1、12016 届高三理科数学试题（75）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设全集 U=R，集合 A=x|1og2x2，B=x|（x3） （x+1）0，则（C UB）A=（ ）A （，1 B （，1（0，3） C0，3） D （0，3）2设 i 为虚数单位，若 =bi （a，bR） ，则 a+b=（ ）A1 B2 C3 D43若 p，q 都为命题，则“p 或 q 为真命题”是“p 且 q 为真命题 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为
2、（ ）A82 B8 C8 D86如图程序框图中，若输入 m=4，n=10，则输出 a，i 的值分别是（ ）2A12，4 B16，5 C20，5 D24，674 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A B C D8如图，在等腰直角ABO 中，OA=OB=1，C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点，过 C 作AB 的垂线 l，P 为垂线上任一点，则 等于（ ）A B C D9若函数 ，且 f（）=2， f（）=0，|的最小值是 ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）A BC D10设偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x）= 且当 x
3、3，2时 f（x）=4x，则 f（119.5）= （ ）3A10 B10 C D11设 f（x）是（x 2+ ） 6 展开式的中间项，若存在 x ， 使 f（x）mx 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （， ） B （， C （ ，+） D ，+）12设不等式组 ，其中 a0，若 z=2x+y 的最小值为 ，则 a=（ ）A B C D13设函数 y=fn（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK（x）=，取函数 f（x）= ，恒有 fK（x）=f（x） ，则（ ）AK 的最大值为 BK 的最小值为CK 的最大值为 2 DK 的最小值为 2二、填空题：把答案填写在答题
4、卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）14已知等差数列a n中，a 1+a3+a8= ，那么 cos（a 3+a5）= 15设 f（x）= ，若 f（f（1） ）=1，则 a= 16在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，ABC ，ACD ，ADB 的面积分别为 ， ， ，则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 17在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y28x+15=0 ，若直线 y=kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤）418 （12 分）数列a n的各项均为正数， Sn 为其前 n 项和，对于任意 nN*，总有an，S n，a n2 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证： 19 （12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1 ，将ACD 沿矩形的对角线 AC 翻折，得到如图 2 所示的几何体 DABC ，使得 BD= （1）求证：ADBC ；（2）若在 CD 上存在点 P，使得 VPABC = VDABC ，求二面角 PABC 的余弦值20 （12 分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定
6、实施低峰优惠票价制度不超过 22 公里的地铁票价如下表：乘坐里程 x（单位：km） 0x6 6x12 12x22票价（单位：元） 3 4 5现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过 22 公里已知甲、乙乘车不超过 6 公里的概率分别为 ， ，甲、乙乘车超过 6 公里且不超过 12 公里的概率分别为 ， （）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望21 （12 分）已知点 P 为 y 轴上的动点，点 M 为 x 轴上的动点点 F（1，0）为定点，且满足 + = ， =0（）求动点 N 的轨迹 E 的方程（）A，B 是 E 上的两
7、个动点，l 为 AB 的中垂线，求当 l 的斜率为 2 时，l 在 y 轴上的截距 m 的范围22已知 f（x）=e x，g（x） =xm（m R ） ，设 h（x）=f（x）g（x） （）求 h（x）在0，1上的最大值（）当 m=0 时，试比较 ef（x2） 与 g（x）的大小，并证明选做题【选修 4-1：几何证明选讲 】23 （10 分）如图，在ABC 中，CD 是ACB 的角平分线，ADC 的外接圆交 BC 于点E，AB=2AC5（）求证：BE=2AD；（）当 AC=3，EC=6 时，求 AD 的长【选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 】24 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x
