1、2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 1 页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 I)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国，理 1)已知集合 A x|x22 x0， B x| x ，则( )5A A B B A BR C B A D A B2(2013 课标全国，理 2)若复数 z 满足(34i) z|43i|，则 z 的虚部为( )A4 B C4 D5453(2013 课标全国，理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，
2、事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A简单随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样4(2013 课标全国，理 4)已知双曲线 C： (a0， b0)的离心率为2=1xyb，则 C 的渐近线方程为 ( )52Ay By Cy Dyx14x13x2x5(2013 课标全国，理 5)执行下面的程序框图，如果输入的 t1,3，则输出的 s 属于( )A3,4 B5,2 C4,3 D2,56(2013 课标全国，理 6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球
3、放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A cm3 B cm3503863C cm3 D cm31722047(2013 课标全国，理 7)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm1 2， Sm0， Sm1 3，则 m( )A3 B4 C5 D68(2013 课标全国，理 8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A168 B88 C1616 D8162013 全国新课标卷 1 理科数学 第 2 页9(2013 课标全国，理 9)设 m 为正整数，( x y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a，( x y
4、)2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7 b，则 m( )A5 B6 C7 D810(2013 课标全国，理 10)已知椭圆 E： (a b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交2=1E 于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A B C D2=14536xy21367xy278xy2=189xy11(2013 课标全国，理 11)已知函数 f(x) 若| f(x)| ax，则 a 的取值范围是( 0ln(1).， ，)A(，0 B(，1 C2,1 D2,012(2013 课标全国，理 12)设 AnBnCn的三边长分别为 an， b
5、n， cn， AnBnCn的面积为Sn， n1,2,3，.若 b1 c1， b1 c12 a1， an1 an， bn1 ， cn1 ，则( )22baASn为递减数列 BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列 DS2n1为递减数列，S2n为递增数列第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，理 13)已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60， c ta(1 t)b.若bc0，则 t_.14(2013 课标全国，理
6、 14)若数列an的前 n 项和 ，则an的通项公式是213nSan_.15(2013 课标全国，理 15)设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _.16(2013 课标全国，理 16)若函数 f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线 x2 对称，则f(x)的最大值为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12 分)如图，在 ABC 中， ABC90，AB ， BC1， P 为 ABC 内一点， BPC90.3(1)若 PB ，求 PA；2(2)若 APB150，求 tan PBA.18(
7、2013 课标全国，理 18)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱ABC A1B1C1中， CA CB， AB AA1， BAA160.(1)证明： AB A1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B， AB CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 3 页19(2013 课标全国，理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4，再从这批产品中任取
8、1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相2互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望20(2013 课标全国，理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M：( x1) 2 y21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是
9、与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求| AB|.21(2013 课标全国，理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x) x2 ax b， g(x)e x(cx d)若曲线y f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y4 x2.(1)求 a， b， c， d 的值；(2)若 x2 时， f(x) kg(x)，求 k 的取值范围请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方
