1、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 1页 1989年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考 数 学（试卷一） 一、填空题：（本题满分 15分，每小题 3分） (1) 已知 ( ) 32, f = 则 0 (3)(3) lim 2 h fhf h - = . 【答】 应填 1 - . 【解】 () 00 (3)(3)1(3)(3)1 lim=lim=1. 222 hh fhffhf fx hh - -=- -(2) 设 () fx是连续函数，且 + = 1 0 ) ( 2 ) ( dt t f x x f ，则 () fx= . 【
2、答】 应填 1. x - 【解】 设 () 1 0 , ftdtA = 则 ( ) 2, fxxA =+ 于是 () ( ) 11 00 1 22, 2 fxdxxAdxA =+=+ 即 1 2, 2 AA =+ 解得 1 , 2 A=- 故 ( ) 1. fxx =- (3) 设平面曲线 L为下半圆 2 1, yx =-则曲线积分 = + ) ( 2 2 y x L. 【答】 应填 . p 【解】 将曲线 L的方程 2 1 yx =-，即 22 1(0) xyy += 代入被积函数，得 22 ()1 LL xydsds p += （曲线 L的弧长） . (4) 向量场 22 (,)ln(1)
3、 z uxyzxyiyejxzk =+ r rr r 在点 ( ) 1,1,0 P 处的散度 divu= r. 【答】 应填 2. 【解】 ( ) 22 (1,1,0) 1,1,0 ()()ln(1) 2. z xyyexz divu xyz + =+= r(5) 设矩阵 300 140, 403 A = 100 010 001 E = 则逆矩阵 1 (2) AE - -= . 【答】 应填 100 1/21/20. 001 - 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 2页 【解】 1 2 100 0 2120 0 001 A AE A -= ，
4、其中 1 10 12 A = ， 2 1 A = ， 因 1 1 20 1 11 2 A - = - ， 1 2 1 A - = ，所以 1 1 1 1 2 100 0 (2)1/21/20. 0 001 A AE A - - - -=- 二、选择题：（本题满分 15分，每小题 3分） (1) 当 0 x 时，曲线 1 sin yx x = (A) 有且仅有水平渐近线； (B) 有且仅有铅直渐近线 . (C) 既 有水平渐近线， 也 有铅直渐近线； (D) 既无 水平渐近线， 也无 铅直渐近线 . 【答】 应 选 (A) . 【解】 由 0 1sin limsinlim1 xt t x xt
5、= ，知 1 y = 为曲线的水平渐近线； 又由 0 1 limsin0 x x x = ， 可见 曲线 无 铅直渐近线，故 选 (A) . (2) 已知曲面 22 4 zxy =-上 点 P处的 切 平面平 行 于平面 2210 xyz +-=，则点 P的 坐 标是 (A) (1,1,2) - (B) () 1,1,2 - (C) ( 1,1,2 ) (D) ) 1,2 ( 1, - 【答】 应 选 (C) . 【解】 设 P点的 坐 标为 000 (,), xyz 则曲面在 P点处 切 平面的 法 向量为 00 2,2,1. xy =- r n 由 于 切 平面 与 2210 xyz +-
6、=，故 00 221 . 222 xy - = 由此可 得 00 1, xy = 代入曲面方程得 0 2, z = 因 此 所 求 的点为 ( ) 1,1,2. P 故 选 (C). (3) 设线 性无关 的函数 123 , yyy都 是 二阶非齐次 线 性 方程 ) ( ) ( ) ( x f y x q y x p y = + + 的解， 12 , cc是 任意常 数，则 该非齐次 方程的 通 解是 (A) 3 2 2 1 1 y y c y c + + (B) 3 2 1 2 2 1 1 ) 1 ( y c c y c y c + - - + (C) 3 2 1 2 2 1 1 ) 1