8、 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：sin 2=2acos（a 0） ，已知过点 P（2，4）的直线 L 的参数方程为：，直线 L 与曲线 C 分别交于 M，N（）写出曲线 C 和直线 L 的普通方程； （）若|PM| ， |MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值【选修 4-5：不等式选讲】25 （10 分）已知函数 f（x） =|x1|，（1）解关于 x 的不等式 f（x ）+x 210（2）若 g（x）=|x+3|+m ，f （x）g（x）的解集非空，求实数 m 的取值范围6参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
9、60 分）1设全集 U=R，集合 A=x|1og2x2，B=x|（x3） （x+1）0，则（C UB）A=（ ）A （，1 B （，1（0，3） C0，3） D （0，3）【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】集合【分析】根据题意，先求出集合 A，B，进而求出 B 的补集，进而根据交集的定义，可得答案【解答】解：集合 A=x|1og2x2=（0，4 ，B=x|（x3） （x+1）0=（，1 3，+） ，C UB=（1，3） ，（C UB）A=（0，3） ，故选：D【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义2设 i 为虚数单位，若 =bi （a，bR） ，则
10、a+b=（ ）A1 B2 C3 D4【考点】复数相等的充要条件 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解： =bi（ a，bR） ，a+2i=bi+1，a=1，2=b，则 a+b=3故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题3若 p，q 都为命题，则“p 或 q 为真命题”是“p 且 q 为真命题 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】从两个方向来判断：先看 p 或 q 为真命题能否得到p 且 q 为真命题，然后看p且 q 为真命
11、题能否得到 p 或 q 为真命题，这样即可得出 p 或 q 为真命题是p 且 q 为真命题的什么条件【解答】解：（1）若 p 或 q 为真命题，则：p，q 中至少一个为真命题；可能是 p 为真命题，q 为假命题；这时p 且 q 为假命题；7p 或 q 为真命题不是p 且 q 为真命题的充分条件；（2）若p 且 q 为真命题，则：p 假 q 真；p 或 q 为真命题；p 或 q 为真命题是p 且 q 为真命题的必要条件；综上得“p 或 q 为真命题” 是“ p 且 q 为真命题”的必要不充分条件故选 B【点评】考查 p 或 q，p 且 q，p 的真假和 p，q 真假的关系，以及充分条件、必要条件
12、、必要不充分条件的概念4某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A82 B8 C8 D8【考点】由三视图求面积、体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积 S=222 12=4 ，柱体的高 h=2，故该几何体的体积 V=Sh=8 ，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键6如图程序框图中，若输入 m=4，n=10，则输出 a，i 的值分别是（
13、）8A12，4 B16，5 C20，5 D24，6【考点】程序框图 【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 i，a 的值，当 a=20 时，满足条件 n 整除 a，退出循环，输出 a 的值为 20，i 的值为 5【解答】解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件 n 整除 a，i=2，a=8不满足条件 n 整除 a，i=3，a=12不满足条件 n 整除 a，i=4，a=16不满足条件 n 整除 a，i=5，a=20满足条件 n 整除 a，退出循环，输出 a 的值为 20，i 的值为 5故选：C【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写
14、出每次循环得到的 i，a 的值是解题的关键，属于基本知识的考查74 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A B C D【考点】等可能事件的概率 【专题】计算题；概率与统计【分析】求得 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可【解答】解：4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有 24=16 种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有 242=162=14 种情况，9所求概率为 = 故选：D【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合
