1、1透视解析几何中“角”的处理季剑锋 317000 0576-5183685冯丹君 317000 13958592895解析几何中有关角的问题，涉及的知识点多，解决方法综合而灵活，是学习的一个难点，同时，又是高考的一个热点。下文通过对一个实例多层面剖析并变式引伸，从中透视处理“角”的一般思维程序，以展示问题求解的一般策略，并由此建构解决“角”的方法体系，最终击破难点，轻取热点。已知：椭圆 的左、右焦点分别为 F1、F 2，M 是椭圆上的任意)0(12bayx一点，试求F 1MF2的最大值 。分析：所求解的目标角，已学习过的哪些知识（如概念、公式、定理等）与角相关联？向量的数量积，余弦定理，到角公
2、式，解法一：设 M（x,y）, ),(1yxcF由),(1yxcF得：21212coscos = 把 代入上式，化简得122)()( yxyx )1(2axb= =21cosMF| axcab 222xac22xacb0x 2a 2 b 2=a2-c2a 2- a 2 2 2axc当 x2=0 时，F 1MF2 取为最大值 arccos( )21ab1cos21MF 21ab解法二：根据焦半径公式 ，由余弦定理得ea1 exaM2cos = =|2| 2121 F )(2)(c（下同解法一）2222 xeabxeacxeac 2解法三：cos |2| 21121 MFFM=| |)|(| 21
3、21F |21Fb这里，2a=|MF 1|+|MF2| | 221abb |21M|MF 1|MF2|a 2 当且仅当|MF 1|=|MF2|即（M 位于短轴顶点 B 顶点）时等号成立（下1略）评注：定义是构筑知识体系的基础，利用定义解题，如同抓住了“纲” ，能收到“纲举目张”的效果，可靠而灵巧。解法四：由椭圆的对称性，可设 M（x,y）为第一象限内“椭圆弧”上的任意一点，即0xc 时，b 2c2 且 b2y 20 b 4c2y2 tanF 1MF2= 为正且24ycb在 上单调递增 锐角F 1MF2 在 y=b 时取得最大值，,0 2tanrc（二）当 b=c 时 （）当 y=b 时，tanF 1MF2 不存在，即F 1MF2=（）当 00，锐角F 1MF2 当 y=b 时，F 1MF2 取得最大值),0(（三）当 bc2y2 tanF 1MF2= 为正且在（0， ）上单调递增 c2 24ycbcb2锐角F 1MF2 ),0(（）当 y= 时，tanF 1MF2 不存在，即F 1MF2=cb（）当 yb 时，tanF 1MF2 为负 且在 上单调递增。钝角F 1MF22 ,(bcarctn,(2F 1MF2 在 x=b 时取得最大值所以，当 y=b 时，即点 M 位于上 B2 时F 1MF2 最大。