7、( y c c y c y c - - - + (D) 3 2 1 2 2 1 1 ) 1 ( y c c y c y c - - + + 【答】 应 选 (D) . 【解】 根据 线 性微 分方程解的 性质 ，知 1323 , yyyy - 均 为 齐次 方程的解且线 性无关 ， 因 此 113223 ()() cyycyy -+-为 齐次 方程的 通 解， 从而 所 求非齐次 方程的 通 解为 1132233 ()() cyycyyy -+-+ ，即 1122123 (1) cycyccy +- ，故 选 (D) . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准
8、1989年 第 3页 (4) 设函数 2 (),01,() fxxxSx = 1 sin, n n bnx p = , x -+，其中 1 0 2()sin,(1,2,) n bfxnxdxn p = L，则 1 () 2 S - )等 于 (A) 1 2 - (B) 1 4 - (C) 4 1(D) 2 1【答】 应 选 (B) . 【解】 易见 () Sx是函数 ( ) fx先作奇延拓 ， 再作周期 为 2的 周期延拓 所得函数的 傅里叶 级 数的 和 函数， 根据狄利克雷收敛定理 ，有 1111 ()()(), 2224 SSf -=-=-=- 故 选 (B) . (5) 设 A是 4阶
9、 矩阵，且 A的 行列式 0 A = ，则 A中 (A) 必 有 一列元素 全为 0； (B) 必 有 两列元素对 应 成比例 ； (C) 必 有 一列 向量是其 余列 向量的线 性组合 ； (D) 任一列 向量是其 余列 向量的线 性组合 . 【答】 应 选 (C) . 【解】 由 0 A = ，知 A的 列 向量 组 线 性相关 ，因 而 A中 必 有 一列 向量是其 余列 向量的线 性组合 ，故 选 (C) . 注： 选项 (A)、 (B)、 (D)是 A的 列 向量 组 线 性相关 （即 0 A = ）的 充 分 而非必要条件 . 三、（本题满分 15分，每小题 5分） (1) 设 )
10、 , ( ) 2 ( xy x g y x f z + - = ,其中函数 () ft二阶可导 ， (,) guv具 有连续的 二阶偏导 数， 求 y x z 2 . 解： 2 uv z fgyg x =+ , 2分 2 2 uvvvv z fxgxygg xy =-+ . 5分 (2) 设曲线积分 + 0 2 ) ( dy x y dx xy a 与路径无关 ，其中 ) (x a 具 有连续的 导 数，且 ) 0 ( a =0.计算 + ) 1 , 1 ( ) 0 , 0 ( 2 ) ( dy x y dx xy a 的 值 . 解： 由 2 (,),(,)(), PQ PxyxyQxyyx
11、 yx j = , 1分 得 2 2(),() xyyxxxC jj =+ . 再由 (0)0C=0 j = 得 ， 故 2 () xx j = . 3分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 4页 所以 (1,1)(1,1) 222 (0,0)(0,0) () xydxyxdyxydxxydy j+=+ . 沿 直线 yx = 从 点 (0,0)到 点 (1,1)积分，得 (1,1)1 23 (0,0)0 1 ()2 2 xydxyxdyxdx j+= 5分 (3) 计算三重 积分 W + dy z x ) ( ，其中是 W由 曲面 z= 2
12、 2 y x + 与 z= 2 2 1 y x - - 所 围成 的 区 域 . 解： 利 用球 面 坐 标 计算 21 2 4 000 sincossin xdvddrrdr p p qjjqj W = 1分 4 2 4 0 0 0 11 sin(sin2)0 244 dd p p p j qqjj =-= . 2分 21 2 4 000 cossin zdvddrrdr p p qjjj W = 2 4 0 11 2sin 248 d p p pjj = . 4分 所以 () 8 xzdv p W += . 5分 四、 (本题满分 6分 ) 将函数 arctg x f = ) ( x x
13、- + 1 1 展 为 x的 幂 级 数 . 解： 由 2 2 0 1 ()(1),(11) 1 nn n fxxx x = =- + 2分 得 1 221 0 00 0 (1) ()(0)()(1) 21 x n x nnn nn fxfftdttdtx n + + = - -=-= + . 而 (0)arctan1 4 f p = ， 5分 所以 21 0 1(1) arctan,(11) 1421 n n n x xx xn p + = +- =+- -+ . 6分 五、 (本题满分 7分 ) 设 0 ()sin()() x fxxxtftdt =- , 其中 f为连续函数， 求 ()