15、结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数8如图，在等腰直角ABO 中，OA=OB=1，C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点，过 C 作AB 的垂线 l，P 为垂线上任一点，则 等于（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】将 ， 带入 ，然后根据条件进行数量积的运算即可求得答案【解答】解：由已知条件知，AB= ，OAB=45；又 ， ； = = = 故选 A【点评】考查向量加法、减法的几何意义，两向量垂直时数量积为 0，向量数量积的运算及计算公式9若函数 ，且 f（）=2， f（
16、）=0，|的最小值是 ，则 f（x）的单调递增区间是（ ）A BC D【考点】正弦函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件求得 的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得 f（x）的单调递增区间10【解答】解：由题意可得 = = ，=1，f （x）=2sin（x+ ） 令 2k x+ 2k+ ， kz，求得 2k x2k+ ，故函数的增区间为 2k ，2k+ ，kz ，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于基础题10设偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x）= 且当 x 3，2时 f（x）=4x，则 f（119.5）= （ ）A10
17、 B10 C D【考点】函数的周期性 【专题】函数的性质及应用【分析】先根据条件求出函数的周期，然后根据周期进行化简得 f（119.5）=f（0.5） ，再根据奇偶性和条件将0.5 转化到区间3，2 上，代入解析式可求出所求【解答】解：函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x）= ，f（x+3）= ，则 f（x+6）=f （ x） ，即函数 f（x）的周期为 6，f（119.5）=f（206 0.5）=f（0.5）= = ，又偶函数 f（x） ，当 x3，2时，有 f（x）=4x，f（119.5）= = = = 故选：C【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，要特别利用好题中有 f（x）=
18、的关系式在解题过程中，条件 f（x+a）= 通常是告诉我们函数的周期为 2a属于中档题11设 f（x）是（x 2+ ） 6 展开式的中间项，若存在 x ， 使 f（x）mx 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A （， ） B （， C （ ，+） D ，+）【考点】二项式定理的应用 【专题】二项式定理11【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得 f（x）= x3由于存在 x ， 使 m x2 成立，可得 m 大于或等于 x2 在 ， 上的最小值【解答】解：（x 2+ ） 6 的展开式共有 7 项，中间项为第 4 项，（x 2+ ） 6 展开式的通项为 Tr+1= （x 2） 6r = x
19、123r ，令 r=3 得 T4= x3= x3，f（x）= x3存在 x ， 使 f（x）mx 成立，存在 x ， 使 x3mx 成立，存在 x ， 使 m x2 成立，m 大于或等于 x2 在 ， 上的最小值当 x= 时， x2 有最小值 ，m ，故选项：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题12设不等式组 ，其中 a0，若 z=2x+y 的最小值为 ，则 a=（ ）A B C D【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标
20、，代入目标函数得答案【解答】解：画出满足条件 的平面区域如图，12联立 ，解得 A（1，2a） ，由图可知，直线 z=2x+y 过（1，2a）时，z 取到最小值，22a= ，解得：a= ，故答案为：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题13设函数 y=fn（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK（x）=，取函数 f（x）= ，恒有 fK（x）=f（x） ，则（ ）AK 的最大值为 BK 的最小值为CK 的最大值为 2 DK 的最小值为 2【考点】函数恒成立问题 【专题】函数的性质及应用【分析】由已知条件可得 kf（x） max，用导数确定
21、函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出 k 的范围，进一步得出所要的结果【解答】解：函数 fK（x）= ，等价为 Kf（ x） max，f（x）= ，f（x）= ，设 g（x）= ，则 g（x）在（0，+）单调递减，且 g（1）=0，13令 f（x）=0，即 ，解出 x=1，当 0x1 时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x1 时，f（x）0，f（ x）单调递减故当 x=1 时，f（x）取到极大值同时也是最大值 f（1）= 故当 k 时，恒有 fk（x）=f （x）因此 K 的最小值为 故选：B【点评】本题考查与函数有关的新定义题目，利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论
