1、专项限时集训(五) 复杂数列的通项公式与求和问题(对应学生用书第 121页)(限时：60 分钟)1(本小题满分 14分) Sn为等差数列 an的前 n项和，且 a11， S728.记 bnlg an，其中x表示不超过 x的最大整数，如 0.90，lg 991.(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列 bn的前 1 000项和. 【导学号：56394103】解 (1)设 an的公差为 d，据已知有 721 d28，解得 d1.所以 an的通项公式为 an n.b1lg 10， b11lg 111， b101lg 1012. 6分(2)因为 bnError!所以数列 bn的前 1 000
2、项和为 1902900311 893. 14分2(本小题满分 14分)已知数列 an的前 n项和 Sn3 n28 n， bn是等差数列，且 an bn bn1 .(1)求数列 bn的通项公式；(2)令 cn ，求数列 cn的前 n项和 Tn. an 1 n 1 bn 2 n解 (1)由题意知，当 n2 时， an Sn Sn1 6 n5，当 n1 时， a1 S111，满足上式，所以 an6 n5.设数列 bn的公差为 d.由Error!即Error!可解得Error!所以 bn3 n1. 6分(2)由(1)知 cn 3( n1)2 n1 ， 6n 6 n 1 3n 3 n又 Tn c1 c2
3、 cn，得 Tn322 232 3( n1)2 n1 ，2Tn322 332 4( n1)2 n2 ，两式作差，得 Tn322 22 32 42 n1 ( n1)2 n2 3 44 1 2n1 2 n 1 2n 23 n2n2 ，所以 Tn3 n2n2 . 14分3(本小题满分 14分)(江苏省苏州市 2017届高三上学期期中)已知数列 an的前 n项和为 An，对任意 nN *满足 ，且 a11，数列 bn满足 bn2 2 bn1 bn0( nN *)，An 1n 1 Ann 12b35，其前 9项和为 63.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)令 cn ，数列 cn的前 n项和为
4、Tn，若对任意正整数 n，都有 Tn2 n a，求实bnan anbn数 a的取值范围；(3)将数列 an， bn的项按照“当 n为奇数时， an放在前面；当 n为偶数时， bn放在前面”的要求进行“交叉排列” ，得到一个新的数列：a1， b1， b2， a2， a3， b3， b4， a4， a5， b5， b6，求这个新数列的前 n项和 Sn.解 (1) ，数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，An 1n 1 Ann 12 Ann 12 A1( n1) n ，即 An (nN *)，Ann 12 12 12 n n 12 an1 An1 An n1( nN *)， n 1 n 22 n
5、n 12又 a11， an n(nN *)， bn2 2 bn1 bn0，数列 bn是等差数列，设 bn的前 n项和为 Bn， B9 63 且 b35，9 b3 b72 b79， bn的公差为 1，b7 b37 3 9 57 3bn n2( nN *).4分(2)由(1)知 cn bnan anbn n 2n nn 222 ，(1n 1n 2) Tn c1 c2 cn2 n2 (113 12 14 1n 1n 2)2 n2 (112 1n 1 1n 2)2n32 ，(1n 1 1n 2) Tn2 n32 ，(1n 1 1n 2)设 Rn32 ，则 Rn1 Rn(1n 1 1n 2)2 0，(1
6、n 1 1n 3) 4 n 1 n 3数列 Rn为递增数列，( Rn)min R1 ，43对任意正整数 n，都有 Tn2 n a恒成立， a .438分(3)数列 an的前 n项和 An ，数列 bn的前 n项和 Bn .n n 12 n n 52当 n2 k(kN *)时， Sn Ak Bk k23 k；k k 12 k k 52当 n4 k1( kN *)时，Sn A2k1 B2k 4 k28 k1，特别地，当 n1 时， 2k 1 2k 22 2k 2k 52S11 也符合上式；当 n4 k1( kN *)时， Sn A2k1 B2k 4 k24 k. 2k 1 2k2 2k 2k 52
7、综上， SnError! 14分4(本小题满分 16分)已知 an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 nN *， bn是an和 an1 的等比中项(1)设 cn b b ， nN *，求证：数列 cn是等差数列；2n 1 2n(2)设 a1 d， Tn (1) kb ， nN *，求证： .2n k 1 2k n k 11Tk 12d2证明 (1)由题意得 b anan1 ，2ncn b b an1 an2 anan1 2 dan1 .2n 1 2n因此 cn1 cn2 d(an2 an1 )2 d2，所以 cn是等差数列.6 分(2)Tn( b b )( b b )( b b )
8、21 2 23 24 22n 1 2n2 d(a2 a4 a2n)2 dn a2 a2n22 d2n(n1). 10分所以 .n k 11Tk 12d2n k 1 1k k 1 12d2n k 1(1k 1k 1) 12d2 (1 1n 1) 12d216分5(本小题满分 16分)已知数列 an的首项为 1， Sn为数列 an的前 n项和， Sn1 qSn1，其中 q0， nN *.(1)若 2a2， a3， a22 成等差数列，求数列 an的通项公式；(2)设双曲线 x2 1 的离心率为 en，且 e2 ，证明： e1 e2 en . y2a2n 53 4n 3n3n 1【导学号：56394
9、104】解 (1)由已知， Sn1 qSn1， Sn2 qSn1 1，两式相减得到an2 qan1 ， n1.又由 S2 qS11 得到 a2 qa1，故 an1 qan对所有 n1 都成立，所以数列 an是首项为 1，公比为 q的等比数列从而 an qn1 .由 2a2， a3， a22 成等差数列，可得2a33 a22，即 2q23 q2，则(2 q1)( q2)0.由已知， q0，故 q2.所以 an2 n1 (nN *). 8分(2)证明：由(1)可知， an qn1 ，所以双曲线 x2 1 的离心率 en .y2a2n 1 a2n 1 q2 n 1由 e2 解得 q .1 q253 43因为 1 q2(k1) q2(k1) ，所以 qk1 (kN *)1 q2 k 1于是 e1 e2 en1 q qn1 ，qn 1q 1故 e1 e2 en . 16分4n 3n3n 1
