1、1求函数解析式的 6 种方法一、待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数，指数函数，对数函数、幂函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例 1 （1）已知二次函数 满足 ， ，图象过原点，求 ；()fx(1)f()5f()fx（2）已知二次函数 ，其图象的顶点是 ，且经过原点， ,2(3)已知 是二次函数，若 且 试求 的表达()fx(0),f(1)(1fxfx()f式(4)已知二次函数 f（x）
2、满足 f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解析式.解：（1）由题意设 ，2()abxc ， ，且图象过原点，()f15f 0abc30c 2()3fx（2）由题意设 ，2(1)ax又图象经过原点， ， 得 ，(0)f0a 24xx(3)解析：设 (a 0)()fabc由 得 c=0(0),f由 得1()1xfx22()(1)1xcaxbcx整理得 ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b+1)x+c+1得 21001()aabcbcfxx2(4)解：设二次函数 f（x）= ax 2+bx+c，则 f（0）= c= 0 f（x+1）= a +b（x+1）= a
3、x 2+（2a+b）x+a+b 2)1(由 f（x+1）= f（x）+2x+8 与、 得解得 故 f（x）= x 2+7x.82b.7,1ba例 2 (1)已知 函 数 f(x)是 一 次 函 数 ， 且 满 足 关 系 式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17， 求 f(x)的 解 析 式 。解：设 f(x)=ax+b(a0)，由条件得：3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+5a+b=2x+17，f(x)=2x+7(2)求一个一次函数 f(x)，满足 fff(x)=8x+7解：设 f(x)=ax+b（a0)，依题意有 aa(ax+b)+b+b=8x+7 +b( +a+1)=8x
4、+7，f(x)=2x+1xa32例 3 已知函数 F(x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是正比例函数,g(x)是反比例函数,且 F( )=16,13F(1)=8.求 F(x)的解析式解：设 f(x)=kx g(x)= F(x)=kx+ 由 F( )= +3a=16， F(1)=k+a=8 133得 a=5， k=3 所以 F(x)=3x+5/x例 4 （1）已知幂函数 f(x)的图像经过（3， ） ，则求 f(x)的解析式,427（2）已知幂函数 yf(x)的图像过点(3,1/3) ，求出此函数的解析式二、换元法它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后
5、结果要注明所求函数的定义域。方法：已知 的表达式，欲求 ，我们常设)(xgf )(xf，从而求得 ，然后代入 的表达式，从而得到 的表达式，)(xgt)(1tgx t即为 的表达式。f例 1：已知 求 的解析式。(1)21,fxx()f解析：如果把 视为 ，那左边就是一个关于 的函数 ,只要在等式t t()ft中，用 表示 ,将右边化为 的表达式，问题即可解决。使用配凑法时，xttxt要注意新元取值的变化。令 1t32201()(1)xtftttx例 2（1）已知 ，求 .2()fx()fx（2）已知 ，求 1解：令 ，则 ， 1tt22()(1)43fttt 2()43fx（2）设 ，则 =
6、 ，uxu2于是 2()(1)()f u )x 221fx即 .(0)例 3 已知 f（ ）= ，求 f（x）的解析式+1 x12解： 设 = t ，则 x= （t1） ，xf（t）= = 1+ +（t1）= t 2t+11)(2tt 2)(t故 f（x）=x 2x+1 （x1）.例 4 （1）函 数 f（ x） 满 足 f（ x2+1） =x4-1， 求 f（ x） 的 解 析 式解 ： 根 据 题 意 ， 设 x2+1=t， （ 其 中 t 1） ， x2=t-1； f（ t） =（ t-1） 2-1=t2-2t， （ 其 中 t 1） ； f（ x） =x2-2x， （ 其 中 x 1）
