1、 准考证号_姓名_（在此卷上答题无效）保密启用前泉州七中 2014 届高三年校质检（一）理科数学命卷人：彭耿铃 审核：高三备课组参考公式： 样本数据 、 、 的标准差： ，其中 为样本平均数；1x2nx221()()nsxxxn 柱体体积公式： ，其中 为底面面积， 为高；锥体体积公式： ，其中 为底面面积， 为高；VShh13VShh球的表面积、体积公式： ， ，其中 为球的半径24R34VR独立性检验临界值表 20PKx0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.8
2、41 5.024 6.635 7.879 10.828第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下面是关于复数21zi的四个命题：其中的真命题为（ ）1:p 2:p3:pz的共轭复数为 1i 4:pz的虚部为 1A. 23, B. 12, C. 24,p D. 34,p2.如图所示的程序框图，若输出的 是 ，则 可以为（ ） S0A B C D 5?n?n3?n?n3若变量 满足约束条件 ，则实数 ( )yx, 210xy2zxyA.有最小值，有最大值 B. 有最小值，无最大值 C.无最小值，有
3、最大值 D .无最小值，无最大值4为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了 60 名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀 作文成绩一般 合 计课外阅读量较大 22 10 32课外阅读量一般 8 20 28合 计 30 30 60则由以上数据，根据临界值表，以下说法正确的是（ ）A没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B. 有 0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C有 99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关5.等比数列 的各项均为正数，且 则 （ ）na564718
4、a， 1012333logllogaaa 2第 题A. 12 B. 10 C. D. 31og532og56.已知 的最小值为 ， 则 的展开式中常数项为（ ）()24fxxn2()nxA. B. C. D. 1020201607.已知正方体 中，线段 ， 上（不包括端点）各有一点 ， ，且 ，下列说法中，不1ABCD1BA1 PQ1B正确的是（ ）A. 、 、 、 四点共面； B. 直线 与平面 所成的角为定值；PQPQ1CBC. ； D.设二面角 的大小为 ，则 的最小值为 .32ACAtan28.已知点 ,若曲线 上存在四个点 , , , ,使得 和 都是正三角形，则称曲线 为“黄金曲线
5、 ”，给定10BDEDE下列四条曲线： ； ； ； 。其中， “黄金曲线”的个数是（ ）2430xy214xy21xy213xyA. B. C. D. 8.已知 A、 B是椭圆21ab长轴的两个端点， P、 Q是椭圆上关于 x轴对称的两点，直线 AP、 BQ的斜率分别为 1k， 2， 若 12k的最小值为 4，则椭圆的离心率为（ ）A. B. 3C. 3D. 639.已知 fx是定义在 0,的单调函数，且对任意的 0,x，都有 n1fx，则函数()()1ge的最小值必在区间（ ）A. 5,32B. 52,C. 1,2 D. 1,210.已知非零向量 , , , 满足： ， 、 、 为不共线三点
6、，给出下列命OABCD ,OABCODRBCD题：若 ， ， ，则 、 、 、 四点在同一平面上；321当 ， ， 时，若 ， ， ， ，则023A1BC5,6BC,2OBC的最大值为 ；6已知正项等差数列 ，若 ， ， ，且 、 、 三点共线，但 点不在直线 上，则naN2a209A的最小值为 ；320814a9若 ， ，则 、 、 三点共线且 分 所成的比 一定为 。其中正确的命题个数是（ 10AABCABC）A. B. C. D. 234第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置11从某小学随机抽取 名同学，将他