22、证能力，解题时要认真审题，仔细解答综合性较强，有一定的难度二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）14已知等差数列a n中，a 1+a3+a8= ，那么 cos（a 3+a5）= 【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知结合等差数列的性质求得 a4，则 a3+a5 可求，其余弦值可求【解答】解：在等差数列a n中，由 a1+a3+a8= ，得， ，即 ，a 3+a5= ，则 cos（a 3+a5）= = 故答案为： 【点评】本题考查等差数列的性质，考查了三角函数的值，是基础题15设 f（x）= ，若 f（f（1
23、） ）=1，则 a= 1 【考点】函数的值 【专题】计算题14【分析】先根据分段函数求出 f（1）的值，然后将 0 代入 x0 的解析式，最后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可【解答】解：f（x）=f（1）=0 ，则 f（f（1） ）=f （0）=1即 0a3t2dt=1=t3|0a=a3解得：a=1故答案为：1【点评】本题主要考查了分段函数的应用，以及定积分的求解，同时考查了计算能力，属于基础题16在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，ABC ，ACD ，ADB 的面积分别为 ， ， ，则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积 【专
24、题】空间位置关系与距离【分析】利用三棱锥侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积【解答】解：三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为 a，b，c ，则由题意得：ab= ，ac= ，bc= ，解得：a= ，b= ，c=1，所以球的直径为： =所以球的半径为 ，所以三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 = 故答案为： 【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，
25、以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在17在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y28x+15=0 ，若直线 y=kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系 【专题】直线与圆【分析】由于圆 C 的方程为（ x4） 2+y2=1，由题意可知，只需（x4） 2+y2=1 与直线y=kx2 有公共点即可【解答】解：圆 C 的方程为 x2+y28x+15=0，整理得：（x4） 2+y2=1，即圆 C 是以（4，0）为圆心，1 为半径的圆；又直线 y=kx2 上至少存在一点，
26、使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需圆 C：（x4） 2+y2=1 与直线 y=kx2 有公共点即可15设圆心 C（4，0）到直线 y=kx2 的距离为 d，则 d= 2，即 3k24k0，0k k 的最大值是 故答案为： 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x4） 2+y2=4 与直线 y=kx2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18 （12 分）数列a n的各项均为正数， Sn 为其前 n 项和，对于任意 nN*，总有an，S n，a n2 成等差数
27、列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证： 【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式 【专题】计算题【分析】 （1）根据 an=SnS n1 ，整理得 ana n1 =1（n2）进而可判断出数列a n是公差为 1 的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案（2）由（1）知 ，因为 ，所以 ，从而得证【解答】解：（1）由已知：对于 nN *，总有 2Sn=an+an2成立 （n2）得 2an=an+an2a n1 an1 2，a n+an1 =（a n+an1 ） （a na n1 ）a n，a n1 均为正数，a n an1 =1（n2）
28、数列a n是公差为 1 的等差数列又 n=1 时，2S 1=a1+a12，解得 a1=1，a n=n （nN *）（2）解：由（1）可知 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，考查放缩法从而综合考查了学生分析问题的能力1619 （12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1 ，将ACD 沿矩形的对角线 AC 翻折，得到如图 2 所示的几何体 DABC ，使得 BD= （1）求证：ADBC ；（2）若在 CD 上存在点 P，使得 VPABC = VDABC ，求二面角 PABC 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【专题】空间位置关系与
29、距离；空间角；立体几何【分析】 （1）通过勾股定理可得 ADBD，利用线面垂直的判定定理即得结论；（2）过 D 作 DQAB 交 AB 于 Q 点，则能以 Q 为原点，以 QB、QD 所在直线分别为x、z 轴建立空间直角坐标系，则所求值为平面 PAB 的法向量与平面 ABC 的一个法向量的夹角的余弦值【解答】 （1）证明：在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1 ，BD= ，AD=2 ，AB 2=AD2+BD2，ADBD，又ADCD，AD平面 BCD，ADBC；（2）解：由（1）知 ADBC，又 ABBC，BC平面 ABD，过 D 作 DQAB 交 AB 于 Q 点，则 DQ平面 ABC，以
