 峰4 结 论(1) 以 分 子 筛 作 载 体 的 T iO 2 L a3+ SO 42- 固体 超 强 酸 催 化 剂 对 富 马 酸 酯 化 反 应 显 示 出 很 高 的催 化 活 性 , 载 体 的 使 用 , 使 活 性 组 分 得 到

16、 了 充 分 利用 , 同 时 降 低 了 催 化 剂 的 制 备 成 本 。 该 催 化 剂 可 以重 复 使 用 , 而 且 无 腐 蚀 设 备 及 “ 三 废 ” 处 理 问 题 , 具有 一 定 的 工 业 化 应 用 价 值 。(2) 用 该 催 化 剂 催 化 合 成 富 马 酸 二 甲 酯 的 最佳 反 应 条 件 为 : 催 化 剂 活 化 温 度 500 , 催 化 剂 用量 15% (以 富 马 酸 质 量 计 ) , 反 应 物 醇 酸 物 质 量 比6 1, 反 应 时 间 5 h, 在 此 条 件 下 , 酯 收 率 可 达92. 3%。参 考 文 献 : 1 化 学

17、 工 业 出 版 社 . 中 国 化 工 产 品 大 全 (下 卷 ) Z . 第2 版 . 北 京 : 化 学 工 业 出 版 社 , 1998. 1 119.2 卢 冠 忠 . 固 体 超 强 酸 的 结 构 及 在 酯 化 反 应 中 的 应 用J . 工 业 催 化 , 1993, (1): 3210. 3 卢 泽 楷 , 朱 万 仁 . 固 载 超 强 酸 催 化 剂 制 备 及 催 化 合成 乙 酸 正 丁 酯 的 研 究 J . 有 机 化 学 , 2000, 20 (5):8192821. 4 张 武 阳 , 杨 胥 微 , 彭 婉 茹 , 等 . 油 田 轻 烃 在 SO 4

18、2- M xO y 型 超 强 酸 上 的 催 化 转 化 J . 吉 林 大 学 自 然科 学 学 报 , 1997, (4): 95297.(校 对 : 诸 平 )(上 接 第 126 页 ) 同 理 可 证 , R (x ) 在 x 0 = 0 或 1 时不 可 导 。 总 之 , 黎 曼 函 数 R (x ) 在 区 间 0, 1 中 每一 点 处 都 不 可 导 。3 黎 曼 函 数 与 狄 利 克 雷 函 数定 义 在 R 上 的 狄 利 克 雷 函 数D (x ) = 1, x 是 有 理 数0, x 是 无 理 数也 具 有 类 似 性 质 , 它 在 区 间 0, 1 上 任

19、 何 一 点 不连 续 , 不 可 导 , 也 在 黎 曼 意 义 下 不 可 积 (就 是 因 为黎 曼 函 数 在 区 间 0, 1 上 的 一 切 不 连 续 点 成 一 零测 度 集 , 而 狄 利 克 雷 函 数 在 区 间 0, 1 上 的 不 连续 点 集 的 测 度 不 为 零 ) , 但 却 在 勒 贝 格 (L ebesgue)意 义 下 可 积 。若 对 狄 利 克 雷 函 数 的 定 义 稍 加 改 变 , 记 为D 3 (x ) = 1, x (0, 1) 是 有 理 数0, x = 0, 1 或 (0, 1) 中 无 理 数利 用 D 3 (x ) 与 黎 曼 函

20、数 我 们 还 可 构 造 下 列 函 数 :R 1 (x ) =p + 1p , x =qp (0, 1) (qp 为 既 约 真 分 数 )0, x = 0, 1 或 (0, 1) 中 无 理 数R 2 (x ) =p - 1p , x =qp (0, 1) (qp 为 既 约 真 分 数 )0, x = 0, 1 或 (0, 1) 中 无 理 数事 实 上 , R 1 (x ) =D 3 (x ) + R (x ) , R 2 (x ) = D 3 (x ) - R (x )此 外 , 还 可 验 证D 3 (R (x ) ) = D 3 (x ) , R (D 3 (x ) ) = 0

21、。参 考 文 献 : 1 斯 特 洛 伊 克 D J. 数 学 简 史 M . 关 娴 译 . 北 京 :科 学 出 版 社 , 1956.2 华 东 师 范 大 学 数 学 系 . 数 学 分 析 M . 第 3 版 . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 , 2001. 3 北 京 大 学 数 学 系 . 数 学 分 析 M . 北 京 : 高 等 教 育 出版 社 , 1998.4 程 其 襄 , 张 奠 宙 , 魏 国 强 , 等 . 实 变 函 数 与 泛 函 分 析基 础 M . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 , 1994.(校 对 : 李 哲 峰 )041 宝 鸡 文 理 学 院 学 报 (自 然 科 学 版 ) 2002 年