14、fx. 解： 00 ()sin()() xx fxxxftdttftdt =-+ , 0 ()cos(),()sin() x fxxftdtfxxfx =-=- . 即 ()()sin fxfxx +=- ， 2分 这 是 二阶常 系 数 非齐次 线 性微 分方程 ,初始 条件 为 00 |(0)0,|(0)1 xx yfyf = = . 3分 其 对 应 齐次 方程的 通 解为 12 sincos yCxCx =+ . 4分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 5页 设 非齐次 方程的 特 解 * (sincos) yxaxbx =+, 可
15、 得 1 0, 2 ab = ；于是 * cos 2 x yx = . 5分 因 此非齐次 方程的 通 解为 12 sincoscos 2 x yCxCxx =+ . 6分 又由 初始 条件定 出 12 1 ,0 2 CC = ， 从而 1 ()sincos 22 x fxxx =+ . 7分 六、 (本题满分 7分 ) 证明 方程 lnx= x e x 2 cos 1 0 - - p dx在 区 间 (0， + )内 有且仅有 两 个不同实 根 . 解： 0 1cos222 xdx p -= . 2分 记 ()ln22 x Fxx e =-，则 11 () Fx ex =-， ()0 Fe
16、= . 因当 0 xe ， () Fx递增 ； 故 () Fx在 区 间 (0,)() ee + 和 ， 内 分 别至多 一 个零 点 . 5分 又 ()220 Fe=- .由 零 点 定理 ， () Fx在 区 间 34 (,)(,) eeee - 和 内 分 别 有 一 个零 点 .故方程 0 ln1cos2 x xxdx e p =- 在 (0,) + 内 有且仅有 两 个实 根 . 7分 七、 (本题满分 6分 ) 问 l为 何 值 时，线 性 方程 组 1 3 123 123 ()422 6423 xx fxxxx xxx l l l += =+=+ +=+ 有解， 并 求 出 解的
17、 一 般形 式 . 解： 对 方程 组 的 增广 矩阵 进 行 初 等行 变换 得 101101 412201232 6142301243 ll ll ll +-+ +-+ 101 01232 0001 l l l -+ -+ 3分 当 10 l -+=，即 1 l = 时，方程 组 有解 . 4分 这 时方程 组 为 1 3 123 123 1 423 645 xx xxx xxx += += += ， 而 1 3 23 1 21 xx xx += -=- 为其 同 解方程 组 . 5分 解 之 得 1 3 23 1 12 xx xx =- =-+ . 其中 3 x取 任意常 数 . 6分
18、郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 6页 八、 (本题满分 7分 ) 假 设 l为 n阶可 逆矩阵 A的 一 个特征 值 ， 证明 ： (1) l 1 为 A-1的 特征 值 ； (2) l | | A 为 A的 伴随 矩阵 * A的 特征 值 . 证：（ 1 ） 由条件 知有 非 零 向量 x满足 Axlx = 2分 两 端左乘 以 1 - A ，得 1 xlx - = A . 3分 因 x为 非 零 向量，故 0 l ，于是有 1 1 Axx l - = ，所以 1 l 为 1 A - 的 特征 值 . 4分 （ 2） 由 于 1* 1
19、| AA A - = ， 5分 故 前 一式又可 写 为 * 11 | A A xx l = ， 7分 从而 有 * | A Axx l = ，所以 | A l 为 * A的 特征 值 . 8分 九、 (本题满分 9分 ) 设半 径 为 R的圆面 的 球心 在 定 球 面 2222 ,(0) xyzaa += 上 ， 问 当 R取何 值 时， 球 面 在 定 球 面 内部 的 那部 分的面积 最 大 ？ 解： 设 球 面 S的方程为 2222 () xyzaR +-= . 两 球 面的 交 线在 xoy面 上 的 投影 为 2 2222 2 (4) 4 0 R xyaR a z +=- = .