30、Q 为原点，以 QB、QD 所在直线分别为 x、z 轴建立空间直角坐标系如图，则 DQ= = = ，BQ= = = ，Q（0，0，0） ，B（ ，0，0） ，C（ ，1，0） ，D（0，0， ） ，V PABC = VDABC ，P 为 CD 的中点， P （ ， ， ） ， =（ ，0，0） ， =（ ， ， ） ，设平面 PAB 的法向量为 =（ x，y，z ） ，由 ，得 ，取 y= ，得 =（0， ，1） ，而 =（0，0， ）是平面 ABC 的一个法向量，17 = = = ，所求二面角 PAB C 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查空间想象能力、计算
31、能力，注意解题方法的积累，属于中档题20 （12 分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过 22 公里的地铁票价如下表：乘坐里程 x（单位：km） 0x6 6x12 12x22票价（单位：元） 3 4 5现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过 22 公里已知甲、乙乘车不超过 6 公里的概率分别为 ， ，甲、乙乘车超过 6 公里且不超过 12 公里的概率分别为 ， （）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【专题】概率与统计
32、【分析】 （）求出甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为 ， ，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率（）求出 =6，7，8，9，10，求出概率，得到 的分布列，然后求解期望即可【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）由题意可知，甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为 ，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 （2 分）所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 （4 分）（）由题意可知，=6，7，8，9，1018则（10 分）所以 的分布列为 6 7 8 9 10P则 （12 分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布
33、列期望的求法，考查计算能力21 （12 分）已知点 P 为 y 轴上的动点，点 M 为 x 轴上的动点点 F（1，0）为定点，且满足 + = ， =0（）求动点 N 的轨迹 E 的方程（）A，B 是 E 上的两个动点，l 为 AB 的中垂线，求当 l 的斜率为 2 时，l 在 y 轴上的截距 m 的范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】 （）设出 N 点的坐标，由已知条件 可知 P 为 MN 的中点，由题意设出 P 和M 的坐标，求出 和 的坐标，代入 可求动点 N 的轨迹 E 的方程；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，l 方程为
34、 y=2x+m，则 AB 的方程为： ，直线与圆锥曲线联立求得中点坐标，继而求出答案【解答】解：（）设动点 N 的坐标为（x，y） ，P （0，b）M（a，0）则，由 ， ，可得，y 2=4x；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，l 方程为 y=2x+m，则 AB 的方程为： ，由 可得：x 24（b+4）x+4b 2=0，=16（b+4 ） 216b 20，b2，19x1+x2=4（b+4 ） ，AB 的中点坐标为（ 2b+8，4） ，4=4b+16+mm=4b20 ，故：m（，12） 【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关
35、系，直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点，常和弦长问题、存在性问题结合考查，解答时往往采用“设而不求”的解题方法，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，该种类型的问题计算量较大，要求学生有较强的运算能力，是难题22已知 f（x）=e x，g（x） =xm（m R ） ，设 h（x）=f（x）g（x） （）求 h（x）在0，1上的最大值（）当 m=0 时，试比较 ef（x2） 与 g（x）的大小，并证明【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】分类讨论；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】 （）求出 h（x）的导数，讨论 m 的范围，若 m1，若 1m 2 时
36、，若 m2 时，求出函数的单调性，即可得到最大值；（）当 m=0 时，求得 g（x ） ，对 x 讨论，当 x0 时，当 x0 时，求出单调性，结合零点存在定理和对数的运算性质，即可判断大小【解答】解：（）h（x）=（xm ）e x，h （x）=（x m+1）e x，由 0x1，h （x）0 可得 0x1 且 xm1；若 m1，h（x）在0，1递增， h（x） max=h（1）=（1 m）e；若 1m2 时，h（x）在0，m1）递减，在m1，1递增，h（x） max=maxh（0） ，h（1） ，而 h（1）h（1）=m（1e）+e，当 1m 时，h（x） max=（1m ）e ，当 m2 时