10、框涂黑22(2013 课标全国，理 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于点 D.(1)证明： DB DC；(2)设圆的半径为 1， BC ，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径323(2013 课标全国，理 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极45cos,inxy坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1
11、的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标( 0,0 2)24(2013 课标全国，理 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲：已知函数 f(x)|2 x1|2 x a|， g(x) x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 4 页(2)设 a1，且当 x 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围1,2a2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 5 页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷 I 新课标)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的
12、四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：B解析： x(x2)0， x0 或 x2.集合 A 与 B 可用图象表示为：由图象可以看出 A BR，故选 B.2 答案：D解析：(34i) z|43i|， .5(34i)ii5z故 z 的虚部为 ，选 D.3答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样4答案：C解析： ， .52cea2254cabe a24 b2， .1=渐近线方程为 .byx5答案：A解析：若 t1,1)，则执行 s3 t，故 s3,3)若 t1,3，则执行 s4 t t2，其对称轴为 t2.故当 t2 时， s 取得最大值 4.当 t1 或 3 时，
13、s 取得最小值 3，则 s3,4综上可知，输出的 s3,4故选 A.6答案：A解析：设球半径为 R，由题可知 R， R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即 OBA 为直角三角形，如图BC2， BA4， OB R2， OA R，由 R2( R2) 24 2，得 R5，所以球的体积为 (cm3)，故选 A.307答案：C解析： Sm1 2， Sm0， Sm1 3， am Sm Sm1 0(2)2， am1 Sm1 Sm303. d am1 am321.2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 6 页 Sm ma1 10， .212ma又 am1 a1 m13， .3 m5.故选 C.8答案：A解
14、析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径 r2，长为 4，在长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为 r24 422816.故选 A.19答案：B解析：由题意可知， a ， b ，2Cm21又13 a7 b， ，!13=7即 .解得 m6.故选 B.13210 答案：D解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， A， B 在椭圆上，22,ab ，得，12121212=0xxyyab即 ，21212=b AB 的中点为(1，1)， y1 y22， x1 x22，而 kAB ， .12yx0=3ba又 a2 b29， a218， b29
15、.椭圆 E 的方程为 .故选 D.189xy11答案：D解析：由 y| f(x)|的图象知：当 x0 时， y ax 只有 a0 时，才能满足| f(x)| ax，可排除 B，C.当 x0 时， y| f(x)| x22 x| x22 x.故由| f(x)| ax 得 x22 x ax.当 x0 时，不等式为 00 成立当 x0 时，不等式等价于 x2 a. x22， a2.综上可知： a2,012答案：B2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 7 页第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答二、
16、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13答案：2解析： c ta(1 t)b， bc tab(1 t)|b|2.又| a| b|1，且 a 与 b 夹角为 60， b c，0 t|a|b|cos 60(1 t)，0 1 t.2 t2.14答案：(2) n1解析： ，3Sa当 n2 时， .1123nn，得 ，即 2.1na a1 S1 ，23 a11. an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， an(2) n1 .15答案： 5解析： f(x)sin x2cos x ，sincos5令 cos ，sin ，125则 f(x) sin( x)，当 x2 k (kZ)时， sin( x)
17、有最大值 1， f(x)有最大值 ，5即 2 k (kZ) ，所以 cos sin .cos2+cos22516答案：16解析：函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称， f(x)满足 f(0) f(4)， f(1) f(3)，即 1564,0893bab解得 ,.2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 8 页 f(x) x48 x314 x28 x15.由 f( x)4 x324 x228 x80，得 x12 ， x22， x32 .55易知， f(x)在(，2 )上为增函数，在(2 ，2)上为减函数，在(2，2 )上为55增函数，在(2 ，)上为减函数 f(2 )1(2 )2(2 )28
18、(2 )15(8 )(8 )45806416.f(2)1(2) 2(2) 28(2)153(41615)9.f(2 )1(2 )2(2 )28(2 )155555(8 )(8 )4806416.故 f(x)的最大值为 16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由已知得 PBC60，所以 PBA30.在 PBA 中，由余弦定理得 PA2 .173cos 30424故 PA .72(2)设 PBA ，由已知得 PBsin .在 PBA 中，由正弦定理得 ，3sinsin150()化简得 cos 4sin .3所以 tan ，即 tan PBA .4418(1)证明：取