7、（2）设 x R，对于函数 f（x）满足条件 f（ +1）= +5 -3，求当 x2 x4 x2x R，f（ ）的解析式 x2-1解：设 x2+1=t x2=t-1f（ +1）= +5 -3 可变形为：f(t) = +5(t-1)-3= +3t-7 所以，当 t= -1 时，x2 x4 x2 (1)2 2 2有 f( -1)= +3( -1)-7= -2 +1+3 -3-7= + -102 (21)2 2 4 2 2 42例 5已知 f（1cosx ）=sin 2x，则 f（x ）=_解 ： f（ 1-cosx） =sin2x=1-cos2x令 1-cosx=t ， 则 cosx=1-t 代
8、入 得0,2f（ t） =1-（ 1-t） 2=2t-t2 f（ x） =-x2 +2x ( x )02例 6已知 f（cosx ）=cos2x ，则 f（sinx ）=_ （2 -1）24三、配凑法已知复合函数 的表达式，要求 的解析式时，若 表达式右边易配()fgx()fx()fgx成 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。实质上，配凑()gx法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。例 1 已知 f（ +1）= x+2 ，求 f（x）的解析式.x解： f（ +1）
9、= +2 +11= 1， f（ +1）= 2)( 2)(x1 （ +11） ，将 +1 视为自变量 x，则有 f（x）= x21 2)(xxx（x1）.例 2：已知 求 .2(),f()f分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。解析：由 2211()()fxx令 由 即 得0tt024ttR即：2()f2()()fxR四、消元法，此方法的实质是解函数方程组。消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。()fx例 1：(1)设 满足 求 的解析式。1()2,fxfx()f分析：要求 可消去 ,为此
10、，可根据题中的条件再找一个关于 与()f ()fx的等式，通过解方程组达到消元的目的。()fx解析： 1()2fxfx显然， ,将 换成 得01()ffx由2()1ffx5消去 ，得1()fx12()3fx(2)设函数 f（x ）满足 f（x）+2 f （ ）= x （x0） ，求 f（x）函数解析式.分析：欲求 f（x） ，必须消去已知中的 f（ ） ，若用 去代替已知中 x，便可得到另1一个方程，联立方程组求解即可.解： f（x）+2 f（ ）= x （x0） 1由 代入得 2f（x）+f（ ）= （x0） 1解 构成的方程组，得 f（x）= （x0）.32例 2. 已知定义在 R 上的函
11、数 )(满足 1)(f(f，求 )x(f的解析式。解： 1x)f2(f， )x 2得 1x3)(f， 所以 31x)(f。小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、 ；互为相反数，1()fx如 f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。例 3 已知 f(x)满足 ，求 .2()3fxx()f解： -1f将中 换成 得 -x1()()ffx 2-得 3362x五、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例 1 已知函数 )x(fy是 R 上的奇函数，当 )x(f,13)x(f,0求时的解析式。解析：因为
12、是 R 上的奇函数，所以 ,即 ，当 0x,时 ， 13)()xf)( xx所以 ,13)(fx例 2 已知是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=2xx 2，求 f（x）函数解析式.6解：y=f（x）是定义在 R 上的奇函数， y=f（x）的图象关于原点对称.当 x0 时，f（x）=2xx 2的顶点（1，1） ，它关于原点对称点（1，1） ，因此当 x0 xef-)-( 2又 f(x)为偶函数，所以 f(x)=f(-x)= (x )e20例 4 对 xR， 周期为 2，且当 x1，0时， )(xf xf(2求当 x9，10时 的表达式f解：因为对 xR， 周期为 2，且当 x1，0
13、时， )(x xf2)(所以当 x9，10时,则 x-10 1，0，)0()1-()f10-(2xf例 5 设 f（ x） 是 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 x 0， + ） 时 ， f（ x） =x（ 1+x） ，求 f（ x） 在 （ - ， 0） 上 的 表 达 式 和 在 R 上 的 表 达 式 解 ： 设 x （ - ， 0） ， 则 -x （ 0， + ） ， 当 x 0， + ） 时 ，f（ x） =x（ 1+x） ， f（ -x） =-x（ 1-x） ， f（ x） 是 R 上 的 奇 函 数 ， f（ -x） =-f（ x） ， 即 f（ -x） =-x（ 1-x） =
