1、第十一章 概率与统计一 概率【考点阐述】随机事件的概率等可能性事件的概率互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率独立重复试验【考试要求】（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率（4）会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 次的概率【考题分类】（一）选择题（共 8 题）1.（福建卷理 5）某一批花生种子，如果每 1 粒发牙的概率为 ,那么播下 4 粒种子恰有 25粒发芽的概
2、率是（ ）A. B. C. D. 1625962592626【标准答案】B【试题解析】由22441()5PC【高考考点】独立重复实验的判断及计算【易错提醒】容易记成二项展开式的通项,当然这题因为数字的原因不涉及.【高考资源网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.2.（福建卷文 5）某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为 ，那么播下 3 粒种子恰有452 粒发芽的概率是（ ）A. B. C. D.11624829612【标准答案】C【标准答案】由12334()55PC【高考考点】独立重复实验的判断及计算【易错提醒】容易记成二项展开式的通项.【高考资源网备考
3、提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.3.（江西卷理 11 文 11）电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为（ ）A B C D18012813601480【标准答案】 . C【标准答案】一天显示的时间总共有 种,和为 23 总共有 4 种,故所求概率为4.364. （辽宁卷理 7 文 7）4 张卡片上分别写有数字 1，2 ，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A B C D11 3【答案】：C【解析】：本小题主要
4、考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数，则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶，取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率134.6CP5.（全国卷理 6）从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A B C D921029192209【答案】D【解析】 301212CP6.（山东卷理 7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）5168
5、1064081【标准答案】:B 。【试题分析】：属于古典概型问题，基本事件总数为 。3187选出火炬手编号为 ，13()na时，由 可得 4 种选法；1a,470,6时，由 可得 4 种选法；258时，由 可得 4 种选法。13,912,4.768P【高考考点】: 古典概型【易错提醒】:寻求目标事件时会出现分类标准不明确导致事件的重复计数，如令 则14a所得编号就与 时的情形部分重复。1a【高考资源网备考提示】:概率的计算与排列组合知识有着密切的联系，情景设置极易生活化，需要构建数学模型。对阅读理解能力要求较高，具有理解新事物处理新信息的能力。7.（重庆卷文 9）从编号为 1,2,10 的 1
6、0 个大小相同的球中任取 4 个，则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为（ ）(A) (B) (C) (D)184122535【答案】B【解析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。 ，故选 B。354102CP8 （四川延考理 8 文 8）在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）1512235解：因文艺书只有 2 本，所以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有文艺书的概率：436()1()105P（二）填空题（共 6 题）1.（湖北卷文 14）明天上午
7、李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .【标准答案】0. 98【试题解析】用间接法做: 两个闹钟一个也不准时响的概率是 ,所(10.8).902以要求的结果是 .10.298【高考考点】间接法求概率,分类讨论思想。【易错提醒】计算出错.【高考资源网备考提示】本题还可以这样做:要求的概率是 (10.8)9.(10.)8.902.（湖南卷理 15）对有 n(n4)个元素的总体 进行抽样，先将总体分成两个子总,2n体 和 (m 是给定的正整数，且 2mn -2),再从每
8、个子总体,2m ,2,中各随机抽取 2 个元素组成样本 .用 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率，则 = ; ijP1nP所有 (1ij 的和等于 .Pn【答案】 , 64()mn【解析】 第二空可分:1124(1)4;(1()nmnCnmP n当 时, ;,ij 2ijmCP当 时, ;,ij1,n 1ij当 时, ;,2,i j,2 4()()ijPnm所以 146.ijP3.（江苏卷 2） 一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率为 。【答案】 1【解析】本小题考查古典概型。基本事件共 个，点数和为 4 的有 、 、6(1,3)2,共 3 个，故 。(,)3162P4.（江
9、苏卷 6）在平面直角坐标系 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点xoy构成的区域，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随意投一点，则落入 E中的概率为 。【答案】 16【解析】本小题考查古典概型。如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部（含边界） ，区域 E 表示单位圆及其内部，因此。2416P5.（上海卷理 7 文 8）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）【答案】 34【解析】已知 六个无共线的点生成三角
10、形总数为： ACEFBCD、 、 、 共 线 ； 、 、 共 线 ；可构成三角形的个数为： ，所以所求概率为： ；36 3364153364C.6.（上海春卷 10）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻” ，则事件 出现的概率是 （结果用数A A值表示）【答案】 12（三）解答题（共 17 题）1.（安徽卷文 18）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 10 张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音 “g”.（）
11、现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张，测试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。（）若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率。【解析】 （I）记第一位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”为事件 ，则A。记第二位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”为事件 ，则3()10pA B。记第三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”为事件 ，则B C。又 ， ， 相互独立则这三位被测试者抽取的卡
12、片上，拼音都带有后鼻()CBC音“g”是 所以A()()(pAp327100（）321706p【试题解析】主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法.【高考考点】概率【易错提醒】相互独立事件、互斥事件、对立事件概念【高考资源网备考提示】高考对概率知识的考查，主要是以实际应用题为主，这既是这类问题的热点，又符合高考的发展方向，对这部分的学习要以课本的基础知识为主，难度不会太大.2.（北京卷文 18）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服ABCD， ， ，务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；A（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率【试题解析
13、】 （）记甲、乙两人同时参加 岗位服务为事件 ，那么AE，32451()0APEC即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 A140（）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 ，那么 ，E4251()0APC所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 913.（福建卷文 18）三人独立破译同一份密码 .已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.1,543()求恰有二人破译出密码的概率；()“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由 .【试题解析】解：记“第 i 个人破译出密码”为事件 A1(i=1,2,3)，依题意有且 A1，A 2，A 3 相互独立 .1231(