19、AB 的中点 O，连结 OC， OA1， A1B.因为 CA CB，所以 OC AB.由于 AB AA1， BAA160，故 AA1B 为等边三角形，所以 OA1 AB.因为 OC OA1 O，所以 AB平面 OA1C.又 A1C 平面 OA1C，故 AB A1C.(2)解：由(1)知 OC AB， OA1 AB.又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA， OA1， OC 两两相互垂直以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz.OA由题设知 A(1,0,0)， A1(0， ，0)， C(
20、0,0， )， B(1,0,0)33则 (1,0， )， (1， ，0)， (0， ， )BCB1C3设 n( x， y， z)是平面 BB1C1C 的法向量，2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 9 页则 即 可取 n( ，1，1)10,BCn30,.xzy3故 cos n， .A1C5所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 .1019解：(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题
21、意有 A( A1B1)( A2B2)，且 A1B1与 A2B2互斥，所以P(A) P(A1B1) P(A2B2) P(A1)P(B1|A1) P(A2)P(B2|A2) .43664(2)X 可能的取值为 400,500,800，并且P(X400) ， P(X500) ， P(X800) .11614所以 X 的分布列为X 400 500 800P 1EX 506.25.1140+5806420解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切
22、，所以| PM| PN|( R r1)( r2 R) r1 r24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，3其方程为 (x2)2=43xy(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)，由于| PM| PN|2 R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时， R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为( x2) 2 y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得| AB| .3若 l 的倾斜角不为 90，由 r1 R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ，可求得1|PRM
23、rQ(4,0)，所以可设 l： y k(x4)由 l 与圆 M 相切得 ，2|3=解得 k .4当 k 时，将 代入 ，22yx2=43xy并整理得 7x28 x80，2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 10 页解得 x1,2 .4627所以| AB| .218|7kx当 时，由图形的对称性可知 |AB| .4k187综上，| AB| 或| AB| .38721解：(1)由已知得 f(0)2， g(0)2， f(0)4， g(0)4.而 f( x)2 x a， g( x)e x(cx d c)，故 b2， d2， a4， d c4.从而 a4， b2， c2， d2.(2)由(1)知，
24、f(x) x24 x2， g(x)2e x(x1)设函数 F(x) kg(x) f(x)2 kex(x1) x24 x2，则 F( x)2 kex(x2)2 x42( x2)( kex1)由题设可得 F(0)0，即 k1.令 F( x)0 得 x1ln k， x22.若 1 ke 2，则2 x10.从而当 x(2， x1)时， F( x)0；当 x( x1，)时， F( x)0.即F(x)在(2， x1)单调递减，在( x1，)单调递增故 F(x)在2，)的最小值为 F(x1)而 F(x1)2 x12 4 x12 x1(x12)0.故当 x2 时， F(x)0，即 f(x) kg(x)恒成立若
25、 ke 2，则 F( x)2e 2(x2)(e xe 2 )从而当 x2 时， F( x)0，即 F(x)在(2，)单调递增而 F(2)0，故当 x2 时， F(x)0，即 f(x) kg(x)恒成立若 ke 2，则 F(2)2 ke2 22e 2 (ke 2)0.从而当 x2 时， f(x) kg(x)不可能恒成立综上， k 的取值范围是1，e 2请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(1)证明：连结 DE，交 BC 于点 G.由弦切角定理得， ABE BC
26、E.而 ABE CBE，故 CBE BCE， BE CE.又因为 DB BE，所以 DE 为直径， DCE90，由勾股定理可得 DB DC.(2)解：由(1)知， CDE BDE， DB DC，故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG .32设 DE 的中点为 O，连结 BO，则 BOG60.从而 ABE BCE CBE30，所以 CF BF，故 Rt BCF 外接圆的半径等于 .23解：(1)将 消去参数 t，化为普通方程( x4) 2( y5) 225，45cos,inxty即 C1： x2 y28 x10 y160.2013 全国新课标卷 1 理科数学 第 11 页将 代入 x2 y28
27、 x10 y160 得cos,inxy 28 cos 10 sin 160.所以 C1的极坐标方程为 28 cos 10 sin 160.(2)C2的普通方程为 x2 y22 y0.由 016,xy解得 或1,2.所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 ， .2,4,24解：(1)当 a2 时，不等式 f(x) g(x)化为|2 x1|2 x2| x30.设函数 y|2 x1|2 x2| x3，则 y15,2,361.x其图像如图所示从图像可知，当且仅当 x(0,2)时， y0.所以原不等式的解集是 x|0 x2(2)当 x 时， f(x)1 a.,2a不等式 f(x) g(x)化为 1 a x3.所以 x a2 对 x 都成立,故 a2，即 .43从而 a 的取值范围是 .1,