20、 2分 记投影 曲线所 围 平面 区 域 为 xy D .球 面 S在 定 球 面 内 的 部 分的方程为 222 zaRxy =-， 这部 分 球 面的面积 22 222 ()1 xyxy xy DD R SRzzdxdydxdy Rxy =+= - 4分 22 3 24 2 2 22 00 2 R aR a RrR ddrR a Rr p p qp - =- - . 6分 令 2 3 ()40 R SRR a p p =-= ，得 驻 点12 4 0(), 3 a RR = 舍去 ， 8分 由 于 4 ()40 3 a S p =- .故当 4 3 a R = 时， 球 面 S在 定 球
21、面 内 的 部 分的面积 最 大 . 9分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 7页 十、填空题 (本题满分 6分，每小题 2分 ) (1) 已知 随机事 件 A的 概率 ()0.5, PA= 随机事 件 B的 概率 ()0.6 PB = 及 条件 概率 ()8 | 0. PBA= ， 则 和 事 件 AB U 的 概率 () PAB = U . 【答】 应填 0.7 . 【解】 ()()()()()()()(|) PABPAPBPABPAPBPAPBA =+-=+- U 0.50.60.50.80.7 =+-=. (2) 甲 ， 乙 两 人
22、独立 的 对 同 一 目 标 射击 一次 , 其 命 中 率 分 别 为 0.6和 0.5. 现 已知 目 标被 命 中， 则 它 是 甲射 中的 概率 是 . 【解】 应填 0.75 . 【答】 记 A = 甲命 中 目 标 ， B = 乙命 中 目 标 ， C = 目 标被 命 中 ，则 由 题 意 知 A， B相 互独立 ，且 ( ) ( ) 0.6,0.5, PAPBCAB = U 于是有 ()()()()()()0.60.50.60.50.8. PCPABPAPBPAPB =+=+-=+-= 因 此 所 求 概率 为 ()()0.6 (|)0.75. ()()0.8 PACPA PA
23、C PCPC = (3) 若随机变 量 x在 (1 ) 6 ， 上 服 从均 匀 分 布 ，则方程 2 10 xx x +=有 实 根 的 概率 是 . 【答】 应填 0.8 . 【解】 因 x在 (1 ) 6 ， 上 服 从均 匀 分 布 ，故 x的 概率密 度函数为 () 1 ,16 5 0, x fx = 其 他 ， 因 而 方程 2 10 xx x +=有 实 根 的 概率 为 6 2 2 14 040220.8. 55 PPPPdx xxx D=-=+-= 十一、（本题满分 6分） 设 随机变 量 X与 Y独立 ，且 X服 从均值 为 1，标准 差 (均 方 差 )为 2的 正态 分
24、 布 ， 而 Y 服 从 标准 正态 分 布 ，试 求 随机变 量 23 ZXY =-+的 概率密 度函数 . 解： 因 相 互独立 的 正态随机变 量的线 性组合 仍然服 从 正态 分 布 ，故 只需确 定 Z的 均值 () EZ和 方 差 () DZ . 1分 由 于 ()2()()35 EZEXEY =-+=， 3分 2 ()2()()9 DZDXDY =+= . 5分 所以 Z的 概率密 度函数为 2 (5) 18 1 () 32 z z fze p - - = . 6分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 8页 数 学（试卷二） 一
25、、填空题 【 同 数学 一 第 一 题 】 二、选择题 【 同 数学 一 第 二 题 】 三、 【 同 数学 一 第 三 题 】 四、 (本题满分 18分，每小题 6分 ) (1) 【 同 数学 一 第 四 （ 1）题 】 (2) 求 八 分 之 一 球 面 2222 xyzR +=， 0,0,0 xyz 的 边 界 曲线的 重 心 ，设曲线的 线 密 度 1 r = . 解： 设曲线在 XOY， YOZ， ZOX坐 标平面 内 的弧 段 分 别 为 123 L,L,L (如图 )， 则曲线 质 量为 123 L+LL 23 3 42 R mdsR p p + = . 2分 记 曲线 重 心
26、为 (,) xyz，则 123 L+LL 1 xxds m + = 3分 123 LLL 1 () xdsxdsxds m =+ ( ) 131 LLL 12 0 xdsxdsxds mm =+= 2 22 0 224 3 R RxRR dx mm Rx p = - . 5分 由对 称 性 知 4 3 R yzx p = ，即所 求重 心 为 444 () 333 RRR ppp ， . 6分 (3) 设 空 间 区 域 W由 曲面 222 zaxy =-与 平面 0 z = 围成 ，其中 a为 正 的 常 数， 记 W表 面的 外侧 为 S， W的 体 积为 V， 求 证 ： V dxdy
