1、2-3 安培环路定理一，环路定理定理的表述如下： 在磁场中沿任一闭合回路 ， 的环量为： （31)几点说明：（1） 公式中的电流 I 是与积分回路套合的电流的代数和。与积分回路方向成右手关系的的电流为正，反之为负。图中。 所谓套合必是闭合电流。321II（2）的积分结果与积分回路 L 的形状和方位无关，也与 L 外的电流无关。(3)积分号下的 是 处的总磁感应强度，它由 L 内外所有的电流共同产生.定理的证明首先考察单个电流回路 L1的磁场,并在场中沿任一闭路 L2作积分： 22102 )4(212 ldrlIdldBLL 。 式中、 每移动一步乘该处的 與2l不动，乘以 L1每移动 、2ld
2、1I23I4IL12r1,LI1ldld2ld p在 处的 的结果是一样的。我们就利用这一观点来求出 的结果。2ld为此先利用矢量运算公式： 1221012 )(421 rrldIldBLL 21210 )(412 rrldIL由图看出， 是 L1上的 移动 的距离时扫过一个面积元： Sdlld12 1ld2ld而式括号中被积函数的内容正好是 对 所张的立体角 。即：2ldrSdrldl 212121)( 式中 沿 L1移动一周的积分，则等价于整个回路 L1移动 的过程中所扫过的带状ld面积对 （P 点）所张的立体角2l即 2121)(1 rrlddL而沿 L2的环路积分（ 沿 L2移动一周）
3、等价于 （ P 点）不动，令 L1 回ld 2ld路整体平行自身在沿 L2的方向移动一周的过程中，所扫过的面积对 P 点所张的立体角 与 的乘积。即： 4400222 IdIldBLL上式中 的数值有两种可能：当 L1与 L2套合时， P 点在 L1扫过的封闭曲面以内。当 L1与 L2不套合时， P 点在 L1扫过的封闭曲面以外。因此：当 I(即 L1)与 L2套合时当 I 与 L2不套合时定理得证。以兩个矩形回路來說明，左图套合，右图不套合。 LLldLLld如果载流回路不只一个，则在 处的总 应为各载流回路在该处产生的场的叠加。式中 是与 L 套合的电流 Ii的总磁场， 是 L 外的电流
4、Ij的总磁场代入（3-1）式有：式中： 是对与 L 套合的电流求代数和。安培环路定理证明完毕。从以上证明过程看出，电流回路 Li必须闭合。因为只有闭合曲线沿闭合回路移动一周扫过的曲面才可能形成完整的封闭曲面，对于研究点 P 的立体角才可能是 或零。二，电磁矢量的空間对称性1，物体（系）的对称性。任何物体都具有一定的对称性，它们可以用一些对称元素來表示，如对称面，对称轴，对称中心等等。最特殊的对称元素是不变（称为恒元）如一条靜止的直线具有一个对称轴，无数个对称面。一個靜止的球体具有一个对称中心，无数对称轴和对称面。如果球体旋转起來，它的对称性就降低了，这時它只有一个对称面了（除恒元外）。 对 称
5、 面电磁矢量的对称性反映了电磁场的对称性，而电磁场的对称性由场源的对称性决定。如点电荷，线电荷，线电流-等。2，极矢量和轴矢量。由矢量对于镜面（对称面）反射的性质不同，可区分为极矢量和轴矢量。（1）极矢量在镜面反射時，其平行于镜面的分量不改变方向，（镜面对称）其垂直于镜面的分量反向，（镜面反对称） 如位矢量，速度矢量，电场强度。等。（2） 轴矢量在镜面反射時，其平行于镜面的分量反向，（镜面反对称）其垂直于镜面的分量不改变反方向，（镜面对称）如角速度矢量，力矩，磁感应强度。等。IEB VrL兩个极矢量的叉乘积是一个轴矢量。如， ， 304rldIBdVrFrL由轴矢量的性可知，在对称面上轴矢量只