7、们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率10分布直方图(如图). 若要从身高在 ， ， ，三组内的学生20,130,140,15中，用分层抽样的方法选取 人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为_. 140,512.若利用计算机随机取点 ，其中 ， ，则所取的点,xy1,x1,y,xy满足 的概率为 21yx13已知由样本数据点集 求得的回归直线方程为 ，且 若去掉两个数据点,12,， ，ixyn 1.230.8yx4x和 后重新求得的回归直线 的斜率估计值为 ，则此回归直线 的方程为_ 4.1,573.9,41.214.观察下列等式： 22003sincos3sinco4A；1i452
8、is52；220 0sincos63inco64A；i92si9；可以猜想出结论： 220 0sincos75i2nco7453A15.已知函数 在 上连续，定义 ；其中 表示 在 上的最fx,ab1min2ax,ftbtxfa minfxDfx小值， 表示 在 上的最大值.若存在最小正整数 使得 对任意的 成maDfx K21ka,ab立，则称函数 为 上的“ 阶收缩函数”.有下列命题：fx,bk若 ，则 ；若 ，则 ；cos,0,f1,0,fx2,1,4xf2,1,4xf 为 上的 阶收缩函数； 为 上的 阶收缩函数.x1,22fx1,45其中你认为正确的所有命题的序号为_三、解答题：本大
9、题共6小题，共80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .ABCCabcos2cC（1）求角 ；（2）若 ， 的而积 ，求 及边 的值。2baAB3inABCSsinAc17.已知四棱锥 PABCD的三视图如下图所示， E是侧棱 PC上的动点（）求四棱锥 的体积；（）是否不论点 E在何位置，都有 BA？证明你的结论；（）点 在什么位置时，二面角 的大小为 ？01218.一种电脑屏幕保护画面，只有符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”之一，其中出现“”的概率为 p，出现“”的概率为 q.若第 k次出现“”
10、 ，则 1ka；出现“” ，则 1ka.令123nnSaaA.()当pq时，记 3S，求 的分布列及数学期望；() 当13p，2q时，求 82S且 01,234i的概率.19、已知双曲线 的中心在原点且经过点 , ， 分别是两条渐近线的方向向量.C20D1,m2,（1 ）求双曲线 的方程；（ 2）椭圆 的左顶点为 ,经过 的直线 与椭圆交于 两点，试判断4xyA605B,MN是否为定值，并证明你的结论.（3）双曲线 或抛物线 是否也有类似（2 ）的结论？若是，请选择AMN C2ypx一个曲线写出类似结论（不要求书写求解或证明过程） 。20、已知函数 32fxaxaR.（）若 0a时，试求函数
11、yf的单调递减区间；（）若 0a时，且曲线 yfx在点 A、 B（ 、 不重合）处切线的交点位于直线 2x上，证明： A、 B两点的横坐标之和小于 4；（）如果对于一切 1x， 2， 30,1，总存在以 1fx、 2f、 3f为三边长的三角形，试求正实数 a的取值范围。21 本题有（1） 、 （2 ） 、 （3 ）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 个小题作答，满分 14 分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中 （1 ） (本小题满分 7 分) 选修 42：矩阵与变换已知平行四边形 的四个顶点的坐标分别为 ，
12、， ， .其在矩阵ABCD3,1A,B3,1C,D所对应的变换作用下变成菱形 。1(0)2kM CD（）求 的值；（）求矩阵 的逆矩阵 M1（2 ） （本小题满分 7 分) 选修 44：极坐标与参数方程如图，在极坐标系中，圆 的圆心坐标为 ，半径为 .C1,01（）求圆 的极坐标方程；（）若以极点 为原点，极轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系.已知直线 的参数方程为 （ 为参数）Oxl 1cos,6inxtyt，试判断直线 与圆 的位置关系.lC（3 ） （本小题满分 7 分) 选修 45：不等式选讲已知函数 .(2fxx（）求证： ,并说明等号成立的条件；)5（）若关于 的不等式 恒成立，求
