1、专项限时集训(一) 与三角变换、平面向量综合的三角形问题(对应学生用书第 113 页)(限时：60 分钟)1(本小题满分 14 分)(2015江苏高考)在 ABC 中，已知 AB2， AC3， A60.(1)求 BC 的长；(2)求 sin 2C 的值解 (1)由余弦定理知， BC2 AB2 AC22 ABACcos A49223 7，所以12BC . 4 分7(2)由正弦定理知， ，ABsin C BCsin A所以 sin C sin A .ABBC 2sin 607 217因为 AB BC，所以 C 为锐角，则 cos C .1 sin2C1 37 277因此 sin 2C2sin Cc
2、os C2 . 14 分217 277 4372(本小题满分 14 分) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2cos C(acos B bcos A) c.(1)求 C；(2)若 c ， ABC 的面积为 ，求 ABC 的周长7332解 (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(A B)sin C，故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C ，所以 C . 6 分12 3(2)由已知， absin C .12 332又 C ，所以 ab6. 10 分 3由已知及余弦定理得 a
3、2 b22 abcos C7，故 a2 b213，从而( a b)225.所以 ABC 的周长为 5 . 14 分73(本小题满分 14 分)(江苏省南通市如东高中 2017 届高三上学期第二次调研)在 ABC 中，角A， B， C 的对边分别为 a， b， c，cos C .310(1)若 ，求 ABC 的面积；CA CB 92(2)设向量 x(2sin B， )， y ，且 x y，求角 B 的值. 3 (cos 2B， 1 2sin2B2)【导学号：56394091】解 (1)根据题意， ， abcos C ， ab15，CB CA 92 92又cos C ， C(0，)，sin C .
4、310 9110所以 S ABC absin C . 6 分12 3914(2)根据题意， x y，2sin B ( )cos 2B0，(1 2sin2B2) 3即 2sin B cos 2B0，(1 2sin2B2) 32sin Bcos B cos 2B0，即 sin 2B cos 2B0，显然 cos 2B0，3 3所以 tan 2B ， 10 分3所以 2B 或 ，即 B 或 ，23 53 3 56因为 cos C ，所以 C ，310 32 6所以 B (舍去)，即 B . 14 分56 34(本小题满分 16 分)已知向量 a ， b ，实数 k 为大于零的常数，(ksinx3，
5、cos2x3) (cosx3， k)函数 f (x) ab， xR，且函数 f (x)的最大值为 .2 12(1)求 k 的值；(2)在 ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边，若 A， f (A)0，且 a2 2，求 的最小值10 AB AC 解 (1)由已知 f (x) ab (ksinx3， cos2x3) (cosx3， k) ksin cos kcos2 ksin kx3 x3 x3 12 2x3 1 cos2x32 k2(sin2x3 cos2x3) k2 2k2(22sin2x3 22cos2x3) k2 sin . 5 分2k2 (2x3 4) k2
6、因为 xR，所以 f (x)的最大值为 ， 2 1 k2 2 12则 k1. 7 分(2)由(1)知， f (x) sin ，22 (2x3 4) 12所以 f (A) sin 0，22 (2A3 4) 12化简得 sin . 9 分(2A3 4) 22因为 A，所以 . 2 122A3 4512则 ，解得 A .2A3 4 4 34因为 cos A ，22 b2 c2 a22bc b2 c2 402bc所以 b2 c2 bc40，2则 b2 c2 bc402 bc bc，2 2所以 bc 20(2 ). 14 分402 2 2则 | | |cos bc20(1 )AB AC AB AC 34
7、 22 2所以 的最小值为 20(1 ). 16 分AB AC 25(本小题满分 16 分)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 b c2 acos B.(1)证明： A2 B；(2)若 ABC 的面积 S ，求角 A 的大小a24解 (1)证明：由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin( A B)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin( A B)又 A， B(0，)，故 0A B，所以 B( A B)或 B A B，因此 A(舍去)或 A2 B，所以 A2 B
8、. 8 分(2)由 S 得 absin C ，a24 12 a24故有 sin Bsin C sin A sin 2Bsin Bcos B.12 12因为 sin B0，所以 sin Ccos B 12 分又 B， C(0，)，所以 C B. 2当 B C 时， A ； 2 2当 C B 时， A . 2 4综上， A 或 A . 16 分 2 46(本小题满分 16 分)(江苏省苏州市 2017 届高三上学期期中)如图 2，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量 BC2 百米， CD1 百米， BCD120，拟过线段 BC 上一点 E 设计一条直路EF(点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计
9、路的宽度 )，将绿地分为面积之比为 13 的左右两部分，分别种植不同的花卉，设 EC x 百米， EF y 百米图 2(1)当点 F 与点 D 重合时，试确定点 E 的位置；(2)试求 x 的值，使路 EF 的长度 y 最短解 (1) S 平行四边形 ABCD2 12sin 120 ，12 3当点 F 与点 D 重合时，由已知 S CDE S 平行四边形 ABCD ，14 34又 S CDE CECDsin 120 x x1， E 是 BC 的中点.12 34 346 分(2)当点 F 在 CD 上，即 1 x2 时，利用面积关系可得 CF ，1x再由余弦定理可得 y ；当且仅当 x1 时取等
10、号x2 1x2 1 3当点 F 在 DA 上时，即 0 x1 时，利用面积关系可得 DF1 x，10 分()当 CE DF 时，过 E 作 EG CD 交 DA 于 G(图略)，在 EGF 中，EG1， GF12 x， EGF60，利用余弦定理得 y .4x2 2x 1()同理当 CE DF，过 E 作 EG CD 交 DA 于 G(图略)，在 EGF 中，EG1， GF2 x1， EGF120，利用余弦定理得 y .4x2 2x 1由()、()可得 y ，0 x1，4x2 2x 1 y ，4x2 2x 14(x 14)2 340 x1， ymin ，当且仅当 x 时取等号，32 14由可知当 x 时，路 EF 的长度最短为 . 16 分14 32