14、),(),(),54.PAP（）设“恰好二人破译出密码”为事件 B，则有BA 1A2 A1 A3+ A2A3 且 A1A2 ，A 1 A3， A2A3321321彼此互斥于是 P(B)=P(A1A2 )+P（A 1 A3）+ P（ A2A3）321 4545 .20答：恰好二人破译出密码的概率为 .203（）设“密码被破译”为事件 C， “密码未被破译”为事件 D.D ，且 ， ， 互相独立，则有1A231A23P（D ） P（ ）P （ ）P （ ） .1 3245而 P（C）1-P （D） ，故 P（C ）P（D ）.5答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.【高考考点】本小题主要考查
15、概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分 12 分.【易错提醒】对于恰有二人破译出密码的事件分类不清.【高考资源网备考提示】对于概率大家都知道要避免会而不全的问题,上述问题就是考虑不周全所造成的,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话,每一个字的意思.只有这样才能做到满分.4.（广东卷文 19）某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：初一年级 初二年级 初三年级女生 373 x y男生 377 370 z已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19.（1 ） 求 x 的值；（2 ） 现用分层抽样的方法在全校抽取 48
16、名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3 ） 已知 y 245,z 245,求初三年级中女生比男生多的概率.【试题解析】(1)由 ,解得 ,19.0x380x(2)初三年级人数为 ,50)37837(2zy设应在初三年级抽取 m 人，则 ，解得 m=12. 045答: 应在初三年级抽取 12 名.（3）设初三年级女生比男生多的事件为 ，初三年级女生和男生数记为数对 ，A(,)yz由（2）知 ，则基本事件总数有：50,(,245,)yzyzNz(45,)(624)73)(8(9,1(250,)共 11 个，19,8(,6)而事件 包含的基本事件有：A共 5 个，(25,4)(,2)(53,47)(
17、2,)(,24) 1P5.（海南宁夏卷文 19）为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查， 6 人得分情况如下： 5，6，7，8 ，9，10。把这 6名学生的得分看成一个总体。 （1）求该总体的平均数；（ 2）用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。【试题解析】（）总体平均数为 156789107.5（）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”从总体中抽取个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8),
18、(5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9),(6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共个基本结果。事件包含的基本结果有：(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有个基本结果；所以所求的概率为 715PA6 （湖南卷文 16）甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响。求：21（I）至少一人面试合格的
19、概率；（II）没有人签约的概率。【试题解析】用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知 A,B,C 相互独立，且 1()().2PABC（I）至少有一人面试合格的概率是 ()PABC371()()1.8（II）没有人签约的概率为 )()()()()PABCPABCPABC331.287.（江西卷文 18）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.4、0.4 ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1
20、.0 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4（1 ）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；（2 ）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.【试题解析】（1 ）令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件()0.4.03.2P（2 ）令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件().6.40.88.（辽宁卷文 18）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数 20 50 30（）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；（）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（）4 周中该种商品至
21、少有一周的销售量为 4 吨的概率；（）该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率【试题解析】本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12分解：（）周销售量为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.3 4 分（）由题意知一周的销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.3，故所求的概率为（） 8 分410.7.59P（） 12 分334240.621C9.（全国卷文 20）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面
22、是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率【试题解析】 23 24 41 315 531 342 45 5CAC616= (=)450352=3102C解 ： 主 要 依 乙 所 验 的 次 数 分 类 ：若 乙 验 两 次 时 ， 有 两 种 可 能 ： 先 验 三 只 结 果 为 阳 性 ， 再 从 中 逐 个 验 时 ， 恰 好 一 次 验
23、 中 概 率 为 ：也 可 以 用 先 验 三 只 结 果 为 阴 性 ， 再 从 其 它 两 只 中 验 出 阳 性 （ 无 论 第 二 次 验 中 没 有 ，均 可 以 在 第 二 次 结 束 ） （ 23 2124 41 353 5CACA6264= (=)4530531212618555 ） 乙 只 用 两 次 的 概 率 为 。若 乙 验 三 次 时 ， 只 有 一 种 可 能 ：先 验 三 只 结 果 为 阳 性 ， 再 从 中 逐 个 验 时 ， 恰 好 二 次 验 中 概 率 为 ：（ ） 也 可 以 用 在 三 次 验 出 时 概 率 为 甲 种 方 案 的 次 数 不 少
24、于 乙 种 次 数 的 概 率 为 ：（ ） （ ） 1212442315551A3, BC62P()=,()=,P(B)=035C7A+() 解 法 ： 设 为 甲 的 次 数 不 多 于 乙 的 次 数则 表 示 甲 的 次 数 小 于 乙 的 次 数则 只 有 两 种 情 况 ， 甲 进 行 的 一 次 即 验 出 了 和 甲 进 行 了 两 次 ， 乙 进 行 了 次 。则 设 分 别 表 示 甲 在 第 一 次 、 二 次 验 出 ， 并 设 乙 在 三 次 验 出 为则 （ 782作 后 感 ： 遇 到 正 作 情 况 过 于 复 杂 的 ， 要 主 动 去 分 析 应 用 对 立
25、 事 件 来 处 理 。10.（全国卷文 19）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹根据以往资料知，甲击中 8 环，9 环，10 环的概率分别为 0.6，0.3，0.1，乙击中 8 环，9 环，10 环的概率分别为 0.4，0.4，0.2设甲、乙的射击相互独立（）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率【试题解析】记 分别表示甲击中 9 环，10 环，12A，分别表示乙击中 8 环， 9 环，B，表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数12C，（） ， 2 分1212ABA() )P1212()(PB2() )(ABA 6 分0.34.0.40.（） ， 8 分12C，213()()()3.(1.)096PAP，320.8 12 分1212()().8.14BCC