6、有垂直于对称面的分量。因为假設它有平行分量，它既然在面上，对称面通过了它，它就不会改变方向，而它的矢量性质又要求它改变方向，B（ 对 称 面 ）的 。有 平 行 分 量 方 ， 它 是 可 以但 是 在 离 开 对 称 面 的 地它 只 好 等 于 零 。同 時 要 滿 足 兩 个 要 求 ，三.安培环路定理的应用安培环路定理可以很方便地用于求解具有高度对称性电流分布载流体的磁场。例 1. 求无限长截流直导线的磁场。设电流为 I ，研究点到直线的距离为 r ,解：如图所示，在垂直于电流的平面内、过研究点 P 作半径为r 的圆环回路 L（安培环路定理允许将回路选为任意行状），因 为轴矢量，其方向
7、必沿环路的切向，沿回路的积分为得： LL IBrBdlld02因 L 过 P 点，这也就是 P 点的 的数值，方向沿 L 切线。例. 求无限大均匀载流平面外的磁场。如图所示，设平面上线电流密度为 （通过单位横截线的电流强度） ,研究点 到平面的距离为 d IrldB。解：在垂直于电流的平面内过 点作一矩形回路，两底边与平面平行，长度为 ,到平面的距离相等。由 的轴矢量性质，在电流面的方向必与平面平行且反向。 由回路定理得： 例. 求均匀载流无限长直圆柱面内外的磁场。设柱面半径为 R，面上总电流为 I，如图所示。解：（）研究 点在柱内，到轴的距离为 。过 点、在垂直于轴的平面内作环形回路 L。在
8、 上 处处必与 相切，且数值相等，因为 L 内无电流，所以： 由此得： （）点在柱外， 。 同样作圆形回路过 P 点，回路中有总电流 I 通过，所以沿环路的积分 ，得柱外处： 无限长均匀载流圆柱面外的磁场与把电流集中在轴线上的线电流的场一样，而圆柱面内各处的磁场为零。jdlBBrIpp例求无限长均匀载流圆柱体的磁场。设柱体半径为 R，总电流为 I，单位横截面上通过的电流为-面电流密度2RIj由安培环路定理（1） 在 的区域： r与全部电流集中在轴线上产生的磁场一样。（2）在 的区域： 例四，无限长载流螺线管的磁场設线圈中通有电流 I ，线圈的绕线密度为 n ， 因 的矢量性质，管內外的 必然与
9、管轴平行。作矩形回路如图，使其一边在管轴上，其对边过硏究点，长度为 ，已知管轴上的 l， nIB0沿矩形回路作积分：（1）对管外点，設管外一边上磁感应强度为 ，则 ，nIBnIllBlldB 0000 , 即代入 B0 的值知 ，管外 B = 0 .(2) 对管內点，設离轴一边上磁感应强度为 ，IrBlBI I0则 nIBBlBlldB 000 , 即即对于螺绕环，只要线圈的直径比环的直径小得多，上述结论对载流螺绕环也是成立的，且与线圈截面的形状无关。 线 圈 截 面对于不具备高度对称性的载流系统，只要可视为上述载流体的组合，则可根据磁场的叠加原理对其各组份电流体使用环路定理，然后再由矢量和求
10、得总磁场。如在均匀载流柱体中有一个与柱体轴平行的柱形空腔腔內外的场可视为兩个无限长均勻载流柱体的场的叠加，而且腔內为均勻场。四，环路定理的微分形式-磁場的旋度（1）旋度的定义。矢量场 的旋度定义为（1）abo其意义是：旋度的数值为单位曲面边界上矢量的环量，它描述矢量线旋转的劲度。旋度 是一个矢量，指向边界曲线所在平面的法线方向上，且与 线绕行的方向成右手关系（2） 旋度的坐标表示。在直角坐标系中，（2）在其它坐标系中，旋度具有相应的不同的形式。（3） 数学中的斯托克斯定理（略证）。在矢量场 中沿任一闭合回路 L 下式成立（3）式中积分曲面 S 以 L 为边界。（4） 稳恒磁场的旋度。由 SdB