13、实数 m的取值范围.x()|2|fxm泉州七中 2014 届高三年校质检（一）理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，,;,CBDAB，二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题卡相应位置 ； ； ； 1215613.20.yx142615三、解答题：本大题共 6 小题 ，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 .ABCCabcoscC（1）求角 ；（2）若 ， 的而积 ，求 及边 的值。2baAB3in2ABCSsinAc【解】 （1） ， ,即 ，又 ，
14、 ，coscos10cs10C1cos2.6（2）由余弦定理得： ， 。23C 2222 2ocos73abaaa 7a又由正弦定理得： ， .9 ， ，sin7siCAsin14sinABCSb1insinABbC ，得： .13232cabsiiBi 26sin3c17. 17.已知四棱锥 PD的三视图如下图所示， E是侧棱 P上的动点（）求四棱锥 的体积；（）是否不论点 E在何位置，都有 A？证明你的结论；（）点 在什么位置时，二面角 的大小为 ？B012解析：（）由三视图可知，四棱锥 PCD的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 底面PC，且 。 。3（）不论点 E在何位置，都有 BDAE
15、。证ABCD2P2133PABCDABVS明如下：连接 。 底面 ，且 底面 ， 。又 ， 平面 。ABDAPC不论点 E在何位置，都有 平面 ，不论点 E在何位置，都有 。6E（）解法 1：当点 为 PC的中点时，二面角 D的大小为 012。在平面 DAE内过点 作 DFAE于 ，连结 BF。 1ADB， 21E，3， Rtt ，从而 RttF ， A。8 FB为二面角 AEB的平面角在 tAE中，1263E，63，又 2D，在 F中，由余弦定理得221cosDFBA， 01FB， 即二面角 AEB的大小为 012。13解法 2：如图，以点 为原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立
16、空间直角坐CCPxyz 标系则 ， ， ， ， 从而 ， ，,0D,10,0, 0,1DA1,0E 1,0BA， 。7设平面 和平面 的法向量分别为： ， ,BE ADEB11,nyz22,nxyz由10nA，即10yxz，取 1,0n；9由20EA即20xz，取 2,1，11 ，设二面角 DEB的平面角为 ，则121cos2A， 0，即二面角 DAEB的大小为 02。13（注：若取 20,1n算出 3可酌情给分。 ）18.一种电脑屏幕保护画面，只有符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”之一，其中出现“”的概率为 p，出现“”的概率为 q.若第 k次出现“” ，
17、则 1ka；出现“” ，则 1ka.令123nnSaaA.则：()当12q时，记 3S，求 的分布列及数学期望；()当 3p，2q时，求8且 01,4i的概率.解() 3S的取值为 ， 3，又12pq，21334PCA，331124P 的分布列为： 3142E。6()当 82S时，即前八秒出现 “” 5次和“” 3次，又已知 01,234iS,若第一、三秒出现“” ，则其余六秒可任意出现“” 次；若第一、二秒出现“” ，第三秒出现“” ，则后五秒可任P414出现“” 3次。故此时的概率为5336 718021PCA。1319、已知双曲线 的中心在原点且经过点 , ， 分别是两条渐近线的方向向量
18、.C20D1,m,（1 ）求双曲线 的方程；（ 2）椭圆 的左顶点为 ,经过 的直线 与椭圆交于 两点，试判断4xy605B,MN是否为定值，并证明你的结论.（3）双曲线 或抛物线 是否也有类似（2 ）的结论？若是，请选择AMN C2ypx一个曲线写出类似结论（不要求书写求解或证明过程） 。解：（1）两条渐近线的方程为 ，依题意 ，所以 。故双曲线 的方程为： 。312yx2a1bC214xy（2 ） 为定值 ，理由如下：当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，求得 ，此时A065x64,55N；4当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立4,5N ykx得 ，显然 ，设 ，则2614yk