27、xyz z dzdx z y x dydz z y x S = + + - ) 1 ( 2 2 2 2 . 证： 由 高斯公 式 知 原 式 12 xyzdxdydz W （ ） 2分 2 Vxyzdxdydz W =+ . 4分 因 W关 于 XOZ坐 标平面 对 称 , xyz是 W上关 于 y的 奇 函数 ,故有 0 xyzdxdydz W = . 6分 所以 欲 证 等式成 立 . 五、 (本题满分 7分 )【 同 数学 一 第 五 题 】 六、 (本题满分 7分 )【 同 数学 一 第 六 题 】 七、 (本题满分 6分 )【 同 数学 一 第 七 题 】 八、 (本题满分 8分 )
28、【 同 数学 一 第 八 题 】 九、 (本题满分 9分 )【 同 数学 一 第 九 题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 9页 数 学（试卷三） 一、填空题：（本题满分 21分，每小题 3分） (1) 0 limcot2 x xx = . 【答】 应填 1 . 2【解】 000 cos2cos21 limcot2limlim. sin222 xxx xx xxxx xx = (2) p 0 sin tdt t = . 【答】 应填 . p 【解】 ( ) 00 000 sincoscoscossin ttdttdttttdtt ppp
29、 pp pp =-=-+=+= . (3) 曲线 y = - - x dt t t 0 ) 2 )( 1 ( 点 (0,0)处的 切 线方程是 . 【答】 应填 2. yx = 【解】 因 (1)(2) yxx =- ，故曲线在点 (0,0)处的 切 线的 斜 率 为 (0)2 y = ， 从而 所 求 切 线方程为 2. yx = (4) 设 ()(1)(2)() fxxxxxn =+ L ，则 (0) f = . 【答】 应填 !. n 【解】 00 ()(0) (0)limlim(1)(2)()! xx fxf fxxxnn x - =+= L (5) 【 同 数学 一 第 一、 （ 2
30、）题 】 (6) 设 () fx= 0 , 0 , sin 2 + x x x bx bx a在 0 x = 处连续，则 常 数 a与 b应 满足 的 关 系 是 . 【答】 应填 . ab = 【解】 因 ( ) fx在 0 x = 处连续，故 00 lim()lim() xx fxfx -+ =，即 2 00 sin lim()lim xx bx abx x -+ += ， 亦即 . ab = (7) 设 tanyxy =+，则 dy = . 【答】 应填 2 cot. ydx 【解】 等式两 边 微 分，得 2 sec, ydydxdy =+即 2 22 cot. sec1tan dxd
31、x dyydx yy = -郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 10页 二、（本题满分 20分，每小题 4分） (1) 已知 arcsin x ye - = ， 求 y 解： 222 ()()1 2 (1)(1)(1) xxx xxx eexe y eexe - - =- - . 4分 (2) 求 x x dx 2 ln . 解： 22 ln lnln dxdx xxx = . 2分 1 ln C x =-+ . 4分 (3) 求 x x x x 1 0 ) cos sin 2 ( lim + . 解： 1 lnln(2sincos) yxx
32、 x =+ 2分 利 用 罗 比 塔 法 则，有 00 2cossin limlnlim2 2sincos xx xx y xx - = + . 3分 故 1 2 0 lim(2sincos) x x xxe += . 4分 (4) 已知 2 ln(1) xt yarctgt =+ = 求 dx dy及 2 2 dx y d . 解： 2 2 1 1 1 2 2 1 dy t t dxt t + = + ， 2分 22 223 2 111 2 24 1 dyt t dxtt t + =-=- + . 4分 (5) 已知 1 (2),(2)0 2 ff = 及 = 2 0 1 ) ( dx x