11、SdJIldBssL )(00得： -（3-4）0 0jLI2-4 磁场的高斯定理和磁矢势。一磁感应线和磁通量磁感应强度 确定了一个矢量场。它的矢量线称为磁感应线或 线。线上任一点的切线为该点 的方向，通过该处单位横截面的 线数目等于该处 的数值。 通过磁场中任一曲面的 线数称为通过该曲面的磁通量，用符号 表示。在国际单位制（MKSA 制）中，磁通量 的单位叫韦伯。螺线管中的 线在管的中部最密，而在两端 线渐疏，一部分 线在到达端点前已由管壁穿出，因而两端 的数值比中部小，计算表明正好减小一半。BI BBIBI与一切矢量线一样， 线必有如下性质：（1）不同 线互不相交。（2） 由 线组成的管区
12、称为 线管，在同一线管内 线数目不变。通过 的磁通量应为而通过 S 的磁通量为 通过闭曲面的磁通量为 -(4-1) 积分实际上表示穿出 S 的通量( 处）和穿入 S 的通量（ 处）的代数和，或称为穿出 S 的净余 线数。二 ，磁场的高斯定理。磁场的高斯定理表述为：在磁场中通过任意封闭曲面的磁通量为零。即： (31)BSd：由图看出，通过 S1, S2 的通量 ; 按定义： ; 所以：磁场的高斯定理表明 线无头无尾。不存在磁单极 的表述。高斯定理的微分形式为 0B三， 磁场的矢势高斯定理的另一个表述是通过相同边界的任意曲面的磁通量相等。即 )(2121sdB上式只与边界有关，就等于穿过边界的磁通
13、量。 它允许我们引入一个矢量场 來体現这一性质。A定义 -（4-2）LSdBld称为磁场的矢势， （ 与静电场的电位对应） 。矢势是由积分來定义的，它具有性质ALL ldAlCA)(1sd2sd1s211S2LBldA式中 为一常矢， 而 。cLldC0也即是說， 的大小和方向都具有相对性。 （与电势类似，可以认为 是矢势A c“零点” ） 。但是 是一个重要的辅助量 ，虽然目前并无明确的物理意义。因 ， SdASdBldALsB)(可得： -（4-3）A即可通过 可求 （就像通过 U 可求 一样） 。ABE四，电流场中的 （ ） 。 a（1）电流元的场。 取 与电流元平行。以电流元 为轴取柱
14、坐标， a 1lId沿 Z 方向，只有 Z 分量。 再取如图所示 狭长矩形闭合回流 L .按定义求 。 a a由图有 -（1）LLzb dlpaldlda)(d0la1ldzr0zbLp图中已将 L 的一边延伸到了无限远处，在那理 为零。再來求通过 L 回路的磁a通量， dlBdLBLB 式中 21021044rSindlIrlI ；CosrZ0 tan0Z将这些关系代入可得：dCosZd20-（2）01001/01 4440 rdlICoszIdlSinzlIB 由（1） （2）式相等得 10)()( dlrIpaz上式中用到 ，其中 r0 可用 r 替代， 。Cosrz0 代 替用 ll1
15、则任意电流元场中的矢势为-（4-4 ）ldrIpa4)(0（2）任意的载流回路的场，矢势为：-（4-2） vL rdVjdlrsjrlIdpA 444)( 000这个积分有三个分量，也只有对特殊形状的电流分布可积。alIrr0z1lddl0上式中若令 。I0它在形式上与连续分布电荷的电位一样。 LrdlpU041)(我们就可以用求电位的方法來求此积分，然后把常数代回。例 1，求一条无限长线电流场中某点（p）的 ，A仿照电流元的情况，由 的定义式求积分。AbLdLpQlAIZpQpI I取 的方向与电流平行，在离电流相同的矩离上， 的数值相等，沿一个矩行回A A路作积分得：-(1)()(QzL