19、x222205010kxk012,Mx，6， ，2122405xkA 22 211211266364555105kykxkxxAA所以 9121212121212, 4MNxy yy A，综上所述， 为定值 。102 2144640005kkk MNA0（3 ）双曲线 的左顶点为 ，经过 的直线 与双曲线 交于 两点，则 为定值 .说明：2:1CyA,3BC,MNA0必须指出 点坐标，但可以不说具体定值。对双曲线 而言，与右顶点相关的点为 。抛物线BC10,3B也有类似结论：抛物线 的顶点为 ，经过点 的直线 与抛物线 交20ypx20ypxO2,p2ypx于 两点，则 为定值 。13,MNA
20、N020、已知函数32fxaxaR.（）若 0a时，试求函数 yf的单调递减区间；（）若 0a时，且曲线 yfx在点 A、 B（ 、 不重合）处切线的交点位于直线 2x上，证明： A、 B两点的横坐标之和小于 4；（）如果对于一切 1， 2， 30,1x，总存在以 1fx、 2f、 3f为三边长的三角形，试求正实数 a的取值范围。解析：（）函数 fx的导函数22333fxxx，函数 yfx的单调递减区间为,3a。3（）当 0a时，3。设在点 1,A、 2,B处的切线交于直线 2上的一点 2,Pt，因为 2fx，所以曲线 yf在点 处的切线斜率为 1Ak，所以在点 A处的切线方程为：111yx，
21、4因为切线过点 2,Pt，所以 3211txx，即32160xt，同理可得 32260xt。两式相减得 3212160xx，5即11 121230xxA。 2， 221 1230xxA，6即 2112120x。因为112A，且 12x，所以12。7从而上式可以化为1212 123xx，即 121240x。解得 124x，即 A、 B两点的横坐标之和小于 4；8 (3)由题设知， 0ff，即 23a，解得 a。又因为 0a，所以02a. 9，因为33afxx，所以当0,x时， 0fx， f单调递减，当,13x，fx， f单调递增所以当 时， f有最小值3527af，从而条件转化为33520(1)
22、70512()7afa，10，由 (1)得325a；由 ()得 35a。再根据 02a得 35。不等式(3)化为32010，12令32017g，则219g，所以 ga为增函数又127g，所以当 3,5a时， a恒成立，即 ()成立所以 a的取值范围为 30,5。1421 （ 1）(本小题满分 7 分)选修 42：矩阵与变换已知平行四边形 的四个顶点的坐标分别为 ， ， ， .其在矩阵ABCD3,1A,B3,1C,D所对应的变换作用下变成菱形 。则：（）求 的值；（）求矩阵 的逆矩阵 (0)2kM CDkM1解：（）由题意可知点 在矩阵 所对应的变换作用下变成点 ，故点,xy1(0)2kM 1(
23、,2)02xky， ， ， 2 分(3,1)(1,2)Ak(1)(,)B3,(31,2)k(,),D显然四边形 为平行四边形，故要使得 为菱形，只需 ，即 ，由 ，CD ABCDABC2480kk解得 4 分; （）由 ，故 .7 分.1k2M1122=0（2 ） （本小题满分 7 分) 选修 44：极坐标与参数方程如图，在极坐标系中，圆 的圆心坐标为 ，半径为 .（）求圆 的极坐标方程；C1,1C（）若以极点 为原点，极轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系.已知直线 的参数方程为 （ 为参数）Oxl 1cos,6inxtyt，试判断直线 与圆 的位置关系.lC解：（）如图，设圆 上任意一点的极
24、坐标 .连结 OD，BD，在 中，因为 ,所以,DRtOBDcosOBD.3 分， （）由 得直线 的普通方程为 , 即2cos 1cos,6in,xtyl 31yx直线 的普通方程为 ，由 ，得圆 的直角坐标方程为 ，l 10xy2cosC2y因为圆心到直线 的距离为 ，所以直线 与圆 的相切.7 分l 31dl（3 ） （本小题满分 7 分) 选修 45：不等式选讲已知函数 .(2fxx（）求证： ,并说明等号成立的条件；（）若关于 的不等式 恒成立，求实数 m的取值范围 .解：)5 x()|2|fxm（）由柯西不等式得 ，2222(2)(1)5x所以 . 当且仅当 ，即 时，等号成立.3 分. ()5fxx4x（）由（）知， ，又不等式 恒成立，所以 ，解得 或 .()fx()|2|fm|2|5m73m故 m的取值范围为 .7 分,37,)