14、-f（ x） ， f（ x） =x（ 1-x） ， x （ - ， 0） ，例 6 奇函数 f(x)在(0，+)上的解析式是 f(x)=x(1-x)，则在(-，0)上 f(x)的函数解析式是_ （f(x)=x(1+x)） 例 7 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x+2)=f(x)，当 x 2,3时，f(x)=-2+4，则当 x 0,2时，f(x)的解析式为_ (f(x)=-2 +4 )(x-3)2 (x-1)2解：当 x 0,1时，2 x+2 ,f(x+2)=f(x)=-2 +4 3 (x-1)2当 x 1,2时，2 4-x 3, f(4-x)=f(-x)=f(x)=-2
15、+4=-2 (4x-3)2+4(x-1)2综上所述，当 x 0,2时，f(x)的解析式为 f(x)=-2 +4 (x-1)2六、赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法，其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。例 设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y，有f（xy）= f（x） y（2xy+1） ，求 f（x）函数解析式 .分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的实数及 f（xy）= f （ x） y（2xy+1） ，得到x0，x0.7f（x）函数解析式，只有令 x =
16、y.解： 令 x = y ，由 f（xy）= f（x） y（2xy+1） 得f（0）= f（x） x（2xx+1） ，整理得 f（x）= +x+1.x2作业：1.已知一次函数 ()fx满足 (0)5f，图像过点 (2,1)，求 ()fx；2.已知二次函数 g满足 1， )g，图像过原点，求 g；3.已知二次函数 h与 轴的两交点为 ,0， 3,，且 03h，求 ()hx；4.已知二次函数 ()F，其图像的顶点是 (，且经过原点，求 F.5.(1)已知 243fx，求 )fx；(2)已知 1，求 . 6 已知 f（x）满足 f)(，求 )(f；7.已知 f（ x1） 2，则 f（x）的解析式可取
17、为（ ）A. 2 B. 21C. 21xD. 21x8.若 f（sinx ）2cos2x，则 f（cosx）等于（ ）A. 2sin2x B. 2 sin2x C. 2cos2x D. 2cos2 x9.已知 (10)，则 (5)（ ）A. 5 B. 10 C. lg10 D. lg510.已知2()fxx，则 ()fx 11.已知 3，则 12.已知 f（x）是一次函数 , 且 ff（x ） 4x1, 求 f（x）的解析式。13.设 是定义在 上的函数,若 ,且对任意的 x,y 都有：)(N1)(f, 求 . ( )yfyf)( 1(2)xf14.已知 是一次函数，且 ，求 . )(x64)
18、(xf )(xf f622f或815. 若 求 （ ）,1)(xf)(f)(xf116若 ，求 （ ）21)(xxf()f()fx217若 求 (,)(21(xfxf)fxf)31218若 ，求 （ ）xxf2)3()(f)2(f9419已知 求 （ ）()3)26,fxfx()fxf1329答案1.解：由题意设 ()fxab， (0)5f且图像过点 (2,1)，521ba25 2fx. 2.由题意设 ()gxc， ()， ，且图像过原点，50bca320abc 2()3gx. 3.由题意设 ()3hax， 又 (0)3h， 63a 得12a21()x. 4.由题意设 2()1)F，又图像经过
19、原点， (0)F， 0 得 a， 4x. 5.解：（1） 22()3fxx. （2）配凑法： ()2()1x21x 2()43f. 换元法：令 t，则 t，()43ft fx. 6.解：已知 xf ，将中 x 换成1得 )(2 得336fx，1()2fx 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7.解析：令 x1t，则 x t1，f（t ） t。f（x） 。答案：C8.解析：f（sinx）2（12sin 2x）12sin 2x，10f（cosx）f sin（ 2x）12sin 2（x）12cos 2x2cos2x。答案：D9.D10. 2()311. 9fx12.1)(或 12)(xf