16、pzAldA再求通过回路的磁通量-（2）pQSB IldIlldQp n2200令兩式相等得： -（3）pQQzpz IAln2)()(0可取 Q 处的矢势为零。亊实上，若 I00代 替用)()(ln2ln22,414 00000 QApIdrQrlrIdl zzpQpQLLQp 点 为 电 位 零 点 有 电 直 线 的 电 位 ， 取这 相 当 于 无 限 长 均 勻 帶这里 处是矢势的零点。矢势只有 z 分量。例 2， 求兩条平行长直电流场中的矢势。可取兩电流的对称中点为零点（如图） ，则兩电流在 p 点的矢势为：，pQzzIQAln2)()(0pzz Ipl)()( 0兩式相加得： p
17、zz IQApln2)()(0式中 ，是任意一点 Q 的矢势，若取为零点，而 P 是任意点，则有)(QAz-（4）式中已去掉了场点的下标（p）ln20IzIQIQpp中 垂 面例 3， 求无限长直均勻载流圆柱体的 A这次我们用求电位的方法來求矢势，因为电流轴对称，取 沿轴向。A由 rdVrjdVpAV00 414)(式中 。由此看出这实际上是等效于求均勻带电柱体的电位。200RIj-（1）零 点rldEUpA)()(（1）在 r R 处 rRrrE22000 取 r = 0 处电位为零，则 （1） )(442)(20200 rARIrdrrUr 而柱外 r R 处 （2） ln2)( 0000
18、 IrlErRrRr 內代入 得20I )21(l4ln2)(0RIIrIA外例 4， 无限长密绕载流螺线管的矢势。設管半径 R ,绕线密度为 n ，通有电流 I已知管內磁场均勻沿管轴向，管外磁场为零，取矢势垂直于轴，rpRr rnIB0pp螺 线 管aI与电流平行成环状， 方向沿环的切向，在同一环上，A 相等，过硏究点（p）作环形 形回路并求狤分： LSdBldA（1）在管內为 ，得 202rnIr rnIA20（2）在管外为 ，得 20RIArIR02-5.磁场对载流导线作用一 安培力磁场对电流的作用力称为安培力。（1） 由安培定律知到，电流元在磁场中受力： (1) （2） 电流回路受到的
19、磁力： (2) 式中 B 为 电流元所在处的磁场。（3） 电流元上的磁力矩： (3)（4） 电流回路上的磁力矩： (4) (一) 均匀磁场对载流导线的作用1. 非闭合载流导线（闭合回路的一部分）上的磁力。参看附图.设空间载流曲线 , 在均匀磁场 中， Bb电流为 I，则 上的磁力为 （5-1）等于玄上电流受力, 与 L 的具体形状无关。 。特别是当 时: (52)BlIF2,载流回路上的磁力和力矩(1) 载流回路上的磁力由（5-1）式看出，当回路闭合时，积分为零，合磁力为零。(2) 载流回路上的力矩我们只考虑平面载流回路，因为任何空间回路都可视为一些平面回路的组合.（a） 外场与回路法线平行的
20、情况， nB/设平面回路在 x-y 平面内，空间任一点 P 到 x-y 平面的垂直距离为 h，载流回路对 P 点的力矩为： , 利用矢量运算公式 得：因 ， ，故 （5-3）a lIdhrnB/lIdap（b）外场 与回路法线垂直的情况 nB设载流回路和磁场 在纸面内，回路的法线垂直于 纸面。 沿 的方向作平行辅助线，将回路微分成许多电流元对、如 ， 。辅助线间垂直距离为 dh 。由图看出 电流元上的磁力为 垂直于纸面向里， 垂直于纸面向外， 因此: -（3） 一对电流元上的磁力偶矩为 (指向图中 的方向)数值为 : -（4）式中 dS 为 与 h 构成的条形平面的面积 。 （4）式的结论对空