33、f ， 求 1 0 2 ) 2 ( dx x f x . 解： 设 2 tx = ，则 2 12 2 00 1 (2)() 24 t xfxdxftdt = 1分 2 22 0 0 1 ()2() 8 tfttftdt =- 2分 2 0 1 2() 8 tdft =- 3分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 11页 2 2 0 0 11 ()()110 44 tftftdt =-=-= . 4分 三、选择题 (本题满分 18分，每小题 3分 ) (1) 【 同 数学 一 第 二、 (1) 题 】 (2) 若 2 350 ab - ，即 (
34、) fx单调 递增 ，所以 ()0 fx= 最多 有 一 个实 根 ；因 此 ()0 fx= 有且仅有 一 个实 根 ，故 选 (B) . (3) 曲线 cos yx = ( 22 x pp - )与 x轴 围成 的 图 形 绕 x轴旋转 一周 所 成 的 旋转体 的 体 积为 (A) /2 p (B) p (C) 2 /2 p (D) p 2 【答】 应 选 (C) . 【解】 因 2 22 22 0 2 1! cos2cos2 2!22 Vxdxxdx pp p pp ppp - = ，故 选 (C) . (4) 设函数 () fx及 () gx都 在 xa = 处 取 得 极 大 值 ，
35、则函数 ()()() Fxfxgx = 在 xa = (A) 必 取 极 大 值 . (B) 必 取 极小 值 . (C) 不 可 能 取 极 值 . (D) 是 否 取 极 值 不 能 确 定 . 【答】 应 选 (D) . 【解】 取 0,0 ()() 1,0 x fxgx x = = - ，知 0,0 ()()() 1,0 x Fxfxgx x = = ，且 () fx及 () gx 都 在 0 x = 处 取 得 极 大 值 ， 但 () Fx在 0 x = 并不取 得 极 大 值 ， 而 是 取 得 极小 值 ，故 选项 (A)和 (C)均 不正确 ， 都 应 排除 ； 同 理 ，
36、取 1,0 ()() 0,0 x fxgx x = = ，知 () ()() 1,0, 0,0, x Fxfxgx x = = ，且 () fx及 () gx 都 在 0 x = 处 取 得 极 大 值 ， 但 () Fx在 0 x = 并不取 得 极小 值 ， 而 是 取 得 极 大 值 ，故 也 因 排除 选项 (B)；因 此 只 能 选 (D) . (5) 微 分方程 1 + = - x e y y 的 一 个特 解应 具 有 形 式 （ 式 中 , ab为 常 数） (A) x aeb + (B) x axeb + (C) x aebx + (D) x axebx + 【答】 应 选
37、(B) . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 12页 【解】 因 原 方程 对 应 齐次 方程的 特征 方程为 2 10 l -=，故 相 应的 特征 根 为 1,2 1 l =， 因 此 方程 x yye -=的 特 解 可 设为 * 1 x yaxe = ， 而 方程 1 yy -=的 特 解 可 设为 * 2 yb = . 根据 叠加原 理 知，方程 1 x yye -=+ 的 特 解为 * 12 x yyyaxeb =+=+ ，故 选 (B) . (6) () fx在点 a x = 可导 的 一 个 充 分 条件 是 (A) 1 l
38、im()() h hfafa h + +- 存在 (B) h h a f h a f h ) ( ) 2 ( lim 0 + - + 存 在 (C) h h a f h a f h 2 ) ( ) ( lim 0 - - + 存 在 (D) h h a f a f h ) ( ) ( lim 0 - - 存 在 【答】 应 选 (D) . 【解】 对 于 选项 (A)，因 0 1()() lim()()lim() h x faxfa hfafafa hx + + + +- +-= 存 在， 只 表 明 右 导 数 存 在，故应 排除 ； 对 于 选项 (B)和 (C)， 利 用 反 例 1,
39、() 0, xa fx xa = = 可 排除 ； 对 于 选项 (D)， 由 00 ()()()() limlim() hx fafahfaxfa hxfa hx -+- -= ，知 h h a f a f h ) ( ) ( lim 0 - - 存 在是 () fx在点 a x = 可导 的 充 分 条件 ，故 选 (D) . 四、 (本题满分 6分 ) 微 分方程 2 1 (0) x xe yyx xx - +=+ 满足 0 ) 1 ( = y 的解 . 解： 原 方程即 ) 0 ( ) 1 ( 2 + = - + x e y x y x x ，故 由一阶 线 性微 分方程的 通 解 公