37、，h（x） max=m ；若 m2 时，h（x）在0，1递减， h（x） max=h（0）= m综上可得 h（x） max= ；（）当 m=0 时，e f（x2） = ，g（x）=x，当 x0 时，显然有 ef（x2） g（x） ；当 x0 时，lne f（x2） =ex2 ，lng（x）=lnx，设 （x ）=e x2 lnx，（x）=e x2 ，（x）在（ 0， +）递增，而 （1）0，（2）0，（x）在（ 0， +）有唯一的实数根 x0，且 1x 02，e x02 = ，（x）在（0，x 0）递减，在（x 0，+）递增，（x） （x 0） =ex02 lnx 0= +x02= 0，20即
38、有 （ x）=e x2 lnx0，即 ex2 lnx ，即有 ef（ x2） g（x） 综上可得，e f（ x2） g（x） 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键选做题【选修 4-1：几何证明选讲 】23 （10 分）如图，在ABC 中，CD 是ACB 的角平分线，ADC 的外接圆交 BC 于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当 AC=3，EC=6 时，求 AD 的长【考点】与圆有关的比例线段 【专题】选作题；立体几何【分析】 （）连接 DE，证明 DBECBA ，利用 AB=2AC，结合角平分线
39、性质，即可证明 BE=2AD；（）根据割线定理得 BDBA=BEBC，从而可求 AD 的长【解答】 （）证明：连接 DE，ACED 是圆内接四边形，BDE=BCA，又DBE=CBA，DBECBA ，即有 ，又AB=2AC，BE=2DE，CD 是ACB 的平分线，AD=DE，BE=2AD；（5 分）（）解：由条件知 AB=2AC=6，设 AD=t，则 BE=2t，BC=2t+6 ，根据割线定理得 BDBA=BEBC，即（6t）6=2t （2t+6 ） ，即 2t2+9t18=0，解得 或6（舍去） ，则 （10 分）【点评】本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能
40、力，属于中档题21【选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 】24 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：sin 2=2acos（a 0） ，已知过点 P（2，4）的直线 L 的参数方程为：，直线 L 与曲线 C 分别交于 M，N（）写出曲线 C 和直线 L 的普通方程； （）若|PM| ， |MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值【考点】参数方程化成普通方程；等比数列的性质 【专题】计算题【分析】 （1）消去参数可得直线 l 的普通方程，曲线 C 的方程可化为 2sin2=2acos，从而得到 y2=2ax（II）写出直线 l 的参数方程为 ，代入
41、 y2=2ax 得到，则有 ，由|BC| 2=|AB|， |AC|，代入可求 a 的值【解答】解：（）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：sin 2=2acos2sin2=2acos，即 y2=2ax，直线 L 的参数方程为： ，消去参数 t 得：直线 L 的方程为 y+4=x+2 即y=x2（3 分）（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，代入 y2=2ax 得到 ，则有 （8 分）因为|MN| 2=|PM|PN|，所以即：2 （4+a） 248（4+a）=8（4+a）解得 a=1（10 分）【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程中参数的几何意义，是一道基础
42、题22【选修 4-5：不等式选讲】25 （10 分）已知函数 f（x） =|x1|，（1）解关于 x 的不等式 f（x ）+x 210（2）若 g（x）=|x+3|+m ，f （x）g（x）的解集非空，求实数 m 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】 （1）由不等式 f（x） +x210 可化为：|x 1|1x 2，即：1x 20 或或 ，解出即可；（2）g（x）=|x+3|+m ，f（x）g（x）的解集非空|x1|+|x+3|m 的解集非空（|x1|+|x+3| ） minm，利用绝对值不等式的性质即可得出【解答】解：（1）由不等式 f（x）+x 210
43、可化为：|x1|1x 2即：1x 20 或 或 ，解得 x1 或 x1，或，或 x1 或 x0原不等式的解集为x|x1 或 x0 ，综上原不等式的解为x|x1 或 x0 （2）g（x）=|x+3|+m ，f （x）g（x） ，|x 1|+|x+3|m因此 g（x）=|x+3|+m ，f（x）g（x）的解集非空|x1|+|x+3|m 的解集非空令 h（x）=|x 1|+|x+3| ，即 h（x）=（|x1|+|x+3| ） minm，由|x 1|+|x+3|x1x3|=4，h（x） min=4，m4【点评】本题考查了含绝对值的不等式的解法、分类讨论、绝对值不等式的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题