21、间任一点都相等。因载流回路上所有电流元对上的力偶矩的方向都一致（指向 方向） ，回路上总力矩的数值为（4）式的积分 , 或 式中 。定义 为载流回路的磁矩。 为载流回路法线上的单位矢量。考虑到 的方向可得： -(5-4)BmL(c) 外场 与回路法线 成任意角的情况。 B1lId2lIdhlBmy可将 分解为与 平行和垂直的分量，即：如图）所示， 其中： 只有 分量对回路有力矩的作用，如前所述： 不防在上式右边加上 ，得： -(5-5)BmBmL)(/与（5-4 ） ）的形式一样。 在 的作用下，回路的 有转向 的趋势。那时回路上力矩为零，为力学平衡状态。这一原理被应用于工程设备和电器仪表中。
22、 在实际中，电流线圈常被作成圆形或矩形，并有多匝. BmFFI2l1l BmIBLnNnlm 为 法 线 。为 匝 数 ，,21（ 二） 非均匀磁场对载流体的作用在非均匀磁场中，以上（5-1）-（5-5）式不再成立。必须按照力和力矩的基本公式去计算。下面举例说明。I/B例 1 一环形载流线圈与一无限长直载流导线共面，求环受到 I1的磁力。设：图中 ， ， R 已知 .解：由图看出环上每一电流元上的磁力 都沿环的径向。环上的总磁力为 式中 ， 为 在 处的磁场，RSinIB210且 ， ，环上的合力沿 方向，数值上为 在 方向上投影的积分：-(2)2100210210 )(2 IdIRdSinR
23、iIF 负数表明 沿 的负方向，为相互引力。二， 电动机和电磁仪表工作原理 1，电动机所有电动机都是利用载流线圈在磁场中受到的力矩来使电机转动，使电能转换成机械能。交流电动机中，是利用交流电流在电机转子空间形成旋转磁场.直流电动机是利用特殊的电流换向装置、周期性地改变电机转子的磁矩方向，使转子在固定磁场中转动（参看示意图）。1I2ldFRiBmBBm交流电动机以旋转磁场拖动转子， 直流电动机磁场不动，转子中电流換向。2， 电磁仪表表头的工作原理电磁仪表的表头是一个灵敏电流计，如图所示。它的测量原理是通过载流线圈在磁场中的转动并带动指针示数.电流计的线框受磁力矩驱动，但受到扭转弹簧的限制。当待测
24、电流通过线框形成的磁力矩 与弹簧丝的反抗力矩 平衡时，线框停止转动。指针转过角度的大小正比于待测电流。 NSI线框的磁力矩 -（1）NISBLm弹簧丝的阻力矩 ( 为线框的转角， D 为扭转常数)-(2)平衡时 ， -(4)刻度盘以电流刻度，也可以电压或电阻刻度，只要使电流与电压和电阻以一定关系联系起来即可。2-6 磁场对运动电荷的作用一 ， 洛伦兹力电流是电荷的有规运动，导线中的电流是大量电荷的统计平均行为。因而由载流导线上的磁力是导线中电荷受力的平均效果，导线中每个电荷受力可求得。已知电流元在磁场中受力为：在载面为 S ， d l 长的电流元上共有电子数：式中 n 为电子的浓度.设电子的平
25、均定向运动速度为（称为漂移速度）则可得电流强度：将 I 代入电流元的磁力中得：以上是 上所有电子受到的合力，每一电子上的平均磁力为：对于任意的运动电荷 ，上式变为： （6-1）BVnldS公式中 包含了电荷的符号。上式中 为著名的洛伦兹力，即运动电荷上的磁力，它正比于电荷的电量和速度,指向与 和 垂直的方向。因而洛伦兹力对运动电荷不作功， 电荷在磁场中运动速率不变。二， 带电粒子在均匀磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动规律与粒子的速度 和磁场 的相对方向相关。1， 的情况。粒子上的磁力为零，粒子在磁场中作匀速直线运动，BV/2， 的情况此时粒子上的磁力为：此力与粒子的运动方向垂直，维持粒子作匀