40、 式 ， 有 1 1 2 () x x x dx dx x x e yeedxC x - - - =+ 2分 即 y = 2 xx Cee x + . 4分 再由 (1)0 y = ，得 Ce =- . 5分 故所 求通 解为 () xx eee y x - = . 6分 五、 (本题满分 7分 )【 同 数学 一 第 五 题 】 六、 (本题满分 7分 )【 同 数学 一 第 六 题 】 七、 (本题满分 11分 ) 对 函数 2 1 x y x + = ，填 写 下 表 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 13页 单调 减 区 间 单
41、调 增 区 间 极 值 点 极 值 凹 区 间 凸 区 间 拐 点 渐 近 线 解： 单调 减 少 区 间 (,2),(0,) -+（ 分） 单调 增 加 区 间 (2,0) -（ 分） 极 值 点 2 -（ 分） 极 值 1/4 - （ 分） 凹 区 间 (3,0)(0,) -+ ,（ 分） 凸 区 间 (,3) -（ 分） 拐 点 (3,2/9) - （ 9分） 渐 进 线 00 xy = 和 （ 1 分） 八、 (本题满分 10分 ) 设 抛物 线 2 yaxbxc =+ 过原 点，当 01 x ，时 0 y ， 又 已知 该 抛物 线 与 x轴 及直 线 1 x = 所 围成 的面积为
42、 3 1 .试 确 定 , abc的 值 ， 使 此 图 形 绕 x轴旋转 一周而成 的 旋转体 的 体 积 V最 小 . 解： 因曲线 过原 点，故 0 c = . 1分 由 题设有 1 2 0 1 () 323 ab axbxdx +=+= ，即 2 (1) 3 ba =- . 3分 又 22 1 22 0 1 ()() 523 ab Vaxbxdxab pp =+=+ . 5分 将 b的 表达 式 代入 上式 得 2 2 114 (1)(1) 5339 a Vaaa p=+-+- . 6分 令 2128 (1)0 53327 a a Vaa p =+-= ，解得 5 4 a =- . 8
43、分 代入 b的 表达 式 得 3 2 b = . 9分 因 a V p （） 135 及 实 际情况 ，知当 53 ,0 42 abc =-= 时， 体 积 最 小 . 10分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 14页 数 学（试卷四） 一、填空题： (本题满分 15分，每小题 3分 ) (1) 曲线 2 sin yxx =+ 在点 (,1) 22 pp + 处的 切 线方程是 . 【答】 应填 1. yx =+ 【解】 因 1sin2 yx =+ ，故曲线在点 (,1) 22 pp + 处的 切 线处 切 线的 斜 率 为 ()1 2 y
44、 p = ， 因 而 所 求切 线方程为 (1) 22 yx pp -+=-，即 1. yx =+ (2) 幂 级 数 1 1 n n x n = + 的 收敛 域 是 . 【答】 应填 1,1). - 【解】 因 1 1 limlim1 2 n nn n an an r + + = + ，故 收敛 半 径 1 1. R r = 又 当 1 x = 时， 级 数 0 1 n n x n = + 发 散， 而 当 1 x=-时， 0 1 n n x n = + 收敛 ，故 级 数的 收敛 域 为 1,1). - (3) 齐次 线 性 方程 组 = + + = + + = + + 0 0 0 3
45、2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x l l 只 有 零 解，则 l应 满足 的 条件 是 . 【答】 应填 1. l 【解】 由 于方程的 个 数 与 未 知量的 个 数 相等 时， 0 Ax = 只 有 零 解的 充要条件 是 0. A 而 ( ) 2 11 111 11 l ll l =-，所以有 1. l (4) 设 随机变 量 X的分 布 函数为 = ) (x F 00 sin0/2 1/2 x Axx x p p 若 若 若 , 则 A = ； 6 PX p = . 【答】 应填 1； 1 . 2郝海龙：考研数学复习大全配套光盘 1989年数学试题参考解答及评分标准 1989年 第 15页 【解】 因分 布 函数是 右 连续的，所以 2 lim()() 2 x FxF p p + = ，即 1sin 2 A p = ， 亦 即 1 A = ； 于是 6 1 (0)()lim1sin0. 666662 x PXPXFFx p ppppp - =-=-=-= (5) 设 随机变 量 X的数学 期 望 , EX m = 方 差 2 DX s = ，则 由切比 雪夫 (cheby