26、速圆周运动，如图所示。若已知粒子的初速为 ，质量为 m ,磁场为 ，则粒子圆周运动的半径 R 可以求出由 得 （6-2）圆周运动的周期为： （6-3） 圆周运动的频率为： （6-4） mqBTf21可见粒子圆周运动的频率与运动速率无关。但当粒子运动速率很大时，因相对论效应、m 将随速度变化.qvBR3， 与 有夹角的情况。将电荷速度分解为与磁场平行和垂直的分量。 对于 方向上的运动不产生影响，粒子将以的速率作圆周运动，并沿 的方向以 前进。实际 轨迹为一螺旋线。圆周运动的半径为： qBmvSinR旋转周期 qT2每经过 T 的时间、粒子旋转一周，并向前前进一段距离 h，称为螺距 。 （3）带电
27、粒子进入磁场后，将沿磁力线以纵向速度旋转前进，磁力线成为粒子前进的引导中心。螺距 h 与 无关。从同一点出发的同类粒子经螺距 h 的整数倍距离后，将汇聚于同一点。这一性质被用于带电粒子的磁聚焦。三，广义洛伦兹力人们习惯上把电磁场同时存在时，运动电荷上的电磁力称为洛伦兹力，即广义洛伦兹力。 （6-5）在广义洛伦兹力作用下，带电粒子的运动轨迹可由运动方程求解.即： （6-6） v/v Bh式中 m 为粒子的质量，ro 和 vo 分别为粒子的初始位置和速度。一般情况下（44-17）式的解不易求出，除非 和 具有特殊分布可得解析解。例 2有均匀电磁场 和 ，互相垂直，场中一点电荷 最初静止，求电荷的运
28、动规律。取电荷初始位置为坐标原点。解：（1）动力学解法 EBvmq, ,iEjB,amvqFij BvkjiBvyx0粒 子 作 二 维 运 动)1.(dtvmBqvEFxyx )2.(dtvqvyxy将（1）式对時間求导并代入（2）式得： ，即 mqBvtvmxx2 xxvdt22式中 。方程的解为： ，代入初始条件得：mqB )(0Cosvx 3,上式对时间求导为 ： mqESinvtSindtvtx 000)(得： 。对速度求积分得：BEmqv0,23 CtiBx)23(代入初始条件得 C 。且 )()23(tCostSin由此解出： 这是关于 t 的参数方程，将三角函数消去可得轨道方程
29、： 222)()( Ryxcc 或此为半径为 ，圆心在 处的圆方程。圆心沿 y 方向以速度 移动，粒子旋转周期为 。一个周期内粒子在 y 方向上移动的距离为 T V 2R . 所以、粒子的轨迹并不卷绕，其曲线的形状如图所示，称为悬链线。(2) 运动学解法可假設电荷在原点时具有 ，沿 y 方向，v令 速度 引起的洛伦玆力正好与静电力平衡，得电荷并以此速度沿 轴平动。另一方面，电荷又以初速 在磁场中作圆周运动，半径为 角频率为 整个运动为圆周运动加质心的平动。四，洛伦兹力的效应和应用BEqBqvvvBEy yv qBmRmqBRv1 霍耳效应-在载流导体的横向加一磁场，导体的另一横向表面会有电荷的积累 BEvqIU BEvqIUba设导线的截面为矩形，有电流 I，由电子的运动形成。电子的漂移速度为 ，施加磁场 的瞬间、导体上下表面集垒的电荷在导体内形成向上的电场 ，在上下表面形成一个电位差。其数值可近似地表示为： 此电位差称为霍耳电压。电荷侧向运动终止后，电子上横向合力为零,即 导体中电流强度为： 因此 式中 n 为电子的浓度（单位体积中的数目）。将（4）代入（1）得： （5）式中 ，称为霍耳系数，由料的性质决定。如果导线中的载流子为正电荷（如 P 型半导体材料中的“空穴”）电位差的极性改变，霍耳效应可被应用于判断载流子的符号，磁电信号的转换和测量磁场。 335